Theorem digfval 49073

Description: Operation to obtain the 𝑘 th digit of a nonnegative real number 𝑟 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
digfval	⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑟,𝐵

Proof of Theorem digfval

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dig 49072	. 2 ⊢ digit = (𝑏 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏)))
2		oveq1 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑-𝑘) = (𝐵↑-𝑘))
3	2	fvoveq1d 7389	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) = (⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → 𝑏 = 𝐵)
5	3, 4	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏) = ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵))
6	5	mpoeq3dv 7446	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏)) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ)
8		zex 12533	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
9		ovex 7400	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V)
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵))
12	11	mpoexg 8029	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) ∈ V)
13	10, 12	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) ∈ V)
14	1, 6, 7, 13	fvmptd3 6971	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  0cc0 11038   · cmul 11043  +∞cpnf 11176  -cneg 11378  ℕcn 12174  ℤcz 12524  [,)cico 13300  ⌊cfl 13749   mod cmo 13828  ↑cexp 14023  digitcdig 49071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-neg 11380  df-z 12525  df-dig 49072

This theorem is referenced by:  digval  49074