Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord2cN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihord2cN 40821
Description: Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122. Reverse ordering property. TODO: needed? shorten other proof with it? (Contributed by NM, 3-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjust.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihjust.l = (le‘𝐾)
dihjust.j = (join‘𝐾)
dihjust.m = (meet‘𝐾)
dihjust.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjust.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjust.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihjust.J 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
dihjust.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjust.s = (LSSum‘𝑈)
dihord2c.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihord2c.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihord2c.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dihord2cN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → ⟨𝑓, 𝑂⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))
Distinct variable groups:   ,𝑓   ,𝑓   ,𝑓   𝑓,,𝐴   𝑓,𝐼   𝑓,𝐽   𝑅,𝑓   𝐵,𝑓,   𝑓,𝐻,   𝑓,𝐾,   ,𝑓,   𝑇,𝑓,   𝑓,𝑊,   𝑓,𝑋
Allowed substitution hints:   ()   𝑅()   𝑈(𝑓,)   𝐼()   𝐽()   ()   ()   𝑂(𝑓,)   𝑋()

Proof of Theorem dihord2cN
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)))
2 eqidd 2726 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → 𝑂 = 𝑂)
3 simp1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp1l 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
54hllatd 38963 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp2 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → 𝑋𝐵)
7 simp1r 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → 𝑊𝐻)
8 dihjust.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
9 dihjust.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
108, 9lhpbase 39598 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
117, 10syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → 𝑊𝐵)
12 dihjust.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
138, 12latmcl 18435 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
145, 6, 11, 13syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
15 dihjust.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
168, 15, 12latmle2 18460 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
175, 6, 11, 16syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
18 dihord2c.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
19 dihord2c.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
20 dihord2c.o . . . 4 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
21 dihjust.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
228, 15, 9, 18, 19, 20, 21dibopelval3 40748 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑂⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)) ∧ 𝑂 = 𝑂)))
233, 14, 17, 22syl12anc 835 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → (⟨𝑓, 𝑂⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)) ∧ 𝑂 = 𝑂)))
241, 2, 23mpbir2and 711 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → ⟨𝑓, 𝑂⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cop 4636   class class class wbr 5149  cmpt 5232   I cid 5575  cres 5680  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lecple 17243  joincjn 18306  meetcmee 18307  Latclat 18426  LSSumclsm 19601  Atomscatm 38862  HLchlt 38949  LHypclh 39584  LTrncltrn 39701  trLctrl 39758  DVecHcdvh 40678  DIsoBcdib 40738  DIsoCcdic 40772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-lat 18427  df-atl 38897  df-cvlat 38921  df-hlat 38950  df-lhyp 39588  df-disoa 40629  df-dib 40739
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator