Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difmap 42747
Description: Difference of two sets exponentiations. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
difmap.a (𝜑𝐴𝑉)
difmap.b (𝜑𝐵𝑊)
difmap.v (𝜑𝐶𝑍)
difmap.n (𝜑𝐶 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
difmap (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))

Proof of Theorem difmap
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difmap.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
2 difssd 4067 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
3 mapss 8677 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ (𝐴m 𝐶))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ (𝐴m 𝐶))
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ (𝐴m 𝐶))
6 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶))
75, 6sseldd 3922 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶))
8 difmap.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
9 n0 4280 . . . . . . . 8 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐶)
108, 9sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐶)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → ∃𝑥 𝑥𝐶)
12 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → 𝑓:𝐶𝐵)
13 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → 𝑥𝐶)
1412, 13ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
1514adantll 711 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑓:𝐶𝐵) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
16 elmapi 8637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
1917, 18ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑓𝑥) ∈ (𝐴𝐵))
20 eldifn 4062 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑥) ∈ (𝐴𝐵) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2221ad4ant23 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑓:𝐶𝐵) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2315, 22pm2.65da 814 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) → ¬ 𝑓:𝐶𝐵)
2423ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → (𝑥𝐶 → ¬ 𝑓:𝐶𝐵))
2524exlimdv 1936 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → (∃𝑥 𝑥𝐶 → ¬ 𝑓:𝐶𝐵))
2611, 25mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → ¬ 𝑓:𝐶𝐵)
27 difmap.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑊)
28 difmap.v . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑍)
29 elmapg 8628 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐶𝑍) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3130adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3226, 31mtbird 325 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶))
337, 32eldifd 3898 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))
3433ralrimiva 3103 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)𝑓 ∈ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))
35 dfss3 3909 . 2 (((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)𝑓 ∈ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))
3634, 35sylibr 233 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wex 1782  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cdif 3884  wss 3887  c0 4256  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  m cmap 8615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-map 8617
This theorem is referenced by:  difmapsn  42752
  Copyright terms: Public domain W3C validator