MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difsnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difsnen 9004
Description: All decrements of a set are equinumerous. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
difsnen ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem difsnen
StepHypRef Expression
1 difexg 5289 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V)
2 enrefg 8931 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
433ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
5 sneq 4601 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
65difeq2d 4087 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝑋 ∖ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
76breq2d 5122 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵})))
84, 7syl5ibcom 244 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵})))
98imp 408 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
10 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑋𝑉)
11 difexg 5289 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∈ V)
12 enrefg 8931 . . . . . 6 (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∈ V → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}))
1310, 1, 11, 124syl 19 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}))
14 dif32 4257 . . . . 5 ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) = ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴})
1513, 14breqtrdi 5151 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}))
16 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑋)
17 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝑋)
18 en2sn 8992 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → {𝐵} ≈ {𝐴})
1916, 17, 18syl2anc 585 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐵} ≈ {𝐴})
20 disjdifr 4437 . . . . 5 (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅
2120a1i 11 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅)
22 disjdifr 4437 . . . . 5 (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅
2322a1i 11 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅)
24 unen 8997 . . . 4 (((((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∧ {𝐵} ≈ {𝐴}) ∧ ((((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅)) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ≈ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}))
2515, 19, 21, 23, 24syl22anc 838 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ≈ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}))
26 simpr 486 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2726necomd 3000 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
28 eldifsn 4752 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝐵𝑋𝐵𝐴))
2916, 27, 28sylanbrc 584 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
30 difsnid 4775 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝑋 ∖ {𝐴}))
3129, 30syl 17 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝑋 ∖ {𝐴}))
32 eldifsn 4752 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐴𝑋𝐴𝐵))
3317, 26, 32sylanbrc 584 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
34 difsnid 4775 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
3533, 34syl 17 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
3625, 31, 353brtr3d 5141 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
379, 36pm2.61dane 3033 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  Vcvv 3448  cdif 3912  cun 3913  cin 3914  c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  cen 8887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-en 8891
This theorem is referenced by:  domdifsn  9005  domunsncan  9023  enfixsn  9032  infdifsn  9600  dju1dif  10115
  Copyright terms: Public domain W3C validator