Theorem dprdcntz2 20070

Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprdcntz2.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdcntz2	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))

Proof of Theorem dprdcntz2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdcntz2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdcntz2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dprdcntz2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
4	1, 2, 3	dprdres 20060	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
5	4	simpld 498	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
6		dmres 5994	. . 3 ⊢ dom (𝑆 ↾ 𝐶) = (𝐶 ∩ dom 𝑆)
7	3, 2	sseqtrrd 3971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ dom 𝑆)
8		dfss2 3920	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
9	7, 8	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
10	6, 9	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ 𝐶) = 𝐶)
11		dprdgrp 20037	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
14	13	dprdssv 20048	. . 3 ⊢ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)
15		dprdcntz2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
16	13, 15	cntzsubg 19369	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	12, 14, 16	sylancl 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18		fvres 6880	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
19	18	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
20		dprdcntz2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
21	1, 2, 20	dprdres 20060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
22	21	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
23	22	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
24		dprdsubg 20056	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
26	3	sselda 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐼)
27	1, 2	dprdf2 20039	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
28	27	ffvelcdmda 7059	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29	26, 28	syldan 600	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30		dmres 5994	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑆 ↾ 𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝑆)
31	20, 2	sseqtrrd 3971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ dom 𝑆)
32		dfss2 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
33	31, 32	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
34	30, 33	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ 𝐷) = 𝐷)
35	34	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → dom (𝑆 ↾ 𝐷) = 𝐷)
36	12	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
37	13	subgss 19159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
38	29, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
39	13, 15	cntzsubg 19369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝑆‘𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
40	36, 38, 39	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑍‘(𝑆‘𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
41		fvres 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
42	41	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
43	1	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐺dom DProd 𝑆)
44	2	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → dom 𝑆 = 𝐼)
45	20	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
46	45	sselda 3934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐼)
47	26	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐼)
48		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
49		noel 4288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
50		elin 3918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
51		dprdcntz2.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
52	51	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
53	50, 52	bitr3id 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
54	49, 53	mtbiri 329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
55		imnan 403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
56	54, 55	sylibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷))
57	56	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷)
58	57	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷)
59		nelne2 3054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑥)
60	48, 58, 59	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑥)
61	43, 44, 46, 47, 60, 15	dprdcntz 20040	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
62	42, 61	eqsstrd 3968	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
63	23, 35, 40, 62	dprdlub 20058	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
64	15, 25, 29, 63	cntzrecd 19708	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
65	19, 64	eqsstrd 3968	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
66	5, 10, 17, 65	dprdlub 20058	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283   class class class wbr 5097  dom cdm 5643   ↾ cres 5645  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  Grpcgrp 18965  SubGrpcsubg 19152  Cntzccntz 19345   DProd cdprd 20025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-tpos 8199  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-hash 14337  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-mhm 18807  df-submnd 18808  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-mulg 19100  df-subg 19155  df-ghm 19244  df-gim 19289  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-cmn 19812  df-dprd 20027

This theorem is referenced by:  dprd2da  20074  dmdprdsplit  20079  ablfac1eulem  20104  ablfac1eu  20105