Theorem lsmcntz 19807

Description: The "subgroups commute" predicate applied to a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmcntz	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

Proof of Theorem lsmcntz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmcntz.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		subgrcl 19255	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 19251	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
7		lsmcntz.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
8	5, 7	cntzsubg 19467	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	4, 6, 8	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	3, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		lsmcntz.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
12	11	lsmlub 19792	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈)))
13	1, 2, 10, 12	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈)))
14	13	bicomd 226	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  Grpcgrp 19058  SubGrpcsubg 19244  Cntzccntz 19443  LSSumclsm 19762

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-lsm 19764

This theorem is used by:  lsmcntzr  19808