MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdcntz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdcntz2 19151
Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz2.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c (𝜑𝐶𝐼)
dprdcntz2.d (𝜑𝐷𝐼)
dprdcntz2.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdcntz2.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdcntz2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))

Proof of Theorem dprdcntz2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdcntz2.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdcntz2.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dprdcntz2.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐼)
41, 2, 3dprdres 19141 . . 3 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
54simpld 498 . 2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
6 dmres 5853 . . 3 dom (𝑆𝐶) = (𝐶 ∩ dom 𝑆)
73, 2sseqtrrd 3983 . . . 4 (𝜑𝐶 ⊆ dom 𝑆)
8 df-ss 3925 . . . 4 (𝐶 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
97, 8sylib 221 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
106, 9syl5eq 2869 . 2 (𝜑 → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
11 dprdgrp 19118 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
121, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
13 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1413dprdssv 19129 . . 3 (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)
15 dprdcntz2.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
1613, 15cntzsubg 18458 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1712, 14, 16sylancl 589 . 2 (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18 fvres 6671 . . . 4 (𝑥𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
1918adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
20 dprdcntz2.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐼)
211, 2, 20dprdres 19141 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
2221simpld 498 . . . . . 6 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
2322adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
24 dprdsubg 19137 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
263sselda 3942 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐼)
271, 2dprdf2 19120 . . . . . 6 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2827ffvelrnda 6833 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2926, 28syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30 dmres 5853 . . . . . . 7 dom (𝑆𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝑆)
3120, 2sseqtrrd 3983 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ⊆ dom 𝑆)
32 df-ss 3925 . . . . . . . 8 (𝐷 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
3331, 32sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
3430, 33syl5eq 2869 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
3534adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
3612adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
3713subgss 18271 . . . . . . 7 ((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
3829, 37syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
3913, 15cntzsubg 18458 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝑥) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝑆𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4036, 38, 39syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑍‘(𝑆𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
41 fvres 6671 . . . . . . 7 (𝑦𝐷 → ((𝑆𝐷)‘𝑦) = (𝑆𝑦))
4241adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑆𝐷)‘𝑦) = (𝑆𝑦))
431ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐺dom DProd 𝑆)
442ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → dom 𝑆 = 𝐼)
4520adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷𝐼)
4645sselda 3942 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐼)
4726adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑥𝐼)
48 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
49 noel 4269 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝑥 ∈ ∅
50 elin 3924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
51 dprdcntz2.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
5251eleq2d 2899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
5350, 52bitr3id 288 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝐶𝑥𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
5449, 53mtbiri 330 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
55 imnan 403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶 → ¬ 𝑥𝐷) ↔ ¬ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
5654, 55sylibr 237 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐶 → ¬ 𝑥𝐷))
5756imp 410 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ¬ 𝑥𝐷)
5857adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ¬ 𝑥𝐷)
59 nelne2 3108 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐷 ∧ ¬ 𝑥𝐷) → 𝑦𝑥)
6048, 58, 59syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝑥)
6143, 44, 46, 47, 60, 15dprdcntz 19121 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑥)))
6242, 61eqsstrd 3980 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑆𝐷)‘𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑥)))
6323, 35, 40, 62dprdlub 19139 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑥)))
6415, 25, 29, 63cntzrecd 18795 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
6519, 64eqsstrd 3980 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
665, 10, 17, 65dprdlub 19139 1 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  cin 3907  wss 3908  c0 4265   class class class wbr 5042  dom cdm 5532  cres 5534  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  Grpcgrp 18094  SubGrpcsubg 18264  Cntzccntz 18436   DProd cdprd 19106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-gim 18390  df-cntz 18438  df-oppg 18465  df-cmn 18899  df-dprd 19108
This theorem is referenced by:  dprd2da  19155  dmdprdsplit  19160  ablfac1eulem  19185  ablfac1eu  19186
  Copyright terms: Public domain W3C validator