Theorem dia1elN 41616

Description: The largest subspace in the range of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia1elN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dia1elN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dia1.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dia1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	dia1N 41615	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = 𝑇)
5	1, 3	diaf11N 41611	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
6		f1ofun 6793	. . . 4 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 → Fun 𝐼)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Fun 𝐼)
8	1, 3	dia1eldmN 41603	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ dom 𝐼)
9		fvelrn 7042	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑊) ∈ ran 𝐼)
10	7, 8, 9	syl2anc 592	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) ∈ ran 𝐼)
11	4, 10	eqeltrrd 2853	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  dom cdm 5636  ran crn 5637  Fun wfun 6500  –1-1-onto→wf1o 6505  ‘cfv 6506  HLchlt 39912  LHypclh 40546  LTrncltrn 40663  DIsoAcdia 41590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-riotaBAD 39515

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-undef 8237  df-map 8794  df-proset 18298  df-poset 18317  df-plt 18332  df-lub 18348  df-glb 18349  df-join 18350  df-meet 18351  df-p0 18427  df-p1 18428  df-lat 18436  df-clat 18503  df-oposet 39738  df-ol 39740  df-oml 39741  df-covers 39828  df-ats 39829  df-atl 39860  df-cvlat 39884  df-hlat 39913  df-llines 40060  df-lplanes 40061  df-lvols 40062  df-lines 40063  df-psubsp 40065  df-pmap 40066  df-padd 40358  df-lhyp 40550  df-laut 40551  df-ldil 40666  df-ltrn 40667  df-trl 40721  df-disoa 41591

This theorem is referenced by:  docaclN  41686