Theorem difsnen 9067

Description: All decrements of a set are equinumerous. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
difsnen	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem difsnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 5299	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V)
2		enrefg 8998	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
4	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
5		sneq 4611	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
6	5	difeq2d 4101	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑋 ∖ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
7	6	breq2d 5131	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵})))
8	4, 7	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵})))
9	8	imp 406	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
10		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		difexg 5299	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∈ V)
12		enrefg 8998	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∈ V → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}))
13	10, 1, 11, 12	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}))
14		dif32 4277	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) = ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴})
15	13, 14	breqtrdi 5160	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}))
16		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑋)
17		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑋)
18		en2sn 9055	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝐵} ≈ {𝐴})
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐵} ≈ {𝐴})
20		disjdifr 4448	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅)
22		disjdifr 4448	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅)
24		unen 9060	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∧ {𝐵} ≈ {𝐴}) ∧ ((((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅)) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ≈ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}))
25	15, 19, 21, 23, 24	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ≈ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}))
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
27	26	necomd 2987	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
28		eldifsn 4762	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
29	16, 27, 28	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
30		difsnid 4786	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝑋 ∖ {𝐴}))
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝑋 ∖ {𝐴}))
32		eldifsn 4762	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
33	17, 26, 32	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
34		difsnid 4786	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
36	25, 31, 35	3brtr3d 5150	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
37	9, 36	pm2.61dane 3019	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925  ∅c0 4308  {csn 4601   class class class wbr 5119   ≈ cen 8956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-en 8960

This theorem is referenced by:  domdifsn  9068  domunsncan  9086  enfixsn  9095  infdifsn  9671  dju1dif  10187