Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difmap 40151
Description: Difference of two sets exponentiations. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
difmap.a (𝜑𝐴𝑉)
difmap.b (𝜑𝐵𝑊)
difmap.v (𝜑𝐶𝑍)
difmap.n (𝜑𝐶 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
difmap (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴𝑚 𝐶) ∖ (𝐵𝑚 𝐶)))

Proof of Theorem difmap
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difmap.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
2 difssd 3936 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
3 mapss 8140 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴𝑚 𝐶))
41, 2, 3syl2anc 580 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴𝑚 𝐶))
54adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴𝑚 𝐶))
6 simpr 478 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
75, 6sseldd 3799 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
8 difmap.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
9 n0 4131 . . . . . . . 8 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐶)
108, 9sylib 210 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐶)
1110adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → ∃𝑥 𝑥𝐶)
12 simpr 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → 𝑓:𝐶𝐵)
13 simpl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → 𝑥𝐶)
1412, 13ffvelrnd 6586 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
1514adantll 706 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑓:𝐶𝐵) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
16 elmapi 8117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
1716adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
18 simpr 478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
1917, 18ffvelrnd 6586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑓𝑥) ∈ (𝐴𝐵))
20 eldifn 3931 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑥) ∈ (𝐴𝐵) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2221ad4ant23 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑓:𝐶𝐵) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2315, 22pm2.65da 852 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) → ¬ 𝑓:𝐶𝐵)
2423ex 402 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → (𝑥𝐶 → ¬ 𝑓:𝐶𝐵))
2524exlimdv 2029 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → (∃𝑥 𝑥𝐶 → ¬ 𝑓:𝐶𝐵))
2611, 25mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → ¬ 𝑓:𝐶𝐵)
27 difmap.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑊)
28 difmap.v . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑍)
29 elmapg 8108 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐶𝑍) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3027, 28, 29syl2anc 580 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3130adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3226, 31mtbird 317 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶))
337, 32eldifd 3780 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∖ (𝐵𝑚 𝐶)))
3433ralrimiva 3147 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∖ (𝐵𝑚 𝐶)))
35 dfss3 3787 . 2 (((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴𝑚 𝐶) ∖ (𝐵𝑚 𝐶)) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∖ (𝐵𝑚 𝐶)))
3634, 35sylibr 226 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴𝑚 𝐶) ∖ (𝐵𝑚 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wex 1875  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  cdif 3766  wss 3769  c0 4115  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  𝑚 cmap 8095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-map 8097
This theorem is referenced by:  difmapsn  40156
  Copyright terms: Public domain W3C validator