Theorem cntzrecd 19284

Description: Commute the "subgroups commute" predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzrecd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
cntzrecd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
cntzrecd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
cntzrecd.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
cntzrecd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Proof of Theorem cntzrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzrecd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
2		cntzrecd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		cntzrecd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 18756	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
6	4	subgss 18756	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
7		cntzrecd.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
8	4, 7	cntzrec 18940	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
9	5, 6, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
10	2, 3, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
11	1, 10	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  SubGrpcsubg 18749  Cntzccntz 18921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-subg 18752  df-cntz 18923

This theorem is referenced by:  subgdisj2  19298  pj2f  19304  pj1id  19305  dprdcntz2  19641  dmdprdsplit2lem  19648  dmdprdsplit2  19649