Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord11b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihord11b 39275
Description: Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122. Reverse ordering property. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjust.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihjust.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihjust.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihjust.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihjust.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihjust.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihjust.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjust.J 𝐽 = ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjust.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjust.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihord2c.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihord2c.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihord2c.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dihord2.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihord2.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihord2.d + = (+gβ€˜π‘ˆ)
dihord2.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑁)
Assertion
Ref Expression
dihord11b (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© ∈ ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))))
Distinct variable groups:   ∨ ,𝑓   ∧ ,𝑓   βŠ• ,𝑓   𝑓,β„Ž,𝐴   𝑓,𝐼   𝑓,𝐽   𝑃,β„Ž   𝑄,𝑓   𝑅,𝑓   𝐡,𝑓,β„Ž   𝑓,𝐻,β„Ž   𝑓,𝐾,β„Ž   ≀ ,𝑓,β„Ž   𝑓,𝑁,β„Ž   𝑇,𝑓,β„Ž   𝑓,π‘Š,β„Ž   𝑓,𝑋   𝑓,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓)   + (𝑓,β„Ž)   βŠ• (β„Ž)   𝑄(β„Ž)   𝑅(β„Ž)   π‘ˆ(𝑓,β„Ž)   𝐸(𝑓,β„Ž)   𝐺(𝑓,β„Ž)   𝐼(β„Ž)   𝐽(β„Ž)   ∨ (β„Ž)   ∧ (β„Ž)   𝑂(𝑓,β„Ž)   𝑋(β„Ž)   π‘Œ(β„Ž)

Proof of Theorem dihord11b
StepHypRef Expression
1 dihjust.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dihjust.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dihjust.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dihjust.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 dihjust.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 dihjust.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 dihjust.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 dihjust.J . . . 4 𝐽 = ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 dihjust.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 dihjust.s . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dihord2b 39273 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))))
1211adantr 482 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))))
13 simpr 486 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)))
14 eqidd 2737 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ 𝑂 = 𝑂)
15 simpl11 1248 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 simp11l 1284 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1716adantr 482 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1817hllatd 37417 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
19 simpl2l 1226 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 simp11r 1285 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
2120adantr 482 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
221, 6lhpbase 38051 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
241, 4latmcl 18199 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
2518, 19, 23, 24syl3anc 1371 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
261, 2, 4latmle2 18224 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
2718, 19, 23, 26syl3anc 1371 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
28 dihord2c.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
29 dihord2c.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
30 dihord2c.o . . . . 5 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
311, 2, 6, 28, 29, 30, 7dibopelval3 39201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑂 = 𝑂)))
3215, 25, 27, 31syl12anc 835 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ 𝑂 = 𝑂)))
3313, 14, 32mpbir2and 711 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© ∈ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š)))
3412, 33sseldd 3927 1 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π½β€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Š))) βŠ† ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))) β†’ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© ∈ ((π½β€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3892  βŸ¨cop 4571   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164   I cid 5495   β†Ύ cres 5598  β€˜cfv 6454  β„©crio 7259  (class class class)co 7303  Basecbs 16953  +gcplusg 17003  lecple 17010  occoc 17011  joincjn 18070  meetcmee 18071  Latclat 18190  LSSumclsm 19280  Atomscatm 37316  HLchlt 37403  LHypclh 38037  LTrncltrn 38154  trLctrl 38211  TEndoctendo 38805  DVecHcdvh 39131  DIsoBcdib 39191  DIsoCcdic 39225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-riotaBAD 37006
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-tpos 8069  df-undef 8116  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-map 8644  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-n0 12276  df-z 12362  df-uz 12625  df-fz 13282  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-sca 17019  df-vsca 17020  df-0g 17193  df-proset 18054  df-poset 18072  df-plt 18089  df-lub 18105  df-glb 18106  df-join 18107  df-meet 18108  df-p0 18184  df-p1 18185  df-lat 18191  df-clat 18258  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-submnd 18472  df-grp 18621  df-minusg 18622  df-sbg 18623  df-subg 18793  df-lsm 19282  df-mgp 19762  df-ur 19779  df-ring 19826  df-oppr 19903  df-dvdsr 19924  df-unit 19925  df-invr 19955  df-dvr 19966  df-drng 20034  df-lmod 20166  df-lss 20235  df-lvec 20406  df-oposet 37229  df-ol 37231  df-oml 37232  df-covers 37319  df-ats 37320  df-atl 37351  df-cvlat 37375  df-hlat 37404  df-llines 37551  df-lplanes 37552  df-lvols 37553  df-lines 37554  df-psubsp 37556  df-pmap 37557  df-padd 37849  df-lhyp 38041  df-laut 38042  df-ldil 38157  df-ltrn 38158  df-trl 38212  df-tendo 38808  df-edring 38810  df-disoa 39082  df-dvech 39132  df-dib 39192  df-dic 39226
This theorem is referenced by:  dihord11c  39277
  Copyright terms: Public domain W3C validator