Theorem digfval 49709

Description: Operation to obtain the 𝑘 th digit of a nonnegative real number 𝑟 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
digfval	⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑ -𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑟,𝐵

Proof of Theorem digfval

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dig 49708	. 2 ⊢ digit = (𝑏 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝑏↑ -𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏)))
2		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑ -𝑘) = (𝐵↑ -𝑘))
3	2	fvoveq1d 7442	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (⌊‘((𝑏↑ -𝑘) · 𝑟)) = (⌊‘((𝐵↑ -𝑘) · 𝑟)))
4		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → 𝑏 = 𝐵)
5	3, 4	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((⌊‘((𝑏↑ -𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏) = ((⌊‘((𝐵↑ -𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵))
6	5	mpoeq3dv 7499	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝑏↑ -𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏)) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑ -𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
7		id 23	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ)
8		zex 12702	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
9		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
10	8, 9	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V)
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑ -𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑ -𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵))
12	11	mpoexg 8089	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑ -𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) ∈ V)
13	10, 12	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑ -𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) ∈ V)
14	1, 6, 7, 13	fvmptd3 7017	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑ -𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  0cc0 11200   · cmul 11205  +∞cpnf 11340   -cneg 11542  ℕcn 12335  ℤcz 12693  [,)cico 13478  ⌊cfl 13930   mod cmo 14009  ↑cexp 14204  digitcdig 49707

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-neg 11544  df-z 12694  df-dig 49708

This theorem is used by:  digval  49710