Theorem dia1eldmN 41038

Description: The fiducial hyperplane (the largest allowed lattice element) belongs to the domain of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1eldm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1eldm.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia1eldmN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ dom 𝐼)

Proof of Theorem dia1eldmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dia1eldm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3	1, 2	lhpbase 39995	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5		hllat 39359	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7	1, 6	latref 18508	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
8	5, 3, 7	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
9		dia1eldm.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
10	1, 6, 2, 9	diaeldm 41033	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)))
11	4, 8, 10	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ dom 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5151  dom cdm 5693  ‘cfv 6569  Basecbs 17254  lecple 17314  Latclat 18498  HLchlt 39346  LHypclh 39981  DIsoAcdia 41025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-ov 7441  df-proset 18361  df-poset 18380  df-lat 18499  df-atl 39294  df-cvlat 39318  df-hlat 39347  df-lhyp 39985  df-disoa 41026

This theorem is referenced by:  dia1elN  41051