Theorem dia1eldmN 41487

Description: The fiducial hyperplane (the largest allowed lattice element) belongs to the domain of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1eldm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1eldm.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia1eldmN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ dom 𝐼)

Proof of Theorem dia1eldmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dia1eldm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3	1, 2	lhpbase 40444	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5		hllat 39809	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7	1, 6	latref 18407	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
8	5, 3, 7	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
9		dia1eldm.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
10	1, 6, 2, 9	diaeldm 41482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)))
11	4, 8, 10	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ dom 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  Basecbs 17179  lecple 17227  Latclat 18397  HLchlt 39796  LHypclh 40430  DIsoAcdia 41474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-proset 18260  df-poset 18279  df-lat 18398  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-lhyp 40434  df-disoa 41475

This theorem is referenced by:  dia1elN  41500