MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpoexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpoexg 7761
Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mpoexg.1 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
mpoexg ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexg
StepHypRef Expression
1 elex 3462 . . 3 (𝐵𝑆𝐵 ∈ V)
2 elex 3462 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ V)
32ralrimivw 3153 . . 3 (𝐵 ∈ V → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
41, 3syl 17 . 2 (𝐵𝑆 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
5 mpoexg.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
65mpoexxg 7760 . 2 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
74, 6sylan2 595 1 ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  Vcvv 3444  cmpo 7141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676
This theorem is referenced by:  mpoexga  7762  rmodislmod  19698  eulerpartgbij  31738  hspval  43235  digfval  44998
  Copyright terms: Public domain W3C validator