Theorem digval 49086

Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
digval	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))

Proof of Theorem digval

Dummy variables 𝑘 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		digfval 49085	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
2	1	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (digit‘𝐵) = (𝑘 ∈ ℤ, 𝑟 ∈ (0[,)+∞) ↦ ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵)))
3		negeq 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → -𝑘 = -𝐾)
4	3	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐵↑-𝑘) = (𝐵↑-𝐾))
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝐵↑-𝑘) = (𝐵↑-𝐾))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
7	5, 6	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ((𝐵↑-𝑘) · 𝑟) = ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅))
8	7	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) = (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)))
9	8	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑟 = 𝑅)) → ((⌊‘((𝐵↑-𝑘) · 𝑟)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
11		simp2 1138	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℤ)
12		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
13		ovexd 7395	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵) ∈ V)
14	2, 10, 11, 12, 13	ovmpod 7512	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  0cc0 11029   · cmul 11034  +∞cpnf 11167  -cneg 11369  ℕcn 12165  ℤcz 12515  [,)cico 13291  ⌊cfl 13740   mod cmo 13819  ↑cexp 14014  digitcdig 49083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-neg 11371  df-z 12516  df-dig 49084

This theorem is referenced by:  digvalnn0  49087  nn0digval  49088  dignn0fr  49089  dig0  49094  dig2nn0  49099