Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  digfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem digfval 46803
Description: Operation to obtain the 𝑘 th digit of a nonnegative real number 𝑟 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
digfval (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑟,𝐵

Proof of Theorem digfval
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dig 46802 . 2 digit = (𝑏 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏)))
2 oveq1 7369 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑-𝑘) = (𝐵↑-𝑘))
32fvoveq1d 7384 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) = (⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)))
4 id 22 . . . 4 (𝑏 = 𝐵𝑏 = 𝐵)
53, 4oveq12d 7380 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏) = ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵))
65mpoeq3dv 7441 . 2 (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏)) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
7 id 22 . 2 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ)
8 zex 12517 . . . 4 ℤ ∈ V
9 ovex 7395 . . . 4 (0[,)+∞) ∈ V
108, 9pm3.2i 471 . . 3 (ℤ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V)
11 eqid 2731 . . . 4 (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵))
1211mpoexg 8014 . . 3 ((ℤ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) ∈ V)
1310, 12mp1i 13 . 2 (𝐵 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) ∈ V)
141, 6, 7, 13fvmptd3 6976 1 (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3446  cfv 6501  (class class class)co 7362  cmpo 7364  0cc0 11060   · cmul 11065  +∞cpnf 11195  -cneg 11395  cn 12162  cz 12508  [,)cico 13276  cfl 13705   mod cmo 13784  cexp 13977  digitcdig 46801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-neg 11397  df-z 12509  df-dig 46802
This theorem is referenced by:  digval  46804
  Copyright terms: Public domain W3C validator