MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntz2ss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntz2ss 19198
Description: Centralizers reverse the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzrec.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntz2ss ((๐‘† โŠ† ๐ต โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡))

Proof of Theorem cntz2ss
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . 6 (+gโ€˜๐‘€) = (+gโ€˜๐‘€)
2 cntzrec.z . . . . . 6 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
31, 2cntzi 19192 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))
43ralrimiva 3146 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))
5 ssralv 4050 . . . . 5 (๐‘‡ โŠ† ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
65adantl 482 . . . 4 ((๐‘† โŠ† ๐ต โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
74, 6syl5 34 . . 3 ((๐‘† โŠ† ๐ต โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
87ralrimiv 3145 . 2 ((๐‘† โŠ† ๐ต โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))
9 cntzrec.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
109, 2cntzssv 19191 . . 3 (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต
11 sstr 3990 . . . 4 ((๐‘‡ โŠ† ๐‘† โˆง ๐‘† โŠ† ๐ต) โ†’ ๐‘‡ โŠ† ๐ต)
1211ancoms 459 . . 3 ((๐‘† โŠ† ๐ต โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ ๐‘‡ โŠ† ๐ต)
139, 1, 2sscntz 19189 . . 3 (((๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
1410, 12, 13sylancr 587 . 2 ((๐‘† โŠ† ๐ต โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
158, 14mpbird 256 1 ((๐‘† โŠ† ๐ต โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   โŠ† wss 3948  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Cntzccntz 19178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-cntz 19180
This theorem is referenced by:  cntzidss  19203  gsumzadd  19789  dprdfadd  19889  dprdss  19898  dprd2da  19911  dmdprdsplit2lem  19914  cntzsdrg  20417
  Copyright terms: Public domain W3C validator