Theorem mpoexg 8076

Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoexg.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mpoexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem mpoexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3471	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ V)
2		elex 3471	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ V)
3	2	ralrimivw 3158	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
5		mpoexg.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
6	5	mpoexxg 8075	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
7	4, 6	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∈ cmpo 7416

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988

This theorem is used by:  mpoexga  8077  rmodislmod  21115  sltmuls1  28413  sltmuls2  28414  rlocaddval  33710  rlocmulval  33711  eulerpartgbij  34884  hspval  47438  digfval  49528