Theorem dprdcntz2 19817

Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprdcntz2.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdcntz2	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))

Proof of Theorem dprdcntz2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdcntz2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdcntz2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dprdcntz2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
4	1, 2, 3	dprdres 19807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
5	4	simpld 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
6		dmres 5959	. . 3 ⊢ dom (𝑆 ↾ 𝐶) = (𝐶 ∩ dom 𝑆)
7	3, 2	sseqtrrd 3985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ dom 𝑆)
8		df-ss 3927	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
9	7, 8	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
10	6, 9	eqtrid 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ 𝐶) = 𝐶)
11		dprdgrp 19784	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
14	13	dprdssv 19795	. . 3 ⊢ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)
15		dprdcntz2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
16	13, 15	cntzsubg 19117	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	12, 14, 16	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18		fvres 6861	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
19	18	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
20		dprdcntz2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
21	1, 2, 20	dprdres 19807	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
22	21	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
24		dprdsubg 19803	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
26	3	sselda 3944	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐼)
27	1, 2	dprdf2 19786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
28	27	ffvelcdmda 7035	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29	26, 28	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30		dmres 5959	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑆 ↾ 𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝑆)
31	20, 2	sseqtrrd 3985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ dom 𝑆)
32		df-ss 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
33	31, 32	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
34	30, 33	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ 𝐷) = 𝐷)
35	34	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → dom (𝑆 ↾ 𝐷) = 𝐷)
36	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
37	13	subgss 18929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
38	29, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
39	13, 15	cntzsubg 19117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝑆‘𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
40	36, 38, 39	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑍‘(𝑆‘𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
41		fvres 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
42	41	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
43	1	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐺dom DProd 𝑆)
44	2	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → dom 𝑆 = 𝐼)
45	20	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
46	45	sselda 3944	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐼)
47	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐼)
48		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
49		noel 4290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
50		elin 3926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
51		dprdcntz2.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
52	51	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
53	50, 52	bitr3id 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
54	49, 53	mtbiri 326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
55		imnan 400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
56	54, 55	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷))
57	56	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷)
58	57	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷)
59		nelne2 3042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑥)
60	48, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑥)
61	43, 44, 46, 47, 60, 15	dprdcntz 19787	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
62	42, 61	eqsstrd 3982	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
63	23, 35, 40, 62	dprdlub 19805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
64	15, 25, 29, 63	cntzrecd 19460	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
65	19, 64	eqsstrd 3982	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
66	5, 10, 17, 65	dprdlub 19805	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282   class class class wbr 5105  dom cdm 5633   ↾ cres 5635  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  Grpcgrp 18748  SubGrpcsubg 18922  Cntzccntz 19095   DProd cdprd 19772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-cmn 19564  df-dprd 19774

This theorem is referenced by:  dprd2da  19821  dmdprdsplit  19826  ablfac1eulem  19851  ablfac1eu  19852