Theorem lsmcntz 19588

Description: The "subgroups commute" predicate applied to a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmcntz	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

Proof of Theorem lsmcntz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmcntz.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		subgrcl 19047	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 19043	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
7		lsmcntz.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
8	5, 7	cntzsubg 19244	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	4, 6, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	3, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		lsmcntz.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
12	11	lsmlub 19573	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈)))
13	1, 2, 10, 12	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈)))
14	13	bicomd 222	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Grpcgrp 18855  SubGrpcsubg 19036  Cntzccntz 19220  LSSumclsm 19543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545

This theorem is referenced by:  lsmcntzr  19589