Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  digfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem digfval 47283
Description: Operation to obtain the π‘˜ th digit of a nonnegative real number π‘Ÿ in the positional system with base 𝐡. (Contributed by AV, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
digfval (𝐡 ∈ β„• β†’ (digitβ€˜π΅) = (π‘˜ ∈ β„€, π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝐡)))
Distinct variable group:   π‘˜,π‘Ÿ,𝐡

Proof of Theorem digfval
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dig 47282 . 2 digit = (𝑏 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ β„€, π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ↦ ((βŒŠβ€˜((𝑏↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝑏)))
2 oveq1 7416 . . . . 5 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑏↑-π‘˜) = (𝐡↑-π‘˜))
32fvoveq1d 7431 . . . 4 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βŒŠβ€˜((𝑏↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) = (βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)))
4 id 22 . . . 4 (𝑏 = 𝐡 β†’ 𝑏 = 𝐡)
53, 4oveq12d 7427 . . 3 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((βŒŠβ€˜((𝑏↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝑏) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝐡))
65mpoeq3dv 7488 . 2 (𝑏 = 𝐡 β†’ (π‘˜ ∈ β„€, π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ↦ ((βŒŠβ€˜((𝑏↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝑏)) = (π‘˜ ∈ β„€, π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝐡)))
7 id 22 . 2 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„•)
8 zex 12567 . . . 4 β„€ ∈ V
9 ovex 7442 . . . 4 (0[,)+∞) ∈ V
108, 9pm3.2i 472 . . 3 (β„€ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V)
11 eqid 2733 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„€, π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝐡)) = (π‘˜ ∈ β„€, π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝐡))
1211mpoexg 8063 . . 3 ((β„€ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) β†’ (π‘˜ ∈ β„€, π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝐡)) ∈ V)
1310, 12mp1i 13 . 2 (𝐡 ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ β„€, π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝐡)) ∈ V)
141, 6, 7, 13fvmptd3 7022 1 (𝐡 ∈ β„• β†’ (digitβ€˜π΅) = (π‘˜ ∈ β„€, π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  0cc0 11110   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  -cneg 11445  β„•cn 12212  β„€cz 12558  [,)cico 13326  βŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  β†‘cexp 14027  digitcdig 47281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-neg 11447  df-z 12559  df-dig 47282
This theorem is referenced by:  digval  47284
  Copyright terms: Public domain W3C validator