Theorem dia1eldmN 41613

Description: The fiducial hyperplane (the largest allowed lattice element) belongs to the domain of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1eldm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1eldm.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia1eldmN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ dom 𝐼)

Proof of Theorem dia1eldmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dia1eldm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3	1, 2	lhpbase 40570	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4	3	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5		hllat 39935	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
6		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7	1, 6	latref 18449	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
8	5, 3, 7	syl2an 604	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
9		dia1eldm.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
10	1, 6, 2, 9	diaeldm 41608	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)))
11	4, 8, 10	mpbir2and 721	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ dom 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  dom cdm 5640  ‘cfv 6510  Basecbs 17221  lecple 17269  Latclat 18439  HLchlt 39922  LHypclh 40556  DIsoAcdia 41600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5384

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-proset 18302  df-poset 18321  df-lat 18440  df-atl 39870  df-cvlat 39894  df-hlat 39923  df-lhyp 40560  df-disoa 41601

This theorem is referenced by:  dia1elN  41626