Theorem lsmcntzr 19855

Description: The "subgroups commute" predicate applied to a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmcntzr	⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

Proof of Theorem lsmcntzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
2		lsmcntz.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcntz.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		lsmcntz.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	lsmcntz 19854	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆))))
7		subgrcl 19302	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
8		grpmnd 19112	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
9	4, 7, 8	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	10	subgss 19298	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
13	10	subgss 19298	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
14	3, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
15	10, 1	lsmssv 19818	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
16	9, 12, 14, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
17	10	subgss 19298	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
18	4, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
19	10, 5	cntzrec 19511	. . 3 ⊢ (((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈))))
20	16, 18, 19	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈))))
21	10, 5	cntzrec 19511	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
22	12, 18, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
23	10, 5	cntzrec 19511	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈)))
24	14, 18, 23	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈)))
25	22, 24	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈))))
26	6, 20, 25	3bitr3d 312	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  Mndcmnd 18884  Grpcgrp 19105  SubGrpcsubg 19291  Cntzccntz 19490  LSSumclsm 19809

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-subg 19294  df-cntz 19492  df-lsm 19811

This theorem is used by: (None)