Theorem stirlinglem14 46538

Description: The sequence 𝐴 converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem14.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem14.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem14	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐

Distinct variable group:   𝐴,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛,𝑐)

Proof of Theorem stirlinglem14

Dummy variables 𝑑 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem14.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
2		stirlinglem14.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
3	1, 2	stirlinglem13 46537	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑
4		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
5	4	rpefcld 16064	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → (exp‘𝑑) ∈ ℝ+)
6		nnuz 12819	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		1zzd 12550	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 1 ∈ ℤ)
8		efcn 26427	. . . . . . 7 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10		nnnn0 12436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
11		faccl 14237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
12		nncn 12174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
14		2cnd 12251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15		nncn 12174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 11157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
17	16	sqrtcld 15394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
18		epr 16167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e ∈ ℝ+
19		rpcn 12945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℂ)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
22		0re 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
23		epos 16166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < e
24	22, 23	gtneii 11250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≠ 0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
26	15, 21, 25	divcld 11923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
27	26, 10	expcld 14100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
28	17, 27	mulcld 11157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
29		2rp 12939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31		nnrp 12946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
32	30, 31	rpmulcld 12994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
33	32	sqrtgt0d 15367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
34	33	gt0ne0d 11706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
35		nnne0 12203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
36	15, 21, 35, 25	divne0d 11939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
37		nnz 12537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
38	26, 36, 37	expne0d 14106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
39	17, 27, 34, 38	mulne0d 11794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
40	13, 28, 39	divcld 11923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
41	1	fvmpt2 6948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
42	40, 41	mpdan 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
43	42, 40	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
44		nnne0 12203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
45	10, 11, 44	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
46	13, 28, 45, 39	divne0d 11939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ≠ 0)
47	42, 46	eqnetrd 3001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ≠ 0)
48	43, 47	logcld 26553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℂ)
49	2, 48	fmpti 7054	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵:ℕ⟶ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐵:ℕ⟶ℂ)
51		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐵 ⇝ 𝑑)
52	4	recnd 11165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℂ)
53	6, 7, 9, 50, 51, 52	climcncf 24886	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → (exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑))
54	8	elexi 3453	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ V
55		nnex 12172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
56	55	mptex 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛))) ∈ V
57	2, 56	eqeltri 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
58	54, 57	coex 7871	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ∘ 𝐵) ∈ V
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (exp ∘ 𝐵) ∈ V)
60	55	mptex 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ∈ V
61	1, 60	eqeltri 2835	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
63		1zzd 12550	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
64	2	funmpt2 6525	. . . . . . . . . 10 ⊢ Fun 𝐵
65		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
66		rabid2 3424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
67	1	stirlinglem2 46526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+)
68		relogcl 26558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
69		elex 3452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
70	67, 68, 69	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
71	66, 70	mprgbir 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V}
72	2	dmmpt 6192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom 𝐵 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V}
73	71, 72	eqtr4i 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = dom 𝐵
74	65, 73	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ dom 𝐵)
75		fvco 6926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐵) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵‘𝑘)))
76	64, 74, 75	sylancr 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵‘𝑘)))
77	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
78		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
79	78	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
80	78	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
81	80	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
82	78	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
83	82, 78	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
84	81, 83	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
85	79, 84	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
86		nnnn0 12436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
87		faccl 14237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
88		nncn 12174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
89	86, 87, 88	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
90		2cnd 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
91		nncn 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
92	90, 91	mulcld 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
93	92	sqrtcld 15394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
94	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
95	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
96	91, 94, 95	divcld 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
97	96, 86	expcld 14100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
98	93, 97	mulcld 11157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
99	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
100		nnrp 12946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
101	99, 100	rpmulcld 12994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ+)
102	101	sqrtgt0d 15367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
103	102	gt0ne0d 11706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
104		nnne0 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
105	91, 94, 104, 95	divne0d 11939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
106		nnz 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
107	96, 105, 106	expne0d 14106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
108	93, 97, 103, 107	mulne0d 11794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
109	89, 98, 108	divcld 11923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
110	77, 85, 65, 109	fvmptd 6944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
111	110, 109	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
112		nnne0 12203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
113	86, 87, 112	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
114	89, 98, 113, 108	divne0d 11939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ≠ 0)
115	110, 114	eqnetrd 3001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) ≠ 0)
116	111, 115	logcld 26553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
117		nfcv 2901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
118		nfcv 2901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛log
119		nfmpt1 5172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
120	1, 119	nfcxfr 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
121	120, 117	nffv 6838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑘)
122	118, 121	nffv 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑘))
123		2fveq3 6833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
124	117, 122, 123, 2	fvmptf 6958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑘) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
125	116, 124	mpdan 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑘) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
126	125	fveq2d 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(𝐵‘𝑘)) = (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))))
127		eflog 26559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))) = (𝐴‘𝑘))
128	111, 115, 127	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))) = (𝐴‘𝑘))
129	76, 126, 128	3eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
130	129	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
131	6, 59, 62, 63, 130	climeq 15521	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
132	131	mptru 1554	. . . . 5 ⊢ ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
133	53, 132	sylib 219	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
134		breq2 5077	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (exp‘𝑑) → (𝐴 ⇝ 𝑐 ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
135	134	rspcev 3560	. . . 4 ⊢ (((exp‘𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
136	5, 133, 135	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
137	136	rexlimiva 3132	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
138	3, 137	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  {crab 3391  Vcvv 3431   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154  dom cdm 5619   ∘ ccom 5623  Fun wfun 6480  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   / cdiv 11799  ℕcn 12166  2c2 12228  ℕ₀cn0 12429  ℝ⁺crp 12934  ↑cexp 14015  !cfa 14227  √csqrt 15187   ⇝ cli 15438  expce 16018  eceu 16019  –cn→ccncf 24862  logclog 26537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-xnn0 12503  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-ioo 13294  df-ioc 13295  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-mod 13821  df-seq 13956  df-exp 14016  df-fac 14228  df-bc 14257  df-hash 14285  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15425  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-sum 15641  df-ef 16024  df-e 16025  df-sin 16026  df-cos 16027  df-tan 16028  df-pi 16029  df-dvds 16214  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-hom 17236  df-cco 17237  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17458  df-qtop 17463  df-imas 17464  df-xps 17466  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-mulg 19036  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22878  df-topon 22895  df-topsp 22917  df-bases 22930  df-cld 23003  df-ntr 23004  df-cls 23005  df-nei 23082  df-lp 23120  df-perf 23121  df-cn 23211  df-cnp 23212  df-haus 23299  df-cmp 23371  df-tx 23546  df-hmeo 23739  df-fil 23830  df-fm 23922  df-flim 23923  df-flf 23924  df-xms 24304  df-ms 24305  df-tms 24306  df-cncf 24864  df-limc 25852  df-dv 25853  df-ulm 26361  df-log 26539  df-cxp 26540

This theorem is referenced by:  stirling  46540