Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem14 44318
Description: The sequence 𝐴 converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem14.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14 𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐
Distinct variable group:   𝐴,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛,𝑐)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables 𝑑 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
2 stirlinglem14.2 . . 3 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
31, 2stirlinglem13 44317 . 2 𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑
4 simpl 483 . . . . 5 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
54rpefcld 15987 . . . 4 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → (exp‘𝑑) ∈ ℝ+)
6 nnuz 12806 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
7 1zzd 12534 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 1 ∈ ℤ)
8 efcn 25802 . . . . . . 7 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
11 faccl 14183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
12 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
14 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1716sqrtcld 15322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
18 epr 16090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e ∈ ℝ+
19 rpcn 12925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℂ)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
22 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
23 epos 16089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < e
2422, 23gtneii 11267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ≠ 0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
2615, 21, 25divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
2726, 10expcld 14051 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
2817, 27mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
29 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
3230, 31rpmulcld 12973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
3332sqrtgt0d 15297 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
3433gt0ne0d 11719 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
35 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3615, 21, 35, 25divne0d 11947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
37 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
3826, 36, 37expne0d 14057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
3917, 27, 34, 38mulne0d 11807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
4013, 28, 39divcld 11931 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
411fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4240, 41mpdan 685 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4342, 40eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
44 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
4510, 11, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
4613, 28, 45, 39divne0d 11947 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ≠ 0)
4742, 46eqnetrd 3011 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ≠ 0)
4843, 47logcld 25926 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℂ)
492, 48fmpti 7060 . . . . . . 7 𝐵:ℕ⟶ℂ
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝐵:ℕ⟶ℂ)
51 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝐵𝑑)
524recnd 11183 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝑑 ∈ ℂ)
536, 7, 9, 50, 51, 52climcncf 24263 . . . . 5 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → (exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑))
548elexi 3464 . . . . . . . . 9 exp ∈ V
55 nnex 12159 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
5655mptex 7173 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛))) ∈ V
572, 56eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
5854, 57coex 7867 . . . . . . . 8 (exp ∘ 𝐵) ∈ V
5958a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (exp ∘ 𝐵) ∈ V)
6055mptex 7173 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ∈ V
611, 60eqeltri 2834 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
63 1zzd 12534 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
642funmpt2 6540 . . . . . . . . . 10 Fun 𝐵
65 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
66 rabid2 3436 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V)
671stirlinglem2 44306 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℝ+)
68 relogcl 25931 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑛) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ)
69 elex 3463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V)
7067, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V)
7166, 70mprgbir 3071 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V}
722dmmpt 6192 . . . . . . . . . . . 12 dom 𝐵 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V}
7371, 72eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . 11 ℕ = dom 𝐵
7465, 73eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ dom 𝐵)
75 fvco 6939 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐵𝑘 ∈ dom 𝐵) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵𝑘)))
7664, 74, 75sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵𝑘)))
771a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
78 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
7978fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
8078oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
8180fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
8278oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
8382, 78oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
8481, 83oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
8579, 84oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
86 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
87 faccl 14183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
88 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
90 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
91 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
9290, 91mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
9392sqrtcld 15322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
9420a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
9524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
9691, 94, 95divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
9796, 86expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
9893, 97mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
9929a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
100 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
10199, 100rpmulcld 12973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ+)
102101sqrtgt0d 15297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
103102gt0ne0d 11719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
104 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
10591, 94, 104, 95divne0d 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
106 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
10796, 105, 106expne0d 14057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
10893, 97, 103, 107mulne0d 11807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
10989, 98, 108divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
11077, 85, 65, 109fvmptd 6955 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
111110, 109eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
112 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
11386, 87, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
11489, 98, 113, 108divne0d 11947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ≠ 0)
115110, 114eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ≠ 0)
116111, 115logcld 25926 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
117 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑘
118 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛log
119 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
1201, 119nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝐴
121120, 117nffv 6852 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(𝐴𝑘)
122118, 121nffv 6852 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(log‘(𝐴𝑘))
123 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑘)))
124117, 122, 123, 2fvmptf 6969 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ) → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
125116, 124mpdan 685 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
126125fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(𝐵𝑘)) = (exp‘(log‘(𝐴𝑘))))
127 eflog 25932 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (exp‘(log‘(𝐴𝑘))) = (𝐴𝑘))
128111, 115, 127syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝐴𝑘))) = (𝐴𝑘))
12976, 126, 1283eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴𝑘))
130129adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴𝑘))
1316, 59, 62, 63, 130climeq 15449 . . . . . 6 (⊤ → ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
132131mptru 1548 . . . . 5 ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
13353, 132sylib 217 . . . 4 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
134 breq2 5109 . . . . 5 (𝑐 = (exp‘𝑑) → (𝐴𝑐𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
135134rspcev 3581 . . . 4 (((exp‘𝑑) ∈ ℝ+𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐)
1365, 133, 135syl2anc 584 . . 3 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐)
137136rexlimiva 3144 . 2 (∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐)
1383, 137ax-mp 5 1 𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ccom 5637  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  +crp 12915  cexp 13967  !cfa 14173  csqrt 15118  cli 15366  expce 15944  eceu 15945  cnccncf 24239  logclog 25910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-e 15951  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ulm 25736  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by:  stirling  44320
  Copyright terms: Public domain W3C validator