MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1id Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1id 19567
Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+gโ€˜๐บ)
pj1eu.s โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
pj1eu.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
pj1eu.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
pj1eu.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
pj1eu.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
pj1eu.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
pj1eu.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
pj1f.p ๐‘ƒ = (proj1โ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
pj1id ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹)))

Proof of Theorem pj1id
Dummy variables ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2 subgrcl 19011 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
4 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
54subgss 19007 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘‡ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
61, 5syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
7 pj1eu.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
84subgss 19007 . . . . . . 7 (๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ˆ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
97, 8syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
103, 6, 93jca 1129 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‡ โŠ† (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โŠ† (Baseโ€˜๐บ)))
11 pj1eu.a . . . . . 6 + = (+gโ€˜๐บ)
12 pj1eu.s . . . . . 6 โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
13 pj1f.p . . . . . 6 ๐‘ƒ = (proj1โ€˜๐บ)
144, 11, 12, 13pj1val 19563 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‡ โŠ† (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โŠ† (Baseโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ)))
1510, 14sylan 581 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ)))
16 pj1eu.o . . . . . 6 0 = (0gโ€˜๐บ)
17 pj1eu.z . . . . . 6 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
18 pj1eu.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
19 pj1eu.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
2011, 12, 16, 17, 1, 7, 18, 19pj1eu 19564 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ))
21 riotacl2 7382 . . . . 5 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ)})
2220, 21syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ)})
2315, 22eqeltrd 2834 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ)})
24 oveq1 7416 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))
2524eqeq2d 2744 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) โ†’ (๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โ†” ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ)))
2625rexbidv 3179 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ)))
2726elrab 3684 . . . 4 (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ)} โ†” (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐‘‡ โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ)))
2827simprbi 498 . . 3 (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ)} โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))
2923, 28syl 17 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))
30 simprr 772 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))
313ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
329ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ˆ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
336ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘‡ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
34 simplr 768 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))
3512, 17lsmcom2 19523 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โŠ• ๐‘‡))
361, 7, 19, 35syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โŠ• ๐‘‡))
3736ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โŠ• ๐‘‡))
3834, 37eleqtrd 2836 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐‘ˆ โŠ• ๐‘‡))
394, 11, 12, 13pj1val 19563 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ˆ โŠ† (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (Baseโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘ˆ โŠ• ๐‘‡)) โ†’ ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹) = (โ„ฉ๐‘ข โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)))
4031, 32, 33, 38, 39syl31anc 1374 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹) = (โ„ฉ๐‘ข โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)))
4111, 12, 16, 17, 1, 7, 18, 19, 13pj1f 19565 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘‡)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘‡)
4342, 34ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐‘‡)
4419ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
4544, 43sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
46 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)
4711, 17cntzi 19193 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘ˆ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹)))
4845, 46, 47syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹)))
4930, 48eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘‹ = (๐‘ฆ + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹)))
50 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ฃ) = (๐‘ฆ + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹)))
5150rspceeqv 3634 . . . . . . 7 ((((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘‹ = (๐‘ฆ + ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ฆ + ๐‘ฃ))
5243, 49, 51syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ฆ + ๐‘ฃ))
53 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ๐œ‘)
54 incom 4202 . . . . . . . . . 10 (๐‘ˆ โˆฉ ๐‘‡) = (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ)
5554, 18eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆฉ ๐‘‡) = { 0 })
5617, 1, 7, 19cntzrecd 19546 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡))
5711, 12, 16, 17, 7, 1, 55, 56pj1eu 19564 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘ˆ โŠ• ๐‘‡)) โ†’ โˆƒ!๐‘ข โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ))
5853, 38, 57syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ!๐‘ข โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ))
59 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ข + ๐‘ฃ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฃ))
6059eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ) โ†” ๐‘‹ = (๐‘ฆ + ๐‘ฃ)))
6160rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ฆ + ๐‘ฃ)))
6261riota2 7391 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง โˆƒ!๐‘ข โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ฆ + ๐‘ฃ) โ†” (โ„ฉ๐‘ข โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)) = ๐‘ฆ))
6346, 58, 62syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ฆ + ๐‘ฃ) โ†” (โ„ฉ๐‘ข โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)) = ๐‘ฆ))
6452, 63mpbid 231 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ (โ„ฉ๐‘ข โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)) = ๐‘ฆ)
6540, 64eqtrd 2773 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹) = ๐‘ฆ)
6665oveq2d 7425 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹)) = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))
6730, 66eqtr4d 2776 . 2 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹)))
6829, 67rexlimddv 3162 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071  โˆƒ!wreu 3375  {crab 3433   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  {csn 4629  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  โ„ฉcrio 7364  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  SubGrpcsubg 19000  Cntzccntz 19179  LSSumclsm 19502  proj1cpj1 19503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504  df-pj1 19505
This theorem is referenced by:  pj1eq  19568  pj1ghm  19571  pj1lmhm  20711
  Copyright terms: Public domain W3C validator