Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dihjust.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | dihjust.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | dihjust.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | dihjust.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | dihjust.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | dihjust.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | dihjust.i |
. . . 4
β’ πΌ = ((DIsoBβπΎ)βπ) |
8 | | dihjust.J |
. . . 4
β’ π½ = ((DIsoCβπΎ)βπ) |
9 | | dihjust.u |
. . . 4
β’ π = ((DVecHβπΎ)βπ) |
10 | | dihjust.s |
. . . 4
β’ β =
(LSSumβπ) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | dihord2b 39273 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β (πΌβ(π β§ π)) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) |
12 | 11 | adantr 482 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β (πΌβ(π β§ π)) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) |
13 | | simpr 486 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) |
14 | | eqidd 2737 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β π = π) |
15 | | simpl11 1248 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
16 | | simp11l 1284 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β πΎ β HL) |
17 | 16 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β πΎ β HL) |
18 | 17 | hllatd 37417 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β πΎ β Lat) |
19 | | simpl2l 1226 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β π β π΅) |
20 | | simp11r 1285 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β π β π») |
21 | 20 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β π β π») |
22 | 1, 6 | lhpbase 38051 |
. . . . . 6
β’ (π β π» β π β π΅) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β π β π΅) |
24 | 1, 4 | latmcl 18199 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
25 | 18, 19, 23, 24 | syl3anc 1371 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β (π β§ π) β π΅) |
26 | 1, 2, 4 | latmle2 18224 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β€ π) |
27 | 18, 19, 23, 26 | syl3anc 1371 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β (π β§ π) β€ π) |
28 | | dihord2c.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
29 | | dihord2c.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
30 | | dihord2c.o |
. . . . 5
β’ π = (β β π β¦ ( I βΎ π΅)) |
31 | 1, 2, 6, 28, 29, 30, 7 | dibopelval3 39201 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β§ π) β π΅ β§ (π β§ π) β€ π)) β (β¨π, πβ© β (πΌβ(π β§ π)) β ((π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π)) β§ π = π))) |
32 | 15, 25, 27, 31 | syl12anc 835 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β (β¨π, πβ© β (πΌβ(π β§ π)) β ((π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π)) β§ π = π))) |
33 | 13, 14, 32 | mpbir2and 711 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β β¨π, πβ© β (πΌβ(π β§ π))) |
34 | 12, 33 | sseldd 3927 |
1
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π))) β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) β§ (π β π β§ (π
βπ) β€ (π β§ π))) β β¨π, πβ© β ((π½βπ) β (πΌβ(π β§ π)))) |