Theorem subgdisj2 18890

Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 12-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgdisj.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
subgdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
subgdisj.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
subgdisj.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
subgdisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
subgdisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
subgdisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
subgdisj.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
subgdisj.j	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
subgdisj2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Proof of Theorem subgdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgdisj.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		subgdisj.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		subgdisj.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		subgdisj.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		subgdisj.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		incom 4108	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ 𝑇)
7		subgdisj.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
8	6, 7	syl5eqr 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
9		subgdisj.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
10	3, 5, 4, 9	cntzrecd 18876	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇))
11		subgdisj.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
12		subgdisj.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
13		subgdisj.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
14		subgdisj.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
15		subgdisj.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
16	9, 13	sseldd 3895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑍‘𝑈))
17	1, 3	cntzi 18531	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
18	16, 11, 17	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
19	9, 14	sseldd 3895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈))
20	1, 3	cntzi 18531	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
21	19, 12, 20	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
22	15, 18, 21	3eqtr3d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) = (𝐷 + 𝐶))
23	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 22	subgdisj1 18889	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  {csn 4525  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  +_gcplusg 16628  0_gc0g 16776  SubGrpcsubg 18345  Cntzccntz 18517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-0g 16778  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-subg 18348  df-cntz 18519

This theorem is referenced by:  subgdisjb  18891  lvecindp  19983  lshpsmreu  36711  lshpkrlem5  36716