Theorem cntzrecd 19379

Description: Commute the "subgroups commute" predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzrecd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
cntzrecd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
cntzrecd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
cntzrecd.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
cntzrecd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Proof of Theorem cntzrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzrecd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
2		cntzrecd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		cntzrecd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 18852	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
6	4	subgss 18852	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
7		cntzrecd.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
8	4, 7	cntzrec 19036	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
9	5, 6, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
10	2, 3, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
11	1, 10	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6479  Basecbs 17009  SubGrpcsubg 18845  Cntzccntz 19017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-subg 18848  df-cntz 19019

This theorem is referenced by:  subgdisj2  19393  pj2f  19399  pj1id  19400  dprdcntz2  19736  dmdprdsplit2lem  19743  dmdprdsplit2  19744