Theorem lsmcntz 19840

Description: The "subgroups commute" predicate applied to a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmcntz	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

Proof of Theorem lsmcntz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmcntz.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		subgrcl 19288	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 19284	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
7		lsmcntz.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
8	5, 7	cntzsubg 19500	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	4, 6, 8	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	3, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		lsmcntz.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
12	11	lsmlub 19825	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈)))
13	1, 2, 10, 12	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈)))
14	13	bicomd 226	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Basecbs 17334  Grpcgrp 19091  SubGrpcsubg 19277  Cntzccntz 19476  LSSumclsm 19795

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-0g 17559  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-subg 19280  df-cntz 19478  df-lsm 19797

This theorem is used by:  lsmcntzr  19841