Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia0eldmN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia0eldmN 40569
Description: The lattice zero belongs to the domain of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dia0eldm.z 0 = (0.β€˜πΎ)
dia0eldm.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia0eldm.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dia0eldmN ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 ∈ dom 𝐼)

Proof of Theorem dia0eldmN
StepHypRef Expression
1 hlop 38890 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
21adantr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ OP)
3 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 dia0eldm.z . . . 4 0 = (0.β€˜πΎ)
53, 4op0cl 38712 . . 3 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
62, 5syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7 dia0eldm.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
83, 7lhpbase 39527 . . 3 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9 eqid 2725 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
103, 9, 4op0le 38714 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)π‘Š)
111, 8, 10syl2an 594 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)π‘Š)
12 dia0eldm.i . . 3 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
133, 9, 7, 12diaeldm 40565 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( 0 ∈ dom 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 0 (leβ€˜πΎ)π‘Š)))
146, 11, 13mpbir2and 711 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 ∈ dom 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  β€˜cfv 6543  Basecbs 17179  lecple 17239  0.cp0 18414  OPcops 38700  HLchlt 38878  LHypclh 39513  DIsoAcdia 40557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-glb 18338  df-p0 18416  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-hlat 38879  df-lhyp 39517  df-disoa 40558
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator