Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dihopelvalcp.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | dihopelvalcp.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | dihopelvalcp.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | dihopelvalcp.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | dihopelvalcp.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | dihopelvalcp.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | dihopelvalcp.i |
. . . 4
β’ πΌ = ((DIsoHβπΎ)βπ) |
8 | | dihopelvalcp.n |
. . . 4
β’ π = ((DIsoBβπΎ)βπ) |
9 | | dihopelvalcp.c |
. . . 4
β’ πΆ = ((DIsoCβπΎ)βπ) |
10 | | dihopelvalcp.u |
. . . 4
β’ π = ((DVecHβπΎ)βπ) |
11 | | dihopelvalcp.y |
. . . 4
β’ β =
(LSSumβπ) |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11 | dihvalcq 39745 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΌβπ) = ((πΆβπ) β (πβ(π β§ π)))) |
13 | 12 | eleq2d 2820 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (β¨πΉ, πβ© β (πΌβπ) β β¨πΉ, πβ© β ((πΆβπ) β (πβ(π β§ π))))) |
14 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
15 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
16 | | dihopelvalcp.v |
. . . . 5
β’ π = (LSubSpβπ) |
17 | 2, 5, 6, 10, 9, 16 | diclss 39702 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΆβπ) β π) |
18 | 14, 15, 17 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΆβπ) β π) |
19 | | simp1l 1198 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β πΎ β HL) |
20 | 19 | hllatd 37872 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β πΎ β Lat) |
21 | | simp2l 1200 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
22 | | simp1r 1199 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π») |
23 | 1, 6 | lhpbase 38507 |
. . . . . 6
β’ (π β π» β π β π΅) |
24 | 22, 23 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
25 | 1, 4 | latmcl 18334 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
26 | 20, 21, 24, 25 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β§ π) β π΅) |
27 | 1, 2, 4 | latmle2 18359 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β€ π) |
28 | 20, 21, 24, 27 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β§ π) β€ π) |
29 | 1, 2, 6, 10, 8, 16 | diblss 39679 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β§ π) β π΅ β§ (π β§ π) β€ π)) β (πβ(π β§ π)) β π) |
30 | 14, 26, 28, 29 | syl12anc 836 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πβ(π β§ π)) β π) |
31 | | dihopelvalcp.d |
. . . 4
β’ + =
(+gβπ) |
32 | 6, 10, 31, 16, 11 | dvhopellsm 39626 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΆβπ) β π β§ (πβ(π β§ π)) β π) β (β¨πΉ, πβ© β ((πΆβπ) β (πβ(π β§ π))) β βπ₯βπ¦βπ§βπ€((β¨π₯, π¦β© β (πΆβπ) β§ β¨π§, π€β© β (πβ(π β§ π))) β§ β¨πΉ, πβ© = (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©)))) |
33 | 14, 18, 30, 32 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (β¨πΉ, πβ© β ((πΆβπ) β (πβ(π β§ π))) β βπ₯βπ¦βπ§βπ€((β¨π₯, π¦β© β (πΆβπ) β§ β¨π§, π€β© β (πβ(π β§ π))) β§ β¨πΉ, πβ© = (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©)))) |
34 | | dihopelvalcp.p |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((ocβπΎ)βπ) |
35 | | dihopelvalcp.t |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
36 | | dihopelvalcp.e |
. . . . . . . . 9
β’ πΈ = ((TEndoβπΎ)βπ) |
37 | | dihopelvalcp.g |
. . . . . . . . 9
β’ πΊ = (β©π β π (πβπ) = π) |
38 | | vex 3448 |
. . . . . . . . 9
β’ π₯ β V |
39 | | vex 3448 |
. . . . . . . . 9
β’ π¦ β V |
40 | 2, 5, 6, 34, 35, 36, 9, 37, 38, 39 | dicopelval2 39690 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (β¨π₯, π¦β© β (πΆβπ) β (π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ))) |
41 | 14, 15, 40 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (β¨π₯, π¦β© β (πΆβπ) β (π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ))) |
42 | | dihopelvalcp.r |
. . . . . . . . 9
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
43 | | dihopelvalcp.z |
. . . . . . . . 9
β’ π = (β β π β¦ ( I βΎ π΅)) |
44 | 1, 2, 6, 35, 42, 43, 8 | dibopelval3 39657 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β§ π) β π΅ β§ (π β§ π) β€ π)) β (β¨π§, π€β© β (πβ(π β§ π)) β ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) |
45 | 14, 26, 28, 44 | syl12anc 836 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (β¨π§, π€β© β (πβ(π β§ π)) β ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) |
46 | 41, 45 | anbi12d 632 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((β¨π₯, π¦β© β (πΆβπ) β§ β¨π§, π€β© β (πβ(π β§ π))) β ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)))) |
47 | 46 | anbi1d 631 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((β¨π₯, π¦β© β (πΆβπ) β§ β¨π§, π€β© β (πβ(π β§ π))) β§ β¨πΉ, πβ© = (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©)) β (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ β¨πΉ, πβ© = (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©)))) |
48 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
49 | | simprll 778 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β π₯ = (π¦βπΊ)) |
50 | | simprlr 779 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β π¦ β πΈ) |
51 | 2, 5, 6, 34 | lhpocnel2 38528 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
52 | 48, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
53 | | simpl3l 1229 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
54 | 2, 5, 6, 35, 37 | ltrniotacl 39088 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΊ β π) |
55 | 48, 52, 53, 54 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β πΊ β π) |
56 | 6, 35, 36 | tendocl 39276 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π¦ β πΈ β§ πΊ β π) β (π¦βπΊ) β π) |
57 | 48, 50, 55, 56 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (π¦βπΊ) β π) |
58 | 49, 57 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β π₯ β π) |
59 | | simprll 778 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β π§ β π) |
60 | 59 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β π§ β π) |
61 | | simprrr 781 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β π€ = π) |
62 | 1, 6, 35, 36, 43 | tendo0cl 39299 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β π β πΈ) |
63 | 48, 62 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β π β πΈ) |
64 | 61, 63 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β π€ β πΈ) |
65 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(Scalarβπ) =
(Scalarβπ) |
66 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(+gβ(Scalarβπ)) =
(+gβ(Scalarβπ)) |
67 | 6, 35, 36, 10, 65, 31, 66 | dvhopvadd 39602 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π₯ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π§ β π β§ π€ β πΈ)) β (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©) = β¨(π₯ β π§), (π¦(+gβ(Scalarβπ))π€)β©) |
68 | 48, 58, 50, 60, 64, 67 | syl122anc 1380 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©) = β¨(π₯ β π§), (π¦(+gβ(Scalarβπ))π€)β©) |
69 | | dihopelvalcp.o |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ π = (π β πΈ, π β πΈ β¦ (β β π β¦ ((πββ) β (πββ)))) |
70 | 6, 35, 36, 10, 65, 69, 66 | dvhfplusr 39593 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β
(+gβ(Scalarβπ)) = π) |
71 | 48, 70 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β
(+gβ(Scalarβπ)) = π) |
72 | 71 | oveqd 7375 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (π¦(+gβ(Scalarβπ))π€) = (π¦ππ€)) |
73 | 72 | opeq2d 4838 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β β¨(π₯ β π§), (π¦(+gβ(Scalarβπ))π€)β© = β¨(π₯ β π§), (π¦ππ€)β©) |
74 | 68, 73 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©) = β¨(π₯ β π§), (π¦ππ€)β©) |
75 | 74 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (β¨πΉ, πβ© = (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©) β β¨πΉ, πβ© = β¨(π₯ β π§), (π¦ππ€)β©)) |
76 | | dihopelvalcp.f |
. . . . . . . . . 10
β’ πΉ β V |
77 | | dihopelvalcp.s |
. . . . . . . . . 10
β’ π β V |
78 | 76, 77 | opth 5434 |
. . . . . . . . 9
β’
(β¨πΉ, πβ© = β¨(π₯ β π§), (π¦ππ€)β© β (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = (π¦ππ€))) |
79 | 61 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (π¦ππ€) = (π¦ππ)) |
80 | 1, 6, 35, 36, 43, 69 | tendo0plr 39301 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π¦ β πΈ) β (π¦ππ) = π¦) |
81 | 48, 50, 80 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (π¦ππ) = π¦) |
82 | 79, 81 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (π¦ππ€) = π¦) |
83 | 82 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (π = (π¦ππ€) β π = π¦)) |
84 | 83 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β ((πΉ = (π₯ β π§) β§ π = (π¦ππ€)) β (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) |
85 | 78, 84 | bitrid 283 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (β¨πΉ, πβ© = β¨(π₯ β π§), (π¦ππ€)β© β (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) |
86 | 75, 85 | bitrd 279 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π))) β (β¨πΉ, πβ© = (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©) β (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) |
87 | 86 | pm5.32da 580 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ β¨πΉ, πβ© = (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©)) β (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦)))) |
88 | | simplll 774 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦)) β π₯ = (π¦βπΊ)) |
89 | 88 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π₯ = (π¦βπΊ)) |
90 | | simprrr 781 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π = π¦) |
91 | 90 | fveq1d 6845 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (πβπΊ) = (π¦βπΊ)) |
92 | 89, 91 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π₯ = (πβπΊ)) |
93 | 90 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π¦ = π) |
94 | | coass 6218 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((β‘(πβπΊ) β (πβπΊ)) β π§) = (β‘(πβπΊ) β ((πβπΊ) β π§)) |
95 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
96 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦)) β π¦ β πΈ) |
97 | 96 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π¦ β πΈ) |
98 | 90, 97 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π β πΈ) |
99 | 55 | adantrr 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β πΊ β π) |
100 | 6, 35, 36 | tendocl 39276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ πΊ β π) β (πβπΊ) β π) |
101 | 95, 98, 99, 100 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (πβπΊ) β π) |
102 | 1, 6, 35 | ltrn1o 38633 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πβπΊ) β π) β (πβπΊ):π΅β1-1-ontoβπ΅) |
103 | 95, 101, 102 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (πβπΊ):π΅β1-1-ontoβπ΅) |
104 | | f1ococnv1 6814 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πβπΊ):π΅β1-1-ontoβπ΅ β (β‘(πβπΊ) β (πβπΊ)) = ( I βΎ π΅)) |
105 | 103, 104 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (β‘(πβπΊ) β (πβπΊ)) = ( I βΎ π΅)) |
106 | 105 | coeq1d 5818 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β ((β‘(πβπΊ) β (πβπΊ)) β π§) = (( I βΎ π΅) β π§)) |
107 | 59 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π§ β π) |
108 | 1, 6, 35 | ltrn1o 38633 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π§ β π) β π§:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
109 | 95, 107, 108 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π§:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
110 | | f1of 6785 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π§:π΅β1-1-ontoβπ΅ β π§:π΅βΆπ΅) |
111 | | fcoi2 6718 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π§:π΅βΆπ΅ β (( I βΎ π΅) β π§) = π§) |
112 | 109, 110,
111 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (( I βΎ π΅) β π§) = π§) |
113 | 106, 112 | eqtr2d 2774 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π§ = ((β‘(πβπΊ) β (πβπΊ)) β π§)) |
114 | | simprrl 780 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β πΉ = (π₯ β π§)) |
115 | 92 | coeq1d 5818 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (π₯ β π§) = ((πβπΊ) β π§)) |
116 | 114, 115 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β πΉ = ((πβπΊ) β π§)) |
117 | 116 | coeq1d 5818 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (πΉ β β‘(πβπΊ)) = (((πβπΊ) β π§) β β‘(πβπΊ))) |
118 | 6, 35 | ltrncnv 38655 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πβπΊ) β π) β β‘(πβπΊ) β π) |
119 | 95, 101, 118 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β β‘(πβπΊ) β π) |
120 | 6, 35 | ltrnco 39228 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πβπΊ) β π β§ π§ β π) β ((πβπΊ) β π§) β π) |
121 | 95, 101, 107, 120 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β ((πβπΊ) β π§) β π) |
122 | 6, 35 | ltrncom 39247 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ β‘(πβπΊ) β π β§ ((πβπΊ) β π§) β π) β (β‘(πβπΊ) β ((πβπΊ) β π§)) = (((πβπΊ) β π§) β β‘(πβπΊ))) |
123 | 95, 119, 121, 122 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (β‘(πβπΊ) β ((πβπΊ) β π§)) = (((πβπΊ) β π§) β β‘(πβπΊ))) |
124 | 117, 123 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (πΉ β β‘(πβπΊ)) = (β‘(πβπΊ) β ((πβπΊ) β π§))) |
125 | 94, 113, 124 | 3eqtr4a 2799 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ))) |
126 | | simplrr 777 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦)) β π€ = π) |
127 | 126 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π€ = π) |
128 | 125, 127 | jca 513 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π)) |
129 | 92, 93, 128 | jca31 516 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) |
130 | 129 | ex 414 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦)) β ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π)))) |
131 | 130 | pm4.71rd 564 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦)) β (((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))))) |
132 | 87, 131 | bitrd 279 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ β¨πΉ, πβ© = (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©)) β (((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))))) |
133 | | simprrl 780 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β πΉ = (π₯ β π§)) |
134 | | simpll1 1213 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
135 | 88 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π₯ = (π¦βπΊ)) |
136 | 96 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π¦ β πΈ) |
137 | 134, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
138 | | simpl3l 1229 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
139 | 138 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
140 | 134, 137,
139, 54 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β πΊ β π) |
141 | 134, 136,
140, 56 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (π¦βπΊ) β π) |
142 | 135, 141 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π₯ β π) |
143 | 59 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π§ β π) |
144 | 6, 35 | ltrnco 39228 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π₯ β π β§ π§ β π) β (π₯ β π§) β π) |
145 | 134, 142,
143, 144 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (π₯ β π§) β π) |
146 | 133, 145 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β πΉ β π) |
147 | | simpl1l 1225 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β πΎ β HL) |
148 | 147 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β πΎ β HL) |
149 | 148 | hllatd 37872 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β πΎ β Lat) |
150 | 1, 6, 35, 42 | trlcl 38673 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π§ β π) β (π
βπ§) β π΅) |
151 | 134, 143,
150 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (π
βπ§) β π΅) |
152 | | simpl2l 1227 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β π β π΅) |
153 | 152 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π β π΅) |
154 | | simpl1r 1226 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β π β π») |
155 | 154 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π β π») |
156 | 155, 23 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β π β π΅) |
157 | 149, 153,
156, 25 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (π β§ π) β π΅) |
158 | | simprlr 779 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β (π
βπ§) β€ (π β§ π)) |
159 | 158 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (π
βπ§) β€ (π β§ π)) |
160 | 1, 2, 4 | latmle1 18358 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β€ π) |
161 | 149, 153,
156, 160 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (π β§ π) β€ π) |
162 | 1, 2, 149, 151, 157, 153, 159, 161 | lattrd 18340 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (π
βπ§) β€ π) |
163 | 146, 136,
162 | jca31 516 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) |
164 | | simprll 778 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β π₯ = (πβπΊ)) |
165 | 164 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β π₯ = (πβπΊ)) |
166 | | simprlr 779 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β π¦ = π) |
167 | 166 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β π¦ = π) |
168 | 167 | fveq1d 6845 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (π¦βπΊ) = (πβπΊ)) |
169 | 165, 168 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β π₯ = (π¦βπΊ)) |
170 | | simprlr 779 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β π¦ β πΈ) |
171 | 169, 170 | jca 513 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ)) |
172 | | simprrl 780 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ))) |
173 | 172 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ))) |
174 | | simpll1 1213 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
175 | | simprll 778 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β πΉ β π) |
176 | 167, 170 | eqeltrrd 2835 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β π β πΈ) |
177 | 174, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
178 | 138 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
179 | 174, 177,
178, 54 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β πΊ β π) |
180 | 174, 176,
179, 100 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (πβπΊ) β π) |
181 | 174, 180,
118 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β β‘(πβπΊ) β π) |
182 | 6, 35 | ltrnco 39228 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ β‘(πβπΊ) β π) β (πΉ β β‘(πβπΊ)) β π) |
183 | 174, 175,
181, 182 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (πΉ β β‘(πβπΊ)) β π) |
184 | 173, 183 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β π§ β π) |
185 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (π
βπ§) β€ π) |
186 | 2, 6, 35, 42 | trlle 38693 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π§ β π) β (π
βπ§) β€ π) |
187 | 174, 184,
186 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (π
βπ§) β€ π) |
188 | 147 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β πΎ β HL) |
189 | 188 | hllatd 37872 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β πΎ β Lat) |
190 | 174, 184,
150 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (π
βπ§) β π΅) |
191 | 152 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β π β π΅) |
192 | 154 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β π β π») |
193 | 192, 23 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β π β π΅) |
194 | 1, 2, 4 | latlem12 18360 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π
βπ§) β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β (((π
βπ§) β€ π β§ (π
βπ§) β€ π) β (π
βπ§) β€ (π β§ π))) |
195 | 189, 190,
191, 193, 194 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (((π
βπ§) β€ π β§ (π
βπ§) β€ π) β (π
βπ§) β€ (π β§ π))) |
196 | 185, 187,
195 | mpbi2and 711 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (π
βπ§) β€ (π β§ π)) |
197 | | simprrr 781 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β π€ = π) |
198 | 197 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β π€ = π) |
199 | 184, 196,
198 | jca31 516 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) |
200 | 174, 180,
102 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (πβπΊ):π΅β1-1-ontoβπ΅) |
201 | 200, 104 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (β‘(πβπΊ) β (πβπΊ)) = ( I βΎ π΅)) |
202 | 201 | coeq2d 5819 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (πΉ β (β‘(πβπΊ) β (πβπΊ))) = (πΉ β ( I βΎ π΅))) |
203 | 1, 6, 35 | ltrn1o 38633 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
204 | 174, 175,
203 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
205 | | f1of 6785 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅ β πΉ:π΅βΆπ΅) |
206 | | fcoi1 6717 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (πΉ:π΅βΆπ΅ β (πΉ β ( I βΎ π΅)) = πΉ) |
207 | 204, 205,
206 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (πΉ β ( I βΎ π΅)) = πΉ) |
208 | 202, 207 | eqtr2d 2774 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β πΉ = (πΉ β (β‘(πβπΊ) β (πβπΊ)))) |
209 | | coass 6218 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΉ β β‘(πβπΊ)) β (πβπΊ)) = (πΉ β (β‘(πβπΊ) β (πβπΊ))) |
210 | 208, 209 | eqtr4di 2791 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β πΉ = ((πΉ β β‘(πβπΊ)) β (πβπΊ))) |
211 | 6, 35 | ltrncom 39247 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πβπΊ) β π β§ (πΉ β β‘(πβπΊ)) β π) β ((πβπΊ) β (πΉ β β‘(πβπΊ))) = ((πΉ β β‘(πβπΊ)) β (πβπΊ))) |
212 | 174, 180,
183, 211 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β ((πβπΊ) β (πΉ β β‘(πβπΊ))) = ((πΉ β β‘(πβπΊ)) β (πβπΊ))) |
213 | 210, 212 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β πΉ = ((πβπΊ) β (πΉ β β‘(πβπΊ)))) |
214 | 165, 173 | coeq12d 5821 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (π₯ β π§) = ((πβπΊ) β (πΉ β β‘(πβπΊ)))) |
215 | 213, 214 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β πΉ = (π₯ β π§)) |
216 | 167 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β π = π¦) |
217 | 215, 216 | jca 513 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦)) |
218 | 171, 199,
217 | jca31 516 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) |
219 | 163, 218 | impbida 800 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β§ ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π))) β ((((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦)) β ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π))) |
220 | 219 | pm5.32da 580 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β (((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π)) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)))) |
221 | | df-3an 1090 |
. . . . . 6
β’ (((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β (((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π)) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π))) |
222 | 220, 221 | bitr4di 289 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π)) β§ (((π₯ = (π¦βπΊ) β§ π¦ β πΈ) β§ ((π§ β π β§ (π
βπ§) β€ (π β§ π)) β§ π€ = π)) β§ (πΉ = (π₯ β π§) β§ π = π¦))) β ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)))) |
223 | 47, 132, 222 | 3bitrd 305 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((β¨π₯, π¦β© β (πΆβπ) β§ β¨π§, π€β© β (πβ(π β§ π))) β§ β¨πΉ, πβ© = (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©)) β ((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)))) |
224 | 223 | 4exbidv 1930 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (βπ₯βπ¦βπ§βπ€((β¨π₯, π¦β© β (πΆβπ) β§ β¨π§, π€β© β (πβ(π β§ π))) β§ β¨πΉ, πβ© = (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©)) β βπ₯βπ¦βπ§βπ€((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)))) |
225 | | fvex 6856 |
. . . 4
β’ (πβπΊ) β V |
226 | 225 | cnvex 7863 |
. . . . 5
β’ β‘(πβπΊ) β V |
227 | 76, 226 | coex 7868 |
. . . 4
β’ (πΉ β β‘(πβπΊ)) β V |
228 | 35 | fvexi 6857 |
. . . . . 6
β’ π β V |
229 | 228 | mptex 7174 |
. . . . 5
β’ (β β π β¦ ( I βΎ π΅)) β V |
230 | 43, 229 | eqeltri 2830 |
. . . 4
β’ π β V |
231 | | biidd 262 |
. . . 4
β’ (π₯ = (πβπΊ) β (((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π) β ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π))) |
232 | | eleq1 2822 |
. . . . . 6
β’ (π¦ = π β (π¦ β πΈ β π β πΈ)) |
233 | 232 | anbi2d 630 |
. . . . 5
β’ (π¦ = π β ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β (πΉ β π β§ π β πΈ))) |
234 | 233 | anbi1d 631 |
. . . 4
β’ (π¦ = π β (((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π) β ((πΉ β π β§ π β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π))) |
235 | | fveq2 6843 |
. . . . . 6
β’ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β (π
βπ§) = (π
β(πΉ β β‘(πβπΊ)))) |
236 | 235 | breq1d 5116 |
. . . . 5
β’ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β ((π
βπ§) β€ π β (π
β(πΉ β β‘(πβπΊ))) β€ π)) |
237 | 236 | anbi2d 630 |
. . . 4
β’ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β (((πΉ β π β§ π β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π) β ((πΉ β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(πΉ β β‘(πβπΊ))) β€ π))) |
238 | | biidd 262 |
. . . 4
β’ (π€ = π β (((πΉ β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(πΉ β β‘(πβπΊ))) β€ π) β ((πΉ β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(πΉ β β‘(πβπΊ))) β€ π))) |
239 | 225, 77, 227, 230, 231, 234, 237, 238 | ceqsex4v 3500 |
. . 3
β’
(βπ₯βπ¦βπ§βπ€((π₯ = (πβπΊ) β§ π¦ = π) β§ (π§ = (πΉ β β‘(πβπΊ)) β§ π€ = π) β§ ((πΉ β π β§ π¦ β πΈ) β§ (π
βπ§) β€ π)) β ((πΉ β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(πΉ β β‘(πβπΊ))) β€ π)) |
240 | 224, 239 | bitrdi 287 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (βπ₯βπ¦βπ§βπ€((β¨π₯, π¦β© β (πΆβπ) β§ β¨π§, π€β© β (πβ(π β§ π))) β§ β¨πΉ, πβ© = (β¨π₯, π¦β© + β¨π§, π€β©)) β ((πΉ β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(πΉ β β‘(πβπΊ))) β€ π))) |
241 | 13, 33, 240 | 3bitrd 305 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (β¨πΉ, πβ© β (πΌβπ) β ((πΉ β π β§ π β πΈ) β§ (π
β(πΉ β β‘(πβπΊ))) β€ π))) |