Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difmap 42285
Description: Difference of two sets exponentiations. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
difmap.a (𝜑𝐴𝑉)
difmap.b (𝜑𝐵𝑊)
difmap.v (𝜑𝐶𝑍)
difmap.n (𝜑𝐶 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
difmap (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))

Proof of Theorem difmap
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difmap.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
2 difssd 4023 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
3 mapss 8499 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ (𝐴m 𝐶))
41, 2, 3syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ (𝐴m 𝐶))
54adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ (𝐴m 𝐶))
6 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶))
75, 6sseldd 3878 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶))
8 difmap.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
9 n0 4235 . . . . . . . 8 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐶)
108, 9sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐶)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → ∃𝑥 𝑥𝐶)
12 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → 𝑓:𝐶𝐵)
13 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → 𝑥𝐶)
1412, 13ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
1514adantll 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑓:𝐶𝐵) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
16 elmapi 8459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
1716adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
18 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
1917, 18ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑓𝑥) ∈ (𝐴𝐵))
20 eldifn 4018 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑥) ∈ (𝐴𝐵) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2221ad4ant23 753 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑓:𝐶𝐵) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2315, 22pm2.65da 817 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) → ¬ 𝑓:𝐶𝐵)
2423ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → (𝑥𝐶 → ¬ 𝑓:𝐶𝐵))
2524exlimdv 1940 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → (∃𝑥 𝑥𝐶 → ¬ 𝑓:𝐶𝐵))
2611, 25mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → ¬ 𝑓:𝐶𝐵)
27 difmap.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑊)
28 difmap.v . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑍)
29 elmapg 8450 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐶𝑍) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3027, 28, 29syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3130adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3226, 31mtbird 328 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶))
337, 32eldifd 3854 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))
3433ralrimiva 3096 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)𝑓 ∈ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))
35 dfss3 3865 . 2 (((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)𝑓 ∈ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))
3634, 35sylibr 237 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wex 1786  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  cdif 3840  wss 3843  c0 4211  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-map 8439
This theorem is referenced by:  difmapsn  42290
  Copyright terms: Public domain W3C validator