![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cntz2ss | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Centralizers reverse the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
cntzrec.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
cntzrec.z | โข ๐ = (Cntzโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
cntz2ss | โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ (๐โ๐) โ (๐โ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2726 | . . . . . 6 โข (+gโ๐) = (+gโ๐) | |
2 | cntzrec.z | . . . . . 6 โข ๐ = (Cntzโ๐) | |
3 | 1, 2 | cntzi 19242 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ (๐โ๐) โง ๐ฆ โ ๐) โ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ)) |
4 | 3 | ralrimiva 3140 | . . . 4 โข (๐ฅ โ (๐โ๐) โ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ)) |
5 | ssralv 4045 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) โ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ))) | |
6 | 5 | adantl 481 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ (โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) โ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ))) |
7 | 4, 6 | syl5 34 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ (๐ฅ โ (๐โ๐) โ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ))) |
8 | 7 | ralrimiv 3139 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ โ๐ฅ โ (๐โ๐)โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ)) |
9 | cntzrec.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
10 | 9, 2 | cntzssv 19241 | . . 3 โข (๐โ๐) โ ๐ต |
11 | sstr 3985 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
12 | 11 | ancoms 458 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐ต) |
13 | 9, 1, 2 | sscntz 19239 | . . 3 โข (((๐โ๐) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐โ๐) โ (๐โ๐) โ โ๐ฅ โ (๐โ๐)โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ))) |
14 | 10, 12, 13 | sylancr 586 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ ((๐โ๐) โ (๐โ๐) โ โ๐ฅ โ (๐โ๐)โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ))) |
15 | 8, 14 | mpbird 257 | 1 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ (๐โ๐) โ (๐โ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3055 โ wss 3943 โcfv 6536 (class class class)co 7404 Basecbs 17150 +gcplusg 17203 Cntzccntz 19228 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-ov 7407 df-cntz 19230 |
This theorem is referenced by: cntzidss 19253 gsumzadd 19839 dprdfadd 19939 dprdss 19948 dprd2da 19961 dmdprdsplit2lem 19964 cntzsdrg 20650 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |