MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntz2ss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntz2ss 19293
Description: Centralizers reverse the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzrec.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntz2ss ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โІ (๐‘โ€˜๐‘‡))

Proof of Theorem cntz2ss
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . 6 (+gโ€˜๐‘€) = (+gโ€˜๐‘€)
2 cntzrec.z . . . . . 6 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
31, 2cntzi 19287 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))
43ralrimiva 3143 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))
5 ssralv 4050 . . . . 5 (๐‘‡ โІ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
65adantl 480 . . . 4 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐‘†) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
74, 6syl5 34 . . 3 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
87ralrimiv 3142 . 2 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))
9 cntzrec.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
109, 2cntzssv 19286 . . 3 (๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต
11 sstr 3990 . . . 4 ((๐‘‡ โІ ๐‘† โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ ๐‘‡ โІ ๐ต)
1211ancoms 457 . . 3 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐‘†) โ†’ ๐‘‡ โІ ๐ต)
139, 1, 2sscntz 19284 . . 3 (((๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘†) โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
1410, 12, 13sylancr 585 . 2 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐‘†) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘†) โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
158, 14mpbird 256 1 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โІ (๐‘โ€˜๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058   โІ wss 3949  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Cntzccntz 19273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-cntz 19275
This theorem is referenced by:  cntzidss  19298  gsumzadd  19884  dprdfadd  19984  dprdss  19993  dprd2da  20006  dmdprdsplit2lem  20009  cntzsdrg  20697
  Copyright terms: Public domain W3C validator