Theorem stirlinglem14 47239

Description: The sequence 𝐴 converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem14.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem14.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem14	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐

Distinct variable group:   𝐴,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛, 𝑐)

Proof of Theorem stirlinglem14

Dummy variables 𝑑 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem14.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
2		stirlinglem14.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
3	1, 2	stirlinglem13 47238	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑
4		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
5	4	rpefcld 16288	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → (exp‘𝑑) ∈ ℝ+)
6		nnuz 13017	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		1zzd 12740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 1 ∈ ℤ)
8		efcn 26785	. . . . . . 7 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10		nnnn0 12626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
11		faccl 14440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
12		nncn 12356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
14		2cnd 12434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15		nncn 12356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 11342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
17	16	sqrtcld 15622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
18		epr 16391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e ∈ ℝ+
19		rpcn 13144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℂ)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
22		0re 11323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
23		epos 16390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < e
24	22, 23	gtneii 11435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≠ 0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
26	15, 21, 25	divcld 12106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
27	26, 10	expcld 14302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
28	17, 27	mulcld 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
29		2rp 13138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31		nnrp 13145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
32	30, 31	rpmulcld 13193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
33	32	sqrtgt0d 15595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
34	33	gt0ne0d 11893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
35		nnne0 12385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
36	15, 21, 35, 25	divne0d 12122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
37		nnz 12727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
38	26, 36, 37	expne0d 14308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
39	17, 27, 34, 38	mulne0d 11981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
40	13, 28, 39	divcld 12106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
41	1	fvmpt2 7016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
42	40, 41	mpdan 700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
43	42, 40	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
44		nnne0 12385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
45	10, 11, 44	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
46	13, 28, 45, 39	divne0d 12122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ≠ 0)
47	42, 46	eqnetrd 3026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ≠ 0)
48	43, 47	logcld 26913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℂ)
49	2, 48	fmpti 7123	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵:ℕ⟶ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐵:ℕ⟶ℂ)
51		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐵 ⇝ 𝑑)
52	4	recnd 11350	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℂ)
53	6, 7, 9, 50, 51, 52	climcncf 25236	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → (exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑))
54	8	elexi 3476	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ V
55		nnex 12354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
56	55	mptex 7239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛))) ∈ V
57	2, 56	eqeltri 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
58	54, 57	coex 7952	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ∘ 𝐵) ∈ V
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (exp ∘ 𝐵) ∈ V)
60	55	mptex 7239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ∈ V
61	1, 60	eqeltri 2860	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
63		1zzd 12740	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
64	2	funmpt2 6588	. . . . . . . . . 10 ⊢ Fun 𝐵
65		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
66		rabid2 3448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
67	1	stirlinglem2 47227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+)
68		relogcl 26918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
69		elex 3475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
70	67, 68, 69	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
71	66, 70	mprgbir 3087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V}
72	2	dmmpt 6248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom 𝐵 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V}
73	71, 72	eqtr4i 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = dom 𝐵
74	65, 73	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ dom 𝐵)
75		fvco 6994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐵) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵‘𝑘)))
76	64, 74, 75	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵‘𝑘)))
77	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
78		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
79	78	fveq2d 6900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
80	78	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
81	80	fveq2d 6900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
82	78	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
83	82, 78	oveq12d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
84	81, 83	oveq12d 7448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
85	79, 84	oveq12d 7448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
86		nnnn0 12626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
87		faccl 14440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
88		nncn 12356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
89	86, 87, 88	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
90		2cnd 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
91		nncn 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
92	90, 91	mulcld 11342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
93	92	sqrtcld 15622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
94	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
95	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
96	91, 94, 95	divcld 12106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
97	96, 86	expcld 14302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
98	93, 97	mulcld 11342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
99	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
100		nnrp 13145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
101	99, 100	rpmulcld 13193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ+)
102	101	sqrtgt0d 15595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
103	102	gt0ne0d 11893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
104		nnne0 12385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
105	91, 94, 104, 95	divne0d 12122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
106		nnz 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
107	96, 105, 106	expne0d 14308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
108	93, 97, 103, 107	mulne0d 11981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
109	89, 98, 108	divcld 12106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
110	77, 85, 65, 109	fvmptd 7012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
111	110, 109	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
112		nnne0 12385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
113	86, 87, 112	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
114	89, 98, 113, 108	divne0d 12122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ≠ 0)
115	110, 114	eqnetrd 3026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) ≠ 0)
116	111, 115	logcld 26913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
117		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
118		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛log
119		nfmpt1 5207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
120	1, 119	nfcxfr 2924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
121	120, 117	nffv 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑘)
122	118, 121	nffv 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑘))
123		2fveq3 6901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
124	117, 122, 123, 2	fvmptf 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑘) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
125	116, 124	mpdan 700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑘) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
126	125	fveq2d 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(𝐵‘𝑘)) = (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))))
127		eflog 26919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))) = (𝐴‘𝑘))
128	111, 115, 127	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))) = (𝐴‘𝑘))
129	76, 126, 128	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
130	129	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
131	6, 59, 62, 63, 130	climeq 15749	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
132	131	mptru 1576	. . . . 5 ⊢ ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
133	53, 132	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
134		breq2 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (exp‘𝑑) → (𝐴 ⇝ 𝑐 ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
135	134	rspcev 3580	. . . 4 ⊢ (((exp‘𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
136	5, 133, 135	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
137	136	rexlimiva 3159	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
138	3, 137	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655   ∘ ccom 5659  Fun wfun 6541  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214   · cmul 11218   / cdiv 11986  ℕcn 12348  2c2 12410  ℕ₀cn0 12619  ℝ⁺crp 13133  ↑cexp 14217  !cfa 14430  √csqrt 15415   ⇝ cli 15666  expce 16242  eceu 16243  –cn→ccncf 25212  logclog 26897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-oadd 8494  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-fi 9416  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ioo 13493  df-ioc 13494  df-ico 13495  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-mod 14023  df-seq 14158  df-exp 14218  df-fac 14431  df-bc 14460  df-hash 14488  df-shft 15235  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-limsup 15653  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869  df-ef 16248  df-e 16249  df-sin 16250  df-cos 16251  df-tan 16252  df-pi 16253  df-dvds 16438  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-rest 17608  df-topn 17609  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-topgen 17629  df-pt 17630  df-prds 17633  df-xrs 17689  df-qtop 17694  df-imas 17695  df-xps 17697  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-mulg 19293  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-fbas 21690  df-fg 21691  df-cnfld 21694  df-top 23227  df-topon 23244  df-topsp 23266  df-bases 23279  df-cld 23352  df-ntr 23353  df-cls 23354  df-nei 23431  df-lp 23469  df-perf 23470  df-cn 23560  df-cnp 23561  df-haus 23648  df-cmp 23720  df-tx 23896  df-hmeo 24089  df-fil 24180  df-fm 24272  df-flim 24273  df-flf 24274  df-xms 24654  df-ms 24655  df-tms 24656  df-cncf 25214  df-limc 26201  df-dv 26202  df-ulm 26719  df-log 26899  df-cxp 26900

This theorem is used by:  stirling  47241