Theorem subgdisj2 19602

Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 12-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgdisj.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
subgdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
subgdisj.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
subgdisj.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
subgdisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
subgdisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
subgdisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
subgdisj.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
subgdisj.j	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
subgdisj2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Proof of Theorem subgdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgdisj.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		subgdisj.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		subgdisj.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		subgdisj.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		subgdisj.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		incom 4201	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ 𝑇)
7		subgdisj.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
8	6, 7	eqtr3id 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
9		subgdisj.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
10	3, 5, 4, 9	cntzrecd 19588	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇))
11		subgdisj.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
12		subgdisj.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
13		subgdisj.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
14		subgdisj.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
15		subgdisj.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
16	9, 13	sseldd 3983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑍‘𝑈))
17	1, 3	cntzi 19235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
18	16, 11, 17	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
19	9, 14	sseldd 3983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈))
20	1, 3	cntzi 19235	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
21	19, 12, 20	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
22	15, 18, 21	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) = (𝐷 + 𝐶))
23	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 22	subgdisj1 19601	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  +_gcplusg 17202  0_gc0g 17390  SubGrpcsubg 19037  Cntzccntz 19221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223

This theorem is referenced by:  subgdisjb  19603  lvecindp  20897  lshpsmreu  38283  lshpkrlem5  38288