Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia1elN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia1elN 40436
Description: The largest subspace in the range of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dia1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia1.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dia1elN ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑇 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dia1elN
StepHypRef Expression
1 dia1.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dia1.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dia1.i . . 3 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3dia1N 40435 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (πΌβ€˜π‘Š) = 𝑇)
51, 3diaf11N 40431 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
6 f1ofun 6828 . . . 4 (𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 β†’ Fun 𝐼)
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Fun 𝐼)
81, 3dia1eldmN 40423 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ dom 𝐼)
9 fvelrn 7071 . . 3 ((Fun 𝐼 ∧ π‘Š ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘Š) ∈ ran 𝐼)
107, 8, 9syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (πΌβ€˜π‘Š) ∈ ran 𝐼)
114, 10eqeltrrd 2828 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑇 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  dom cdm 5669  ran crn 5670  Fun wfun 6530  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  HLchlt 38731  LHypclh 39366  LTrncltrn 39483  DIsoAcdia 40410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-riotaBAD 38334
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8256  df-map 8821  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-disoa 40411
This theorem is referenced by:  docaclN  40506
  Copyright terms: Public domain W3C validator