Theorem difsnen 9092

Description: All decrements of a set are equinumerous. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
difsnen	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem difsnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 5335	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V)
2		enrefg 9023	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
4	3	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
5		sneq 4641	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
6	5	difeq2d 4136	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑋 ∖ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
7	6	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵})))
8	4, 7	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵})))
9	8	imp 406	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
10		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		difexg 5335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∈ V)
12		enrefg 9023	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∈ V → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}))
13	10, 1, 11, 12	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}))
14		dif32 4308	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) = ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴})
15	13, 14	breqtrdi 5189	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}))
16		simpl3 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑋)
17		simpl2 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑋)
18		en2sn 9080	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝐵} ≈ {𝐴})
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐵} ≈ {𝐴})
20		disjdifr 4479	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅)
22		disjdifr 4479	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅)
24		unen 9085	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∧ {𝐵} ≈ {𝐴}) ∧ ((((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅)) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ≈ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}))
25	15, 19, 21, 23, 24	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ≈ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}))
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
27	26	necomd 2994	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
28		eldifsn 4791	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
29	16, 27, 28	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
30		difsnid 4815	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝑋 ∖ {𝐴}))
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝑋 ∖ {𝐴}))
32		eldifsn 4791	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
33	17, 26, 32	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
34		difsnid 4815	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
36	25, 31, 35	3brtr3d 5179	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
37	9, 36	pm2.61dane 3027	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   ≈ cen 8981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-en 8985

This theorem is referenced by:  domdifsn  9093  domunsncan  9111  enfixsn  9120  infdifsn  9695  dju1dif  10211