MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difsnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difsnen 9056
Description: All decrements of a set are equinumerous. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
difsnen ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem difsnen
StepHypRef Expression
1 difexg 5327 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V)
2 enrefg 8983 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
433ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
5 sneq 4638 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
65difeq2d 4122 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝑋 ∖ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
76breq2d 5160 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵})))
84, 7syl5ibcom 244 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵})))
98imp 406 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
10 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑋𝑉)
11 difexg 5327 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∈ V)
12 enrefg 8983 . . . . . 6 (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∈ V → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}))
1310, 1, 11, 124syl 19 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}))
14 dif32 4292 . . . . 5 ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) = ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴})
1513, 14breqtrdi 5189 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}))
16 simpl3 1192 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑋)
17 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝑋)
18 en2sn 9044 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → {𝐵} ≈ {𝐴})
1916, 17, 18syl2anc 583 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐵} ≈ {𝐴})
20 disjdifr 4472 . . . . 5 (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅
2120a1i 11 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅)
22 disjdifr 4472 . . . . 5 (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅
2322a1i 11 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅)
24 unen 9049 . . . 4 (((((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∧ {𝐵} ≈ {𝐴}) ∧ ((((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅)) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ≈ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}))
2515, 19, 21, 23, 24syl22anc 836 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ≈ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}))
26 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2726necomd 2995 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
28 eldifsn 4790 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝐵𝑋𝐵𝐴))
2916, 27, 28sylanbrc 582 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
30 difsnid 4813 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝑋 ∖ {𝐴}))
3129, 30syl 17 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝑋 ∖ {𝐴}))
32 eldifsn 4790 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐴𝑋𝐴𝐵))
3317, 26, 32sylanbrc 582 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
34 difsnid 4813 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
3533, 34syl 17 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
3625, 31, 353brtr3d 5179 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
379, 36pm2.61dane 3028 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  Vcvv 3473  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  cen 8939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-en 8943
This theorem is referenced by:  domdifsn  9057  domunsncan  9075  enfixsn  9084  infdifsn  9655  dju1dif  10170
  Copyright terms: Public domain W3C validator