Theorem digfval 47331

Description: Operation to obtain the 𝑘 th digit of a nonnegative real number 𝑟 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
digfval	⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑟,𝐵

Proof of Theorem digfval

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dig 47330	. 2 ⊢ digit = (𝑏 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏)))
2		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑-𝑘) = (𝐵↑-𝑘))
3	2	fvoveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) = (⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → 𝑏 = 𝐵)
5	3, 4	oveq12d 7427	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏) = ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵))
6	5	mpoeq3dv 7488	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏)) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ)
8		zex 12567	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
9		ovex 7442	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
10	8, 9	pm3.2i 472	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V)
11		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵))
12	11	mpoexg 8063	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) ∈ V)
13	10, 12	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) ∈ V)
14	1, 6, 7, 13	fvmptd3 7022	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  0cc0 11110   · cmul 11115  +∞cpnf 11245  -cneg 11445  ℕcn 12212  ℤcz 12558  [,)cico 13326  ⌊cfl 13755   mod cmo 13834  ↑cexp 14027  digitcdig 47329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-neg 11447  df-z 12559  df-dig 47330

This theorem is referenced by:  digval  47332