Theorem subgdisj2 19957

Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 12-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgdisj.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
subgdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
subgdisj.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
subgdisj.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
subgdisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
subgdisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
subgdisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
subgdisj.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
subgdisj.j	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
subgdisj2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Proof of Theorem subgdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgdisj.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		subgdisj.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		subgdisj.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		subgdisj.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		subgdisj.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		incom 4109	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ 𝑇)
7		subgdisj.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
8	6, 7	eqtr3id 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
9		subgdisj.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
10	3, 5, 4, 9	cntzrecd 19943	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇))
11		subgdisj.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
12		subgdisj.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
13		subgdisj.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
14		subgdisj.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
15		subgdisj.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
16	9, 13	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑍‘𝑈))
17	1, 3	cntzi 19594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
18	16, 11, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
19	9, 14	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈))
20	1, 3	cntzi 19594	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
21	19, 12, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
22	15, 18, 21	3eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) = (𝐷 + 𝐶))
23	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 22	subgdisj1 19956	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  {csn 4588  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  +_gcplusg 17472  0_gc0g 17660  SubGrpcsubg 19380  Cntzccntz 19580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582

This theorem is used by:  subgdisjb  19958  lvecindp  21467  lshpsmreu  40432  lshpkrlem5  40437