Theorem lsmcntzr 19644

Description: The "subgroups commute" predicate applied to a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmcntzr	⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

Proof of Theorem lsmcntzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
2		lsmcntz.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcntz.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		lsmcntz.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	lsmcntz 19643	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆))))
7		subgrcl 19096	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
8		grpmnd 18905	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
9	4, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	10	subgss 19092	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
12	2, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
13	10	subgss 19092	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
14	3, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
15	10, 1	lsmssv 19607	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
16	9, 12, 14, 15	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
17	10	subgss 19092	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
18	4, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
19	10, 5	cntzrec 19300	. . 3 ⊢ (((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈))))
20	16, 18, 19	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈))))
21	10, 5	cntzrec 19300	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
22	12, 18, 21	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
23	10, 5	cntzrec 19300	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈)))
24	14, 18, 23	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈)))
25	22, 24	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈))))
26	6, 20, 25	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  Mndcmnd 18691  Grpcgrp 18898  SubGrpcsubg 19085  Cntzccntz 19279  LSSumclsm 19598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-lsm 19600

This theorem is referenced by: (None)