Theorem lsmcntzr 19756

Description: The "subgroups commute" predicate applied to a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmcntzr	⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

Proof of Theorem lsmcntzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
2		lsmcntz.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcntz.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		lsmcntz.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	lsmcntz 19755	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆))))
7		subgrcl 19203	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
8		grpmnd 19013	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
9	4, 7, 8	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	10	subgss 19199	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
13	10	subgss 19199	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
14	3, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
15	10, 1	lsmssv 19719	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
16	9, 12, 14, 15	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
17	10	subgss 19199	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
18	4, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
19	10, 5	cntzrec 19412	. . 3 ⊢ (((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈))))
20	16, 18, 19	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈))))
21	10, 5	cntzrec 19412	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
22	12, 18, 21	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
23	10, 5	cntzrec 19412	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈)))
24	14, 18, 23	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈)))
25	22, 24	anbi12d 643	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈))))
26	6, 20, 25	3bitr3d 312	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  Mndcmnd 18798  Grpcgrp 19006  SubGrpcsubg 19192  Cntzccntz 19391  LSSumclsm 19710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-subg 19195  df-cntz 19393  df-lsm 19712

This theorem is used by: (None)