Theorem digfval 49095

Description: Operation to obtain the 𝑘 th digit of a nonnegative real number 𝑟 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
digfval	⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑟,𝐵

Proof of Theorem digfval

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dig 49094	. 2 ⊢ digit = (𝑏 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏)))
2		oveq1 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑-𝑘) = (𝐵↑-𝑘))
3	2	fvoveq1d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) = (⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → 𝑏 = 𝐵)
5	3, 4	oveq12d 7381	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏) = ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵))
6	5	mpoeq3dv 7442	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝑏↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝑏)) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ)
8		zex 12531	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
9		ovex 7396	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
10	8, 9	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V)
11		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵))
12	11	mpoexg 8025	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) ∈ V)
13	10, 12	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)) ∈ V)
14	1, 6, 7, 13	fvmptd3 6966	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365  0cc0 11036   · cmul 11041  +∞cpnf 11174  -cneg 11376  ℕcn 12172  ℤcz 12522  [,)cico 13298  ⌊cfl 13747   mod cmo 13826  ↑cexp 14021  digitcdig 49093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-neg 11378  df-z 12523  df-dig 49094

This theorem is referenced by:  digval  49096