Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia0eldmN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia0eldmN 40424
Description: The lattice zero belongs to the domain of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dia0eldm.z 0 = (0.β€˜πΎ)
dia0eldm.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia0eldm.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dia0eldmN ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 ∈ dom 𝐼)

Proof of Theorem dia0eldmN
StepHypRef Expression
1 hlop 38745 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
21adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ OP)
3 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 dia0eldm.z . . . 4 0 = (0.β€˜πΎ)
53, 4op0cl 38567 . . 3 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
62, 5syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7 dia0eldm.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
83, 7lhpbase 39382 . . 3 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9 eqid 2726 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
103, 9, 4op0le 38569 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)π‘Š)
111, 8, 10syl2an 595 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)π‘Š)
12 dia0eldm.i . . 3 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
133, 9, 7, 12diaeldm 40420 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( 0 ∈ dom 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 0 (leβ€˜πΎ)π‘Š)))
146, 11, 13mpbir2and 710 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 ∈ dom 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  lecple 17213  0.cp0 18388  OPcops 38555  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DIsoAcdia 40412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-glb 18312  df-p0 18390  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-hlat 38734  df-lhyp 39372  df-disoa 40413
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator