Theorem dprdcntz2 20013

Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprdcntz2.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdcntz2	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))

Proof of Theorem dprdcntz2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdcntz2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdcntz2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dprdcntz2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
4	1, 2, 3	dprdres 20003	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
5	4	simpld 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
6		dmres 5971	. . 3 ⊢ dom (𝑆 ↾ 𝐶) = (𝐶 ∩ dom 𝑆)
7	3, 2	sseqtrrd 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ dom 𝑆)
8		dfss2 3908	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
9	7, 8	sylib 219	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
10	6, 9	eqtrid 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ 𝐶) = 𝐶)
11		dprdgrp 19980	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
14	13	dprdssv 19991	. . 3 ⊢ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)
15		dprdcntz2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
16	13, 15	cntzsubg 19312	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	12, 14, 16	sylancl 592	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18		fvres 6853	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
19	18	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
20		dprdcntz2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
21	1, 2, 20	dprdres 20003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
22	21	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
24		dprdsubg 19999	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
26	3	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐼)
27	1, 2	dprdf2 19982	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
28	27	ffvelcdmda 7032	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29	26, 28	syldan 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30		dmres 5971	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑆 ↾ 𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝑆)
31	20, 2	sseqtrrd 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ dom 𝑆)
32		dfss2 3908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
33	31, 32	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
34	30, 33	eqtrid 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ 𝐷) = 𝐷)
35	34	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → dom (𝑆 ↾ 𝐷) = 𝐷)
36	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
37	13	subgss 19101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
38	29, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
39	13, 15	cntzsubg 19312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝑆‘𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
40	36, 38, 39	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑍‘(𝑆‘𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
41		fvres 6853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
42	41	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
43	1	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐺dom DProd 𝑆)
44	2	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → dom 𝑆 = 𝐼)
45	20	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
46	45	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐼)
47	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐼)
48		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
49		noel 4273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
50		elin 3906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
51		dprdcntz2.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
52	51	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
53	50, 52	bitr3id 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
54	49, 53	mtbiri 328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
55		imnan 400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
56	54, 55	sylibr 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷))
57	56	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷)
58	57	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷)
59		nelne2 3033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑥)
60	48, 58, 59	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑥)
61	43, 44, 46, 47, 60, 15	dprdcntz 19983	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
62	42, 61	eqsstrd 3956	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
63	23, 35, 40, 62	dprdlub 20001	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
64	15, 25, 29, 63	cntzrecd 19651	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
65	19, 64	eqsstrd 3956	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
66	5, 10, 17, 65	dprdlub 20001	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  Grpcgrp 18907  SubGrpcsubg 19094  Cntzccntz 19288   DProd cdprd 19968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-gim 19232  df-cntz 19290  df-oppg 19319  df-cmn 19755  df-dprd 19970

This theorem is referenced by:  dprd2da  20017  dmdprdsplit  20022  ablfac1eulem  20047  ablfac1eu  20048