Theorem dia0eldmN 41034

Description: The lattice zero belongs to the domain of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia0eldm.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dia0eldm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia0eldm.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia0eldmN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ dom 𝐼)

Proof of Theorem dia0eldmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 39355	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		dia0eldm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5	3, 4	op0cl 39177	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
7		dia0eldm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8	3, 7	lhpbase 39992	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10	3, 9, 4	op0le 39179	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
11	1, 8, 10	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
12		dia0eldm.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
13	3, 9, 7, 12	diaeldm 41030	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 ∈ dom 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 (le‘𝐾)𝑊)))
14	6, 11, 13	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ dom 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  lecple 17227  0.cp0 18382  OPcops 39165  HLchlt 39343  LHypclh 39978  DIsoAcdia 41022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-glb 18306  df-p0 18384  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-hlat 39344  df-lhyp 39982  df-disoa 41023

This theorem is referenced by: (None)