Theorem pj2f 19285

Description: The right projection function maps a direct subspace sum onto the right factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj2f	⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈)

Proof of Theorem pj2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		pj1eu.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3		pj1eu.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		pj1eu.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		pj1eu.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		pj1eu.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		incom 4139	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑈)
8		pj1eu.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9	7, 8	eqtrid 2791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
10		pj1eu.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
11	4, 6, 5, 10	cntzrecd 19265	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇))
12		pj1f.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12	pj1f 19284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑈 ⊕ 𝑇)⟶𝑈)
14	2, 4	lsmcom2 19241	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
15	6, 5, 10, 14	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
16	15	feq2d 6582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈 ↔ (𝑈𝑃𝑇):(𝑈 ⊕ 𝑇)⟶𝑈))
17	13, 16	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3890   ⊆ wss 3891  {csn 4566  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  +_gcplusg 16943  0_gc0g 17131  SubGrpcsubg 18730  Cntzccntz 18902  LSSumclsm 19220  proj₁cpj1 19221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-subg 18733  df-cntz 18904  df-lsm 19222  df-pj1 19223

This theorem is referenced by:  pj1eq  19287  pj1ghm  19290  lsmhash  19292  pj1lmhm  20343