Theorem subgdisj2 18812

Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 12-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgdisj.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
subgdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
subgdisj.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
subgdisj.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
subgdisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
subgdisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
subgdisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
subgdisj.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
subgdisj.j	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
subgdisj2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Proof of Theorem subgdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgdisj.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		subgdisj.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		subgdisj.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		subgdisj.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		subgdisj.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		incom 4177	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ 𝑇)
7		subgdisj.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
8	6, 7	syl5eqr 2870	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
9		subgdisj.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
10	3, 5, 4, 9	cntzrecd 18798	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇))
11		subgdisj.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
12		subgdisj.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
13		subgdisj.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
14		subgdisj.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
15		subgdisj.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
16	9, 13	sseldd 3967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑍‘𝑈))
17	1, 3	cntzi 18453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
18	16, 11, 17	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
19	9, 14	sseldd 3967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈))
20	1, 3	cntzi 18453	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
21	19, 12, 20	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
22	15, 18, 21	3eqtr3d 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) = (𝐷 + 𝐶))
23	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 22	subgdisj1 18811	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  {csn 4560  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  +_gcplusg 16559  0_gc0g 16707  SubGrpcsubg 18267  Cntzccntz 18439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-cntz 18441

This theorem is referenced by:  subgdisjb  18813  lvecindp  19904  lshpsmreu  36239  lshpkrlem5  36244