Theorem dia1eldmN 41901

Description: The fiducial hyperplane (the largest allowed lattice element) belongs to the domain of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1eldm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1eldm.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia1eldmN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ dom 𝐼)

Proof of Theorem dia1eldmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dia1eldm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3	1, 2	lhpbase 40858	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5		hllat 40223	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7	1, 6	latref 18533	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
8	5, 3, 7	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
9		dia1eldm.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
10	1, 6, 2, 9	diaeldm 41896	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)))
11	4, 8, 10	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ dom 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  lecple 17353  Latclat 18523  HLchlt 40210  LHypclh 40844  DIsoAcdia 41888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-proset 18386  df-poset 18405  df-lat 18524  df-atl 40158  df-cvlat 40182  df-hlat 40211  df-lhyp 40848  df-disoa 41889

This theorem is used by:  dia1elN  41914