Theorem dia0eldmN 41854

Description: The lattice zero belongs to the domain of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia0eldm.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dia0eldm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia0eldm.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia0eldmN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ dom 𝐼)

Proof of Theorem dia0eldmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 40176	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
3		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		dia0eldm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5	3, 4	op0cl 39998	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
7		dia0eldm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8	3, 7	lhpbase 40812	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
9		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10	3, 9, 4	op0le 40000	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
11	1, 8, 10	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
12		dia0eldm.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
13	3, 9, 7, 12	diaeldm 41850	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 ∈ dom 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 (le‘𝐾)𝑊)))
14	6, 11, 13	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ dom 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  lecple 17342  0.cp0 18502  OPcops 39986  HLchlt 40164  LHypclh 40798  DIsoAcdia 41842

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-glb 18426  df-p0 18504  df-oposet 39990  df-ol 39992  df-oml 39993  df-hlat 40165  df-lhyp 40802  df-disoa 41843

This theorem is used by: (None)