Theorem stirlinglem14 46821

Description: The sequence 𝐴 converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem14.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem14.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem14	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐

Distinct variable group:   𝐴,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛,𝑐)

Proof of Theorem stirlinglem14

Dummy variables 𝑑 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem14.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
2		stirlinglem14.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
3	1, 2	stirlinglem13 46820	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑
4		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
5	4	rpefcld 16156	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → (exp‘𝑑) ∈ ℝ+)
6		nnuz 12896	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		1zzd 12620	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 1 ∈ ℤ)
8		efcn 26606	. . . . . . 7 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10		nnnn0 12506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
11		faccl 14315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
12		nncn 12236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
14		2cnd 12314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15		nncn 12236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 11224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
17	16	sqrtcld 15487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
18		epr 16259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e ∈ ℝ+
19		rpcn 13022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℂ)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
22		0re 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
23		epos 16258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < e
24	22, 23	gtneii 11317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≠ 0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
26	15, 21, 25	divcld 11986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
27	26, 10	expcld 14178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
28	17, 27	mulcld 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
29		2rp 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31		nnrp 13023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
32	30, 31	rpmulcld 13071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
33	32	sqrtgt0d 15460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
34	33	gt0ne0d 11773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
35		nnne0 12265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
36	15, 21, 35, 25	divne0d 12002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
37		nnz 12607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
38	26, 36, 37	expne0d 14184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
39	17, 27, 34, 38	mulne0d 11861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
40	13, 28, 39	divcld 11986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
41	1	fvmpt2 7001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
42	40, 41	mpdan 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
43	42, 40	eqeltrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
44		nnne0 12265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
45	10, 11, 44	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
46	13, 28, 45, 39	divne0d 12002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ≠ 0)
47	42, 46	eqnetrd 3025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ≠ 0)
48	43, 47	logcld 26735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℂ)
49	2, 48	fmpti 7107	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵:ℕ⟶ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐵:ℕ⟶ℂ)
51		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐵 ⇝ 𝑑)
52	4	recnd 11232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℂ)
53	6, 7, 9, 50, 51, 52	climcncf 25059	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → (exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑))
54	8	elexi 3477	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ V
55		nnex 12234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
56	55	mptex 7221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛))) ∈ V
57	2, 56	eqeltri 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
58	54, 57	coex 7923	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ∘ 𝐵) ∈ V
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (exp ∘ 𝐵) ∈ V)
60	55	mptex 7221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ∈ V
61	1, 60	eqeltri 2859	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
63		1zzd 12620	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
64	2	funmpt2 6575	. . . . . . . . . 10 ⊢ Fun 𝐵
65		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
66		rabid2 3449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
67	1	stirlinglem2 46809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+)
68		relogcl 26740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
69		elex 3476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
70	67, 68, 69	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
71	66, 70	mprgbir 3086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V}
72	2	dmmpt 6241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom 𝐵 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V}
73	71, 72	eqtr4i 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = dom 𝐵
74	65, 73	eleqtrdi 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ dom 𝐵)
75		fvco 6979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐵) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵‘𝑘)))
76	64, 74, 75	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵‘𝑘)))
77	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
78		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
79	78	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
80	78	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
81	80	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
82	78	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
83	82, 78	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
84	81, 83	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
85	79, 84	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
86		nnnn0 12506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
87		faccl 14315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
88		nncn 12236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
89	86, 87, 88	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
90		2cnd 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
91		nncn 12236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
92	90, 91	mulcld 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
93	92	sqrtcld 15487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
94	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
95	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
96	91, 94, 95	divcld 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
97	96, 86	expcld 14178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
98	93, 97	mulcld 11224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
99	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
100		nnrp 13023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
101	99, 100	rpmulcld 13071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ+)
102	101	sqrtgt0d 15460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
103	102	gt0ne0d 11773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
104		nnne0 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
105	91, 94, 104, 95	divne0d 12002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
106		nnz 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
107	96, 105, 106	expne0d 14184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
108	93, 97, 103, 107	mulne0d 11861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
109	89, 98, 108	divcld 11986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
110	77, 85, 65, 109	fvmptd 6997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
111	110, 109	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
112		nnne0 12265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
113	86, 87, 112	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
114	89, 98, 113, 108	divne0d 12002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ≠ 0)
115	110, 114	eqnetrd 3025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) ≠ 0)
116	111, 115	logcld 26735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
117		nfcv 2925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
118		nfcv 2925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛log
119		nfmpt1 5210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
120	1, 119	nfcxfr 2923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
121	120, 117	nffv 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑘)
122	118, 121	nffv 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑘))
123		2fveq3 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
124	117, 122, 123, 2	fvmptf 7011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑘) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
125	116, 124	mpdan 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑘) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
126	125	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(𝐵‘𝑘)) = (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))))
127		eflog 26741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))) = (𝐴‘𝑘))
128	111, 115, 127	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))) = (𝐴‘𝑘))
129	76, 126, 128	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
130	129	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
131	6, 59, 62, 63, 130	climeq 15614	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
132	131	mptru 1577	. . . . 5 ⊢ ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
133	53, 132	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
134		breq2 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (exp‘𝑑) → (𝐴 ⇝ 𝑐 ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
135	134	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ (((exp‘𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
136	5, 133, 135	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
137	136	rexlimiva 3158	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
138	3, 137	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661   ∘ ccom 5665  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ℝ⁺crp 13011  ↑cexp 14093  !cfa 14305  √csqrt 15280   ⇝ cli 15531  expce 16110  eceu 16111  –cn→ccncf 25035  logclog 26719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-e 16117  df-sin 16118  df-cos 16119  df-tan 16120  df-pi 16121  df-dvds 16306  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-cmp 23544  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026  df-ulm 26540  df-log 26721  df-cxp 26722

This theorem is referenced by:  stirling  46823