Theorem dprdcntz2 20173

Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprdcntz2.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdcntz2	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))

Proof of Theorem dprdcntz2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdcntz2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdcntz2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dprdcntz2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
4	1, 2, 3	dprdres 20163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
5	4	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
6		dmres 6009	. . 3 ⊢ dom (𝑆 ↾ 𝐶) = (𝐶 ∩ dom 𝑆)
7	3, 2	sseqtrrd 3971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ dom 𝑆)
8		dfss2 3920	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
9	7, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
10	6, 9	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ 𝐶) = 𝐶)
11		dprdgrp 20140	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
14	13	dprdssv 20151	. . 3 ⊢ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)
15		dprdcntz2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
16	13, 15	cntzsubg 19472	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	12, 14, 16	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18		fvres 6901	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
19	18	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
20		dprdcntz2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
21	1, 2, 20	dprdres 20163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
22	21	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
24		dprdsubg 20159	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	23, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
26	3	sselda 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐼)
27	1, 2	dprdf2 20142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
28	27	ffvelcdmda 7081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29	26, 28	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30		dmres 6009	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑆 ↾ 𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝑆)
31	20, 2	sseqtrrd 3971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ dom 𝑆)
32		dfss2 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
33	31, 32	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
34	30, 33	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ 𝐷) = 𝐷)
35	34	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → dom (𝑆 ↾ 𝐷) = 𝐷)
36	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
37	13	subgss 19256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
38	29, 37	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
39	13, 15	cntzsubg 19472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝑆‘𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
40	36, 38, 39	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑍‘(𝑆‘𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
41		fvres 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
42	41	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
43	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐺dom DProd 𝑆)
44	2	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → dom 𝑆 = 𝐼)
45	20	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
46	45	sselda 3934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐼)
47	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐼)
48		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
49		noel 4287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
50		elin 3918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
51		dprdcntz2.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
52	51	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
53	50, 52	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
54	49, 53	mtbiri 330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
55		imnan 405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
56	54, 55	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷))
57	56	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷)
58	57	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷)
59		nelne2 3055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑥)
60	48, 58, 59	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑥)
61	43, 44, 46, 47, 60, 15	dprdcntz 20143	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
62	42, 61	eqsstrd 3968	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
63	23, 35, 40, 62	dprdlub 20161	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
64	15, 25, 29, 63	cntzrecd 19811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
65	19, 64	eqsstrd 3968	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
66	5, 10, 17, 65	dprdlub 20161	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Grpcgrp 19063  SubGrpcsubg 19249  Cntzccntz 19448   DProd cdprd 20128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-gim 19392  df-cntz 19450  df-oppg 19479  df-cmn 19915  df-dprd 20130

This theorem is used by:  dprd2da  20177  dmdprdsplit  20182  ablfac1eulem  20207  ablfac1eu  20208