Theorem pj2f 19892

Description: The right projection function maps a direct subspace sum onto the right factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj2f	⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈)

Proof of Theorem pj2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		pj1eu.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3		pj1eu.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		pj1eu.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		pj1eu.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		pj1eu.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		incom 4155	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑈)
8		pj1eu.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9	7, 8	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
10		pj1eu.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
11	4, 6, 5, 10	cntzrecd 19872	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇))
12		pj1f.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12	pj1f 19891	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑈 ⊕ 𝑇)⟶𝑈)
14	2, 4	lsmcom2 19849	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
15	6, 5, 10, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
16	15	feq2d 6685	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈 ↔ (𝑈𝑃𝑇):(𝑈 ⊕ 𝑇)⟶𝑈))
17	13, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  +_gcplusg 17408  0_gc0g 17590  SubGrpcsubg 19310  Cntzccntz 19509  LSSumclsm 19828  proj₁cpj1 19829

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-subg 19313  df-cntz 19511  df-lsm 19830  df-pj1 19831

This theorem is used by:  pj1eq  19894  pj1ghm  19897  lsmhash  19899  pj1lmhm  21355