Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihopelvalcpre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihopelvalcpre 39757
Description: Member of value of isomorphism H for a lattice 𝐾 when Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š, given auxiliary atom 𝑄. TODO: refactor to be shorter and more understandable; add lemmas? (Contributed by NM, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihopelvalcp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihopelvalcp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihopelvalcp.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihopelvalcp.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihopelvalcp.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihopelvalcp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihopelvalcp.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopelvalcp.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopelvalcp.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopelvalcp.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopelvalcp.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopelvalcp.g 𝐺 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (π‘”β€˜π‘ƒ) = 𝑄)
dihopelvalcp.f 𝐹 ∈ V
dihopelvalcp.s 𝑆 ∈ V
dihopelvalcp.z 𝑍 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dihopelvalcp.n 𝑁 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopelvalcp.c 𝐢 = ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopelvalcp.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopelvalcp.d + = (+gβ€˜π‘ˆ)
dihopelvalcp.v 𝑉 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
dihopelvalcp.y βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihopelvalcp.o 𝑂 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜β„Ž) ∘ (π‘β€˜β„Ž))))
Assertion
Ref Expression
dihopelvalcpre (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ))) ≀ 𝑋)))
Distinct variable groups:   ≀ ,𝑔   𝐴,𝑔   𝑃,𝑔   π‘Ž,𝑏,𝐸   𝑔,β„Ž,𝐻   𝑔,π‘Ž,β„Ž,𝐾,𝑏   𝐡,β„Ž   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑔,β„Ž   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑔,β„Ž   𝑄,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐴(β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝐡(𝑔,π‘Ž,𝑏)   𝐢(𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝑃(β„Ž,π‘Ž,𝑏)   + (𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   βŠ• (𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝑄(β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝑅(𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝑆(𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   π‘ˆ(𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝐸(𝑔,β„Ž)   𝐹(𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝐺(𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝐻(π‘Ž,𝑏)   𝐼(𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   ∨ (𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   ≀ (β„Ž,π‘Ž,𝑏)   ∧ (𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝑁(𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝑂(𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝑋(𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝑍(𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem dihopelvalcpre
Dummy variables π‘₯ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihopelvalcp.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dihopelvalcp.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dihopelvalcp.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dihopelvalcp.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 dihopelvalcp.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 dihopelvalcp.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 dihopelvalcp.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 dihopelvalcp.n . . . 4 𝑁 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 dihopelvalcp.c . . . 4 𝐢 = ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 dihopelvalcp.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 dihopelvalcp.y . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dihvalcq 39745 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((πΆβ€˜π‘„) βŠ• (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š))))
1312eleq2d 2820 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ↔ ⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΆβ€˜π‘„) βŠ• (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š)))))
14 simp1 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15 simp3l 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
16 dihopelvalcp.v . . . . 5 𝑉 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
172, 5, 6, 10, 9, 16diclss 39702 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (πΆβ€˜π‘„) ∈ 𝑉)
1814, 15, 17syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΆβ€˜π‘„) ∈ 𝑉)
19 simp1l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2019hllatd 37872 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21 simp2l 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
22 simp1r 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
231, 6lhpbase 38507 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
251, 4latmcl 18334 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
2620, 21, 24, 25syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
271, 2, 4latmle2 18359 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
2820, 21, 24, 27syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
291, 2, 6, 10, 8, 16diblss 39679 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝑉)
3014, 26, 28, 29syl12anc 836 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝑉)
31 dihopelvalcp.d . . . 4 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
326, 10, 31, 16, 11dvhopellsm 39626 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΆβ€˜π‘„) ∈ 𝑉 ∧ (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝑉) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΆβ€˜π‘„) βŠ• (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (πΆβ€˜π‘„) ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
3314, 18, 30, 32syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΆβ€˜π‘„) βŠ• (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (πΆβ€˜π‘„) ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
34 dihopelvalcp.p . . . . . . . . 9 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
35 dihopelvalcp.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
36 dihopelvalcp.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
37 dihopelvalcp.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (π‘”β€˜π‘ƒ) = 𝑄)
38 vex 3448 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
39 vex 3448 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
402, 5, 6, 34, 35, 36, 9, 37, 38, 39dicopelval2 39690 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (πΆβ€˜π‘„) ↔ (π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸)))
4114, 15, 40syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (πΆβ€˜π‘„) ↔ (π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸)))
42 dihopelvalcp.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
43 dihopelvalcp.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
441, 2, 6, 35, 42, 43, 8dibopelval3 39657 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)))
4514, 26, 28, 44syl12anc 836 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)))
4641, 45anbi12d 632 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (πΆβ€˜π‘„) ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) ↔ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))))
4746anbi1d 631 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (πΆβ€˜π‘„) ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)) ↔ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))))
48 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
49 simprll 778 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ))
50 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐸)
512, 5, 6, 34lhpocnel2 38528 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
5248, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
53 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
542, 5, 6, 35, 37ltrniotacl 39088 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
5548, 52, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
566, 35, 36tendocl 39276 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘¦β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
5748, 50, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (π‘¦β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
5849, 57eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇)
59 simprll 778 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑇)
6059adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑇)
61 simprrr 781 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ 𝑀 = 𝑍)
621, 6, 35, 36, 43tendo0cl 39299 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑍 ∈ 𝐸)
6348, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ 𝐸)
6461, 63eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐸)
65 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
66 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
676, 35, 36, 10, 65, 31, 66dvhopvadd 39602 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (𝑧 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ 𝐸)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©) = ⟨(π‘₯ ∘ 𝑧), (𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑀)⟩)
6848, 58, 50, 60, 64, 67syl122anc 1380 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©) = ⟨(π‘₯ ∘ 𝑧), (𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑀)⟩)
69 dihopelvalcp.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜β„Ž) ∘ (π‘β€˜β„Ž))))
706, 35, 36, 10, 65, 69, 66dvhfplusr 39593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = 𝑂)
7148, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = 𝑂)
7271oveqd 7375 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑀) = (𝑦𝑂𝑀))
7372opeq2d 4838 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ ⟨(π‘₯ ∘ 𝑧), (𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑀)⟩ = ⟨(π‘₯ ∘ 𝑧), (𝑦𝑂𝑀)⟩)
7468, 73eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©) = ⟨(π‘₯ ∘ 𝑧), (𝑦𝑂𝑀)⟩)
7574eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©) ↔ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = ⟨(π‘₯ ∘ 𝑧), (𝑦𝑂𝑀)⟩))
76 dihopelvalcp.f . . . . . . . . . 10 𝐹 ∈ V
77 dihopelvalcp.s . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ V
7876, 77opth 5434 . . . . . . . . 9 (⟨𝐹, π‘†βŸ© = ⟨(π‘₯ ∘ 𝑧), (𝑦𝑂𝑀)⟩ ↔ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = (𝑦𝑂𝑀)))
7961oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (𝑦𝑂𝑀) = (𝑦𝑂𝑍))
801, 6, 35, 36, 43, 69tendo0plr 39301 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) β†’ (𝑦𝑂𝑍) = 𝑦)
8148, 50, 80syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (𝑦𝑂𝑍) = 𝑦)
8279, 81eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (𝑦𝑂𝑀) = 𝑦)
8382eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (𝑆 = (𝑦𝑂𝑀) ↔ 𝑆 = 𝑦))
8483anbi2d 630 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ ((𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = (𝑦𝑂𝑀)) ↔ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦)))
8578, 84bitrid 283 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = ⟨(π‘₯ ∘ 𝑧), (𝑦𝑂𝑀)⟩ ↔ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦)))
8675, 85bitrd 279 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©) ↔ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦)))
8786pm5.32da 580 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)) ↔ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))))
88 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦)) β†’ π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ))
8988adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ))
90 simprrr 781 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝑆 = 𝑦)
9190fveq1d 6845 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (π‘†β€˜πΊ) = (π‘¦β€˜πΊ))
9289, 91eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ))
9390eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝑦 = 𝑆)
94 coass 6218 . . . . . . . . . . 11 ((β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∘ (π‘†β€˜πΊ)) ∘ 𝑧) = (β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∘ ((π‘†β€˜πΊ) ∘ 𝑧))
95 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
96 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐸)
9796adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐸)
9890, 97eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
9955adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
1006, 35, 36tendocl 39276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
10195, 98, 99, 100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
1021, 6, 35ltrn1o 38633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜πΊ):𝐡–1-1-onto→𝐡)
10395, 101, 102syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (π‘†β€˜πΊ):𝐡–1-1-onto→𝐡)
104 f1ococnv1 6814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘†β€˜πΊ):𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∘ (π‘†β€˜πΊ)) = ( I β†Ύ 𝐡))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∘ (π‘†β€˜πΊ)) = ( I β†Ύ 𝐡))
106105coeq1d 5818 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ ((β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∘ (π‘†β€˜πΊ)) ∘ 𝑧) = (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝑧))
10759ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑇)
1081, 6, 35ltrn1o 38633 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ 𝑧:𝐡–1-1-onto→𝐡)
10995, 107, 108syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝑧:𝐡–1-1-onto→𝐡)
110 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝑧:𝐡⟢𝐡)
111 fcoi2 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧:𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝑧) = 𝑧)
112109, 110, 1113syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝑧) = 𝑧)
113106, 112eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝑧 = ((β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∘ (π‘†β€˜πΊ)) ∘ 𝑧))
114 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧))
11592coeq1d 5818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑧) = ((π‘†β€˜πΊ) ∘ 𝑧))
116114, 115eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝐹 = ((π‘†β€˜πΊ) ∘ 𝑧))
117116coeq1d 5818 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = (((π‘†β€˜πΊ) ∘ 𝑧) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)))
1186, 35ltrncnv 38655 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
11995, 101, 118syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
1206, 35ltrnco 39228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†β€˜πΊ) ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
12195, 101, 107, 120syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ) ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
1226, 35ltrncom 39247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇 ∧ ((π‘†β€˜πΊ) ∘ 𝑧) ∈ 𝑇) β†’ (β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∘ ((π‘†β€˜πΊ) ∘ 𝑧)) = (((π‘†β€˜πΊ) ∘ 𝑧) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)))
12395, 119, 121, 122syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∘ ((π‘†β€˜πΊ) ∘ 𝑧)) = (((π‘†β€˜πΊ) ∘ 𝑧) ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)))
124117, 123eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) = (β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∘ ((π‘†β€˜πΊ) ∘ 𝑧)))
12594, 113, 1243eqtr4a 2799 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)))
126 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦)) β†’ 𝑀 = 𝑍)
127126adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝑀 = 𝑍)
128125, 127jca 513 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))
12992, 93, 128jca31 516 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍)))
130129ex 414 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦)) β†’ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))))
131130pm4.71rd 564 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦)) ↔ (((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦)))))
13287, 131bitrd 279 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)) ↔ (((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦)))))
133 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧))
134 simpll1 1213 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13588adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ))
13696adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐸)
137134, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
138 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
139138adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
140134, 137, 139, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
141134, 136, 140, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (π‘¦β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
142135, 141eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇)
14359ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑇)
1446, 35ltrnco 39228 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
145134, 142, 143, 144syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
146133, 145eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
147 simpl1l 1225 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
148147adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
149148hllatd 37872 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1501, 6, 35, 42trlcl 38673 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
151134, 143, 150syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (π‘…β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
152 simpl2l 1227 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
153152adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
154 simpl1r 1226 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
155154adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
156155, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
157149, 153, 156, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
158 simprlr 779 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) β†’ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))
159158ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))
1601, 2, 4latmle1 18358 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ 𝑋)
161149, 153, 156, 160syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ 𝑋)
1621, 2, 149, 151, 157, 153, 159, 161lattrd 18340 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)
163146, 136, 162jca31 516 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) β†’ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋))
164 simprll 778 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ))
165164adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ))
166 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ 𝑦 = 𝑆)
167166adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑦 = 𝑆)
168167fveq1d 6845 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘¦β€˜πΊ) = (π‘†β€˜πΊ))
169165, 168eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ))
170 simprlr 779 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐸)
171169, 170jca 513 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸))
172 simprrl 780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ 𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)))
173172adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)))
174 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
175 simprll 778 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
176167, 170eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
177174, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
178138adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
179174, 177, 178, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
180174, 176, 179, 100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
181174, 180, 118syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
1826, 35ltrnco 39228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∈ 𝑇)
183174, 175, 181, 182syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∈ 𝑇)
184173, 183eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑇)
185 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)
1862, 6, 35, 42trlle 38693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜π‘§) ≀ π‘Š)
187174, 184, 186syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜π‘§) ≀ π‘Š)
188147adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
189188hllatd 37872 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
190174, 184, 150syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
191152adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
192154adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
193192, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
1941, 2, 4latlem12 18360 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ π‘Š) ↔ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)))
195189, 190, 191, 193, 194syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (((π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ π‘Š) ↔ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)))
196185, 187, 195mpbi2and 711 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))
197 simprrr 781 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ 𝑀 = 𝑍)
198197adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑀 = 𝑍)
199184, 196, 198jca31 516 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍))
200174, 180, 102syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘†β€˜πΊ):𝐡–1-1-onto→𝐡)
201200, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∘ (π‘†β€˜πΊ)) = ( I β†Ύ 𝐡))
202201coeq2d 5819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (𝐹 ∘ (β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∘ (π‘†β€˜πΊ))) = (𝐹 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
2031, 6, 35ltrn1o 38633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
204174, 175, 203syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
205 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐡)
206 fcoi1 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝐡⟢𝐡 β†’ (𝐹 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝐹)
207204, 205, 2063syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (𝐹 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝐹)
208202, 207eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐹 = (𝐹 ∘ (β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∘ (π‘†β€˜πΊ))))
209 coass 6218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∘ (π‘†β€˜πΊ)) = (𝐹 ∘ (β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∘ (π‘†β€˜πΊ)))
210208, 209eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐹 = ((𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∘ (π‘†β€˜πΊ)))
2116, 35ltrncom 39247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†β€˜πΊ) ∘ (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ))) = ((𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∘ (π‘†β€˜πΊ)))
212174, 180, 183, 211syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ ((π‘†β€˜πΊ) ∘ (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ))) = ((𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∘ (π‘†β€˜πΊ)))
213210, 212eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐹 = ((π‘†β€˜πΊ) ∘ (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ))))
214165, 173coeq12d 5821 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑧) = ((π‘†β€˜πΊ) ∘ (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ))))
215213, 214eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧))
216167eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑆 = 𝑦)
217215, 216jca 513 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))
218171, 199, 217jca31 516 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) β†’ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦)))
219163, 218impbida 800 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍))) β†’ ((((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)))
220219pm5.32da 580 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) ↔ (((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋))))
221 df-3an 1090 . . . . . 6 (((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) ↔ (((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)))
222220, 221bitr4di 289 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (((π‘₯ = (π‘¦β€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑧 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑀 = 𝑍)) ∧ (𝐹 = (π‘₯ ∘ 𝑧) ∧ 𝑆 = 𝑦))) ↔ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋))))
22347, 132, 2223bitrd 305 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (πΆβ€˜π‘„) ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)) ↔ ((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋))))
2242234exbidv 1930 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (πΆβ€˜π‘„) ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋))))
225 fvex 6856 . . . 4 (π‘†β€˜πΊ) ∈ V
226225cnvex 7863 . . . . 5 β—‘(π‘†β€˜πΊ) ∈ V
22776, 226coex 7868 . . . 4 (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∈ V
22835fvexi 6857 . . . . . 6 𝑇 ∈ V
229228mptex 7174 . . . . 5 (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) ∈ V
23043, 229eqeltri 2830 . . . 4 𝑍 ∈ V
231 biidd 262 . . . 4 (π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) β†’ (((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)))
232 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑆 β†’ (𝑦 ∈ 𝐸 ↔ 𝑆 ∈ 𝐸))
233232anbi2d 630 . . . . 5 (𝑦 = 𝑆 β†’ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ↔ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))
234233anbi1d 631 . . . 4 (𝑦 = 𝑆 β†’ (((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)))
235 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) β†’ (π‘…β€˜π‘§) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ))))
236235breq1d 5116 . . . . 5 (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋 ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ))) ≀ 𝑋))
237236anbi2d 630 . . . 4 (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) β†’ (((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ))) ≀ 𝑋)))
238 biidd 262 . . . 4 (𝑀 = 𝑍 β†’ (((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ))) ≀ 𝑋) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ))) ≀ 𝑋)))
239225, 77, 227, 230, 231, 234, 237, 238ceqsex4v 3500 . . 3 (βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((π‘₯ = (π‘†β€˜πΊ) ∧ 𝑦 = 𝑆) ∧ (𝑧 = (𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ)) ∧ 𝑀 = 𝑍) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜π‘§) ≀ 𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ))) ≀ 𝑋))
240224, 239bitrdi 287 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§βˆƒπ‘€((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (πΆβ€˜π‘„) ∧ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (π‘β€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© + βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ))) ≀ 𝑋)))
24113, 33, 2403bitrd 305 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ β—‘(π‘†β€˜πΊ))) ≀ 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5531  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  β„©crio 7313  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141  lecple 17145  occoc 17146  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325  LSSumclsm 19421  LSubSpclss 20407  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493  LTrncltrn 38610  trLctrl 38667  TEndoctendo 39261  DVecHcdvh 39587  DIsoBcdib 39647  DIsoCcdic 39681  DIsoHcdih 39737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-undef 8205  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-0g 17328  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668  df-tendo 39264  df-edring 39266  df-disoa 39538  df-dvech 39588  df-dib 39648  df-dic 39682  df-dih 39738
This theorem is referenced by:  dihopelvalc  39758
  Copyright terms: Public domain W3C validator