MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdcntz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdcntz2 19999
Description: The function ๐‘† is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
dprdcntz2.2 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
dprdcntz2.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โІ ๐ผ)
dprdcntz2.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โІ ๐ผ)
dprdcntz2.i (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
dprdcntz2.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
dprdcntz2 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โІ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))

Proof of Theorem dprdcntz2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdcntz2.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
2 dprdcntz2.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
3 dprdcntz2.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โІ ๐ผ)
41, 2, 3dprdres 19989 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โІ (๐บ DProd ๐‘†)))
54simpld 493 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ))
6 dmres 6011 . . 3 dom (๐‘† โ†พ ๐ถ) = (๐ถ โˆฉ dom ๐‘†)
73, 2sseqtrrd 4014 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โІ dom ๐‘†)
8 dfss2 3957 . . . 4 (๐ถ โІ dom ๐‘† โ†” (๐ถ โˆฉ dom ๐‘†) = ๐ถ)
97, 8sylib 217 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆฉ dom ๐‘†) = ๐ถ)
106, 9eqtrid 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ dom (๐‘† โ†พ ๐ถ) = ๐ถ)
11 dprdgrp 19966 . . . 4 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
121, 11syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
13 eqid 2725 . . . 4 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
1413dprdssv 19977 . . 3 (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โІ (Baseโ€˜๐บ)
15 dprdcntz2.z . . . 4 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
1613, 15cntzsubg 19294 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
1712, 14, 16sylancl 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
18 fvres 6911 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐‘† โ†พ ๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
1918adantl 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐‘† โ†พ ๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
20 dprdcntz2.d . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โІ ๐ผ)
211, 2, 20dprdres 19989 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โІ (๐บ DProd ๐‘†)))
2221simpld 493 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))
2322adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))
24 dprdsubg 19985 . . . . 5 (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท) โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
263sselda 3972 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ)
271, 2dprdf2 19968 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
2827ffvelcdmda 7089 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2926, 28syldan 589 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
30 dmres 6011 . . . . . . 7 dom (๐‘† โ†พ ๐ท) = (๐ท โˆฉ dom ๐‘†)
3120, 2sseqtrrd 4014 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โІ dom ๐‘†)
32 dfss2 3957 . . . . . . . 8 (๐ท โІ dom ๐‘† โ†” (๐ท โˆฉ dom ๐‘†) = ๐ท)
3331, 32sylib 217 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆฉ dom ๐‘†) = ๐ท)
3430, 33eqtrid 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom (๐‘† โ†พ ๐ท) = ๐ท)
3534adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ dom (๐‘† โ†พ ๐ท) = ๐ท)
3612adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
3713subgss 19086 . . . . . . 7 ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ (Baseโ€˜๐บ))
3829, 37syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ (Baseโ€˜๐บ))
3913, 15cntzsubg 19294 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4036, 38, 39syl2anc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
41 fvres 6911 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†’ ((๐‘† โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))
4241adantl 480 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘† โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))
431ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
442ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
4520adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐ท โІ ๐ผ)
4645sselda 3972 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ)
4726adantr 479 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ)
48 simpr 483 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท)
49 noel 4326 . . . . . . . . . . . 12 ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ โˆ…
50 elin 3955 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆฉ ๐ท) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท))
51 dprdcntz2.i . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
5251eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆฉ ๐ท) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โˆ…))
5350, 52bitr3id 284 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โˆ…))
5449, 53mtbiri 326 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท))
55 imnan 398 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท) โ†” ยฌ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท))
5654, 55sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท))
5756imp 405 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท)
5857adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท)
59 nelne2 3030 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  ๐‘ฅ)
6048, 58, 59syl2anc 582 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  ๐‘ฅ)
6143, 44, 46, 47, 60, 15dprdcntz 19969 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โІ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฅ)))
6242, 61eqsstrd 4011 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘† โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ฆ) โІ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฅ)))
6323, 35, 40, 62dprdlub 19987 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โІ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฅ)))
6415, 25, 29, 63cntzrecd 19637 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))
6519, 64eqsstrd 4011 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐‘† โ†พ ๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โІ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))
665, 10, 17, 65dprdlub 19987 1 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โІ (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   โˆฉ cin 3938   โІ wss 3939  โˆ…c0 4318   class class class wbr 5143  dom cdm 5672   โ†พ cres 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  Grpcgrp 18894  SubGrpcsubg 19079  Cntzccntz 19270   DProd cdprd 19954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-gim 19217  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-cmn 19741  df-dprd 19956
This theorem is referenced by:  dprd2da  20003  dmdprdsplit  20008  ablfac1eulem  20033  ablfac1eu  20034
  Copyright terms: Public domain W3C validator