Theorem lsmcntz 19610

Description: The "subgroups commute" predicate applied to a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmcntz	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

Proof of Theorem lsmcntz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmcntz.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		subgrcl 19063	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 19059	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
7		lsmcntz.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
8	5, 7	cntzsubg 19270	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	4, 6, 8	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	3, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		lsmcntz.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
12	11	lsmlub 19595	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈)))
13	1, 2, 10, 12	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈)))
14	13	bicomd 223	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  Grpcgrp 18865  SubGrpcsubg 19052  Cntzccntz 19246  LSSumclsm 19565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-subg 19055  df-cntz 19248  df-lsm 19567

This theorem is referenced by:  lsmcntzr  19611