![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cntz2ss | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Centralizers reverse the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
cntzrec.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
cntzrec.z | โข ๐ = (Cntzโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
cntz2ss | โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ (๐โ๐) โ (๐โ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2728 | . . . . . 6 โข (+gโ๐) = (+gโ๐) | |
2 | cntzrec.z | . . . . . 6 โข ๐ = (Cntzโ๐) | |
3 | 1, 2 | cntzi 19287 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ (๐โ๐) โง ๐ฆ โ ๐) โ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ)) |
4 | 3 | ralrimiva 3143 | . . . 4 โข (๐ฅ โ (๐โ๐) โ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ)) |
5 | ssralv 4050 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) โ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ))) | |
6 | 5 | adantl 480 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ (โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) โ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ))) |
7 | 4, 6 | syl5 34 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ (๐ฅ โ (๐โ๐) โ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ))) |
8 | 7 | ralrimiv 3142 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ โ๐ฅ โ (๐โ๐)โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ)) |
9 | cntzrec.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
10 | 9, 2 | cntzssv 19286 | . . 3 โข (๐โ๐) โ ๐ต |
11 | sstr 3990 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
12 | 11 | ancoms 457 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐ต) |
13 | 9, 1, 2 | sscntz 19284 | . . 3 โข (((๐โ๐) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐โ๐) โ (๐โ๐) โ โ๐ฅ โ (๐โ๐)โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ))) |
14 | 10, 12, 13 | sylancr 585 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ ((๐โ๐) โ (๐โ๐) โ โ๐ฅ โ (๐โ๐)โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ))) |
15 | 8, 14 | mpbird 256 | 1 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐) โ (๐โ๐) โ (๐โ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3058 โ wss 3949 โcfv 6553 (class class class)co 7426 Basecbs 17187 +gcplusg 17240 Cntzccntz 19273 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-ov 7429 df-cntz 19275 |
This theorem is referenced by: cntzidss 19298 gsumzadd 19884 dprdfadd 19984 dprdss 19993 dprd2da 20006 dmdprdsplit2lem 20009 cntzsdrg 20697 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |