Theorem digval 48723

Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
digval	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))

Proof of Theorem digval

Dummy variables 𝑘 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		digfval 48722	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
3		negeq 11359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → -𝑘 = -𝐾)
4	3	oveq2d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐵↑-𝑘) = (𝐵↑-𝐾))
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝐵↑-𝑘) = (𝐵↑-𝐾))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
7	5, 6	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ((𝐵↑-𝑘) · 𝑟) = ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅))
8	7	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) = (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)))
9	8	oveq1d 7367	. . 3 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅)) → ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
11		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℤ)
12		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
13		ovexd 7387	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵) ∈ V)
14	2, 10, 11, 12, 13	ovmpod 7504	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  0cc0 11013   · cmul 11018  +∞cpnf 11150  -cneg 11352  ℕcn 12132  ℤcz 12475  [,)cico 13249  ⌊cfl 13696   mod cmo 13775  ↑cexp 13970  digitcdig 48720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-neg 11354  df-z 12476  df-dig 48721

This theorem is referenced by:  digvalnn0  48724  nn0digval  48725  dignn0fr  48726  dig0  48731  dig2nn0  48736