MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difsnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difsnen 9093
Description: All decrements of a set are equinumerous. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
difsnen ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem difsnen
StepHypRef Expression
1 difexg 5329 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V)
2 enrefg 9024 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
433ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
5 sneq 4636 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
65difeq2d 4126 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝑋 ∖ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
76breq2d 5155 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵})))
84, 7syl5ibcom 245 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵})))
98imp 406 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
10 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑋𝑉)
11 difexg 5329 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∈ V)
12 enrefg 9024 . . . . . 6 (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∈ V → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}))
1310, 1, 11, 124syl 19 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}))
14 dif32 4302 . . . . 5 ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) = ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴})
1513, 14breqtrdi 5184 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}))
16 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑋)
17 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝑋)
18 en2sn 9081 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → {𝐵} ≈ {𝐴})
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐵} ≈ {𝐴})
20 disjdifr 4473 . . . . 5 (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅
2120a1i 11 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅)
22 disjdifr 4473 . . . . 5 (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅
2322a1i 11 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅)
24 unen 9086 . . . 4 (((((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∧ {𝐵} ≈ {𝐴}) ∧ ((((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅)) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ≈ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}))
2515, 19, 21, 23, 24syl22anc 839 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ≈ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}))
26 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2726necomd 2996 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
28 eldifsn 4786 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝐵𝑋𝐵𝐴))
2916, 27, 28sylanbrc 583 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
30 difsnid 4810 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝑋 ∖ {𝐴}))
3129, 30syl 17 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝑋 ∖ {𝐴}))
32 eldifsn 4786 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐴𝑋𝐴𝐵))
3317, 26, 32sylanbrc 583 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
34 difsnid 4810 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
3533, 34syl 17 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
3625, 31, 353brtr3d 5174 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
379, 36pm2.61dane 3029 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cen 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-en 8986
This theorem is referenced by:  domdifsn  9094  domunsncan  9112  enfixsn  9121  infdifsn  9697  dju1dif  10213
  Copyright terms: Public domain W3C validator