MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdcntz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdcntz2 19960
Description: The function ๐‘† is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
dprdcntz2.2 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
dprdcntz2.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โІ ๐ผ)
dprdcntz2.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โІ ๐ผ)
dprdcntz2.i (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
dprdcntz2.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
dprdcntz2 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โІ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))

Proof of Theorem dprdcntz2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdcntz2.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
2 dprdcntz2.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
3 dprdcntz2.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โІ ๐ผ)
41, 2, 3dprdres 19950 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โІ (๐บ DProd ๐‘†)))
54simpld 494 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ))
6 dmres 5997 . . 3 dom (๐‘† โ†พ ๐ถ) = (๐ถ โˆฉ dom ๐‘†)
73, 2sseqtrrd 4018 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โІ dom ๐‘†)
8 df-ss 3960 . . . 4 (๐ถ โІ dom ๐‘† โ†” (๐ถ โˆฉ dom ๐‘†) = ๐ถ)
97, 8sylib 217 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆฉ dom ๐‘†) = ๐ถ)
106, 9eqtrid 2778 . 2 (๐œ‘ โ†’ dom (๐‘† โ†พ ๐ถ) = ๐ถ)
11 dprdgrp 19927 . . . 4 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
121, 11syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
13 eqid 2726 . . . 4 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
1413dprdssv 19938 . . 3 (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โІ (Baseโ€˜๐บ)
15 dprdcntz2.z . . . 4 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
1613, 15cntzsubg 19255 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
1712, 14, 16sylancl 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
18 fvres 6904 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐‘† โ†พ ๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
1918adantl 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐‘† โ†พ ๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
20 dprdcntz2.d . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โІ ๐ผ)
211, 2, 20dprdres 19950 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โІ (๐บ DProd ๐‘†)))
2221simpld 494 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))
2322adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))
24 dprdsubg 19946 . . . . 5 (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท) โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
263sselda 3977 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ)
271, 2dprdf2 19929 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
2827ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2926, 28syldan 590 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
30 dmres 5997 . . . . . . 7 dom (๐‘† โ†พ ๐ท) = (๐ท โˆฉ dom ๐‘†)
3120, 2sseqtrrd 4018 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โІ dom ๐‘†)
32 df-ss 3960 . . . . . . . 8 (๐ท โІ dom ๐‘† โ†” (๐ท โˆฉ dom ๐‘†) = ๐ท)
3331, 32sylib 217 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆฉ dom ๐‘†) = ๐ท)
3430, 33eqtrid 2778 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom (๐‘† โ†พ ๐ท) = ๐ท)
3534adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ dom (๐‘† โ†พ ๐ท) = ๐ท)
3612adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
3713subgss 19054 . . . . . . 7 ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ (Baseโ€˜๐บ))
3829, 37syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ (Baseโ€˜๐บ))
3913, 15cntzsubg 19255 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4036, 38, 39syl2anc 583 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
41 fvres 6904 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†’ ((๐‘† โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))
4241adantl 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘† โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))
431ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
442ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
4520adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐ท โІ ๐ผ)
4645sselda 3977 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ)
4726adantr 480 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ)
48 simpr 484 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท)
49 noel 4325 . . . . . . . . . . . 12 ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ โˆ…
50 elin 3959 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆฉ ๐ท) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท))
51 dprdcntz2.i . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
5251eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆฉ ๐ท) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โˆ…))
5350, 52bitr3id 285 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โˆ…))
5449, 53mtbiri 327 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท))
55 imnan 399 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท) โ†” ยฌ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท))
5654, 55sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท))
5756imp 406 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท)
5857adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท)
59 nelne2 3034 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  ๐‘ฅ)
6048, 58, 59syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  ๐‘ฅ)
6143, 44, 46, 47, 60, 15dprdcntz 19930 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โІ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฅ)))
6242, 61eqsstrd 4015 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘† โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ฆ) โІ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฅ)))
6323, 35, 40, 62dprdlub 19948 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โІ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฅ)))
6415, 25, 29, 63cntzrecd 19598 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))
6519, 64eqsstrd 4015 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐‘† โ†พ ๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โІ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))
665, 10, 17, 65dprdlub 19948 1 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โІ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  dom cdm 5669   โ†พ cres 5671  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19047  Cntzccntz 19231   DProd cdprd 19915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-cmn 19702  df-dprd 19917
This theorem is referenced by:  dprd2da  19964  dmdprdsplit  19969  ablfac1eulem  19994  ablfac1eu  19995
  Copyright terms: Public domain W3C validator