Theorem lsmcntzr 19894

Description: The "subgroups commute" predicate applied to a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmcntzr	⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

Proof of Theorem lsmcntzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
2		lsmcntz.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcntz.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		lsmcntz.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	lsmcntz 19893	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆))))
7		subgrcl 19341	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
8		grpmnd 19151	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
9	4, 7, 8	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	10	subgss 19337	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
13	10	subgss 19337	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
14	3, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
15	10, 1	lsmssv 19857	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
16	9, 12, 14, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
17	10	subgss 19337	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
18	4, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
19	10, 5	cntzrec 19550	. . 3 ⊢ (((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈))))
20	16, 18, 19	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈))))
21	10, 5	cntzrec 19550	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
22	12, 18, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
23	10, 5	cntzrec 19550	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈)))
24	14, 18, 23	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈)))
25	22, 24	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈))))
26	6, 20, 25	3bitr3d 312	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 ⊕ 𝑈)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  Mndcmnd 18923  Grpcgrp 19144  SubGrpcsubg 19330  Cntzccntz 19529  LSSumclsm 19848

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-lsm 19850

This theorem is used by: (None)