Theorem dia1elN 39730

Description: The largest subspace in the range of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia1elN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dia1elN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dia1.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dia1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	dia1N 39729	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = 𝑇)
5	1, 3	diaf11N 39725	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
6		f1ofun 6822	. . . 4 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 → Fun 𝐼)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Fun 𝐼)
8	1, 3	dia1eldmN 39717	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ dom 𝐼)
9		fvelrn 7063	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑊) ∈ ran 𝐼)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) ∈ ran 𝐼)
11	4, 10	eqeltrrd 2833	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  dom cdm 5669  ran crn 5670  Fun wfun 6526  –1-1-onto→wf1o 6531  ‘cfv 6532  HLchlt 38025  LHypclh 38660  LTrncltrn 38777  DIsoAcdia 39704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-riotaBAD 37628

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-undef 8240  df-map 8805  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 37851  df-ol 37853  df-oml 37854  df-covers 37941  df-ats 37942  df-atl 37973  df-cvlat 37997  df-hlat 38026  df-llines 38174  df-lplanes 38175  df-lvols 38176  df-lines 38177  df-psubsp 38179  df-pmap 38180  df-padd 38472  df-lhyp 38664  df-laut 38665  df-ldil 38780  df-ltrn 38781  df-trl 38835  df-disoa 39705

This theorem is referenced by:  docaclN  39800