Theorem digfval 48485

Description: Operation to obtain the 𝑘 th digit of a nonnegative real number 𝑟 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
digfval	⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑟,𝐵

Proof of Theorem digfval

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dig 48484	. 2 ⊢ digit = (𝑏 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏)))
2		oveq1 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑-𝑘) = (𝐵↑-𝑘))
3	2	fvoveq1d 7460	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) = (⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → 𝑏 = 𝐵)
5	3, 4	oveq12d 7456	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏) = ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵))
6	5	mpoeq3dv 7519	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏)) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ)
8		zex 12629	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
9		ovex 7471	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵))
12	11	mpoexg 8109	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) ∈ V)
13	10, 12	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) ∈ V)
14	1, 6, 7, 13	fvmptd3 7046	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3481  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438   ∈ cmpo 7440  0cc0 11162   · cmul 11167  +∞cpnf 11299  -cneg 11500  ℕcn 12273  ℤcz 12620  [,)cico 13395  ⌊cfl 13836   mod cmo 13915  ↑cexp 14108  digitcdig 48483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-neg 11502  df-z 12621  df-dig 48484

This theorem is referenced by:  digval  48486