Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia0eldmN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia0eldmN 38248
Description: The lattice zero belongs to the domain of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dia0eldm.z 0 = (0.‘𝐾)
dia0eldm.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia0eldm.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dia0eldmN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 ∈ dom 𝐼)

Proof of Theorem dia0eldmN
StepHypRef Expression
1 hlop 36570 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
21adantr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
3 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 dia0eldm.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
53, 4op0cl 36392 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
62, 5syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
7 dia0eldm.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
83, 7lhpbase 37206 . . 3 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9 eqid 2824 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
103, 9, 4op0le 36394 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
111, 8, 10syl2an 598 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
12 dia0eldm.i . . 3 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
133, 9, 7, 12diaeldm 38244 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 0 ∈ dom 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 (le‘𝐾)𝑊)))
146, 11, 13mpbir2and 712 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 ∈ dom 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  dom cdm 5543  cfv 6344  Basecbs 16481  lecple 16570  0.cp0 17645  OPcops 36380  HLchlt 36558  LHypclh 37192  DIsoAcdia 38236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-glb 17583  df-p0 17647  df-oposet 36384  df-ol 36386  df-oml 36387  df-hlat 36559  df-lhyp 37196  df-disoa 38237
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator