Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  digval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem digval 47372
Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐡. (Contributed by AV, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
digval ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑅) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) mod 𝐡))
Proof of Theorem digval
Dummy variables π‘˜ π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 digfval 47371 . . 3 (𝐡 ∈ β„• β†’ (digitβ€˜π΅) = (π‘˜ ∈ β„€, π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝐡)))
213ad2ant1 1133 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (digitβ€˜π΅) = (π‘˜ ∈ β„€, π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝐡)))
3 negeq 11456 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ -π‘˜ = -𝐾)
43oveq2d 7427 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝐡↑-π‘˜) = (𝐡↑-𝐾))
54adantr 481 . . . . . 6 ((π‘˜ = 𝐾 ∧ π‘Ÿ = 𝑅) β†’ (𝐡↑-π‘˜) = (𝐡↑-𝐾))
6 simpr 485 . . . . . 6 ((π‘˜ = 𝐾 ∧ π‘Ÿ = 𝑅) β†’ π‘Ÿ = 𝑅)
75, 6oveq12d 7429 . . . . 5 ((π‘˜ = 𝐾 ∧ π‘Ÿ = 𝑅) β†’ ((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ) = ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅))
87fveq2d 6895 . . . 4 ((π‘˜ = 𝐾 ∧ π‘Ÿ = 𝑅) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) = (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)))
98oveq1d 7426 . . 3 ((π‘˜ = 𝐾 ∧ π‘Ÿ = 𝑅) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝐡) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) mod 𝐡))
109adantl 482 . 2 (((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (π‘˜ = 𝐾 ∧ π‘Ÿ = 𝑅)) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-π‘˜) Β· π‘Ÿ)) mod 𝐡) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) mod 𝐡))
11 simp2 1137 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
12 simp3 1138 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
13 ovexd 7446 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) mod 𝐡) ∈ V)
142, 10, 11, 12, 13ovmpod 7562 1 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑅) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) mod 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  0cc0 11112   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  -cneg 11449  β„•cn 12216  β„€cz 12562  [,)cico 13330  βŒŠcfl 13759   mod cmo 13838  β†‘cexp 14031  digitcdig 47369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-neg 11451  df-z 12563  df-dig 47370
This theorem is referenced by:  digvalnn0  47373  nn0digval  47374  dignn0fr  47375  dig0  47380  dig2nn0  47385
  Copyright terms: Public domain W3C validator