Theorem digval 49654

Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
digval	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))

Proof of Theorem digval

Dummy variables 𝑘 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		digfval 49653	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
2	1	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
3		negeq 11530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → -𝑘 = -𝐾)
4	3	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐵↑-𝑘) = (𝐵↑-𝐾))
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝐵↑-𝑘) = (𝐵↑-𝐾))
6		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
7	5, 6	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ((𝐵↑-𝑘) · 𝑟) = ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅))
8	7	fveq2d 6881	. . . 4 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) = (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)))
9	8	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
10	9	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅)) → ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
11		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℤ)
12		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
13		ovexd 7447	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵) ∈ V)
14	2, 10, 11, 12, 13	ovmpod 7564	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  0cc0 11181   · cmul 11186  +∞cpnf 11321  -cneg 11523  ℕcn 12316  ℤcz 12674  [,)cico 13459  ⌊cfl 13910   mod cmo 13989  ↑cexp 14184  digitcdig 49651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-neg 11525  df-z 12675  df-dig 49652

This theorem is used by:  digvalnn0  49655  nn0digval  49656  dignn0fr  49657  dig0  49662  dig2nn0  49667