Theorem stirlinglem14 46008

Description: The sequence 𝐴 converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem14.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem14.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem14	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐

Distinct variable group:   𝐴,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛,𝑐)

Proof of Theorem stirlinglem14

Dummy variables 𝑑 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem14.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
2		stirlinglem14.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
3	1, 2	stirlinglem13 46007	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑
4		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
5	4	rpefcld 16153	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → (exp‘𝑑) ∈ ℝ+)
6		nnuz 12946	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		1zzd 12674	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 1 ∈ ℤ)
8		efcn 26505	. . . . . . 7 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
11		faccl 14332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
12		nncn 12301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
14		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15		nncn 12301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
17	16	sqrtcld 15486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
18		epr 16256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e ∈ ℝ+
19		rpcn 13067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℂ)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
22		0re 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
23		epos 16255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < e
24	22, 23	gtneii 11402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≠ 0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
26	15, 21, 25	divcld 12070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
27	26, 10	expcld 14196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
28	17, 27	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
29		2rp 13062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31		nnrp 13068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
32	30, 31	rpmulcld 13115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
33	32	sqrtgt0d 15461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
34	33	gt0ne0d 11854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
35		nnne0 12327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
36	15, 21, 35, 25	divne0d 12086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
37		nnz 12660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
38	26, 36, 37	expne0d 14202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
39	17, 27, 34, 38	mulne0d 11942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
40	13, 28, 39	divcld 12070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
41	1	fvmpt2 7040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
42	40, 41	mpdan 686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
43	42, 40	eqeltrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
44		nnne0 12327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
45	10, 11, 44	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
46	13, 28, 45, 39	divne0d 12086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ≠ 0)
47	42, 46	eqnetrd 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ≠ 0)
48	43, 47	logcld 26630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℂ)
49	2, 48	fmpti 7146	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵:ℕ⟶ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐵:ℕ⟶ℂ)
51		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐵 ⇝ 𝑑)
52	4	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℂ)
53	6, 7, 9, 50, 51, 52	climcncf 24945	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → (exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑))
54	8	elexi 3511	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ V
55		nnex 12299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
56	55	mptex 7260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛))) ∈ V
57	2, 56	eqeltri 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
58	54, 57	coex 7970	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ∘ 𝐵) ∈ V
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (exp ∘ 𝐵) ∈ V)
60	55	mptex 7260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ∈ V
61	1, 60	eqeltri 2840	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
63		1zzd 12674	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
64	2	funmpt2 6617	. . . . . . . . . 10 ⊢ Fun 𝐵
65		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
66		rabid2 3478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
67	1	stirlinglem2 45996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+)
68		relogcl 26635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
69		elex 3509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
70	67, 68, 69	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
71	66, 70	mprgbir 3074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V}
72	2	dmmpt 6271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom 𝐵 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V}
73	71, 72	eqtr4i 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = dom 𝐵
74	65, 73	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ dom 𝐵)
75		fvco 7020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐵) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵‘𝑘)))
76	64, 74, 75	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵‘𝑘)))
77	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
78		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
79	78	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
80	78	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
81	80	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
82	78	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
83	82, 78	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
84	81, 83	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
85	79, 84	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
86		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
87		faccl 14332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
88		nncn 12301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
89	86, 87, 88	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
90		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
91		nncn 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
92	90, 91	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
93	92	sqrtcld 15486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
94	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
95	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
96	91, 94, 95	divcld 12070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
97	96, 86	expcld 14196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
98	93, 97	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
99	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
100		nnrp 13068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
101	99, 100	rpmulcld 13115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ+)
102	101	sqrtgt0d 15461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
103	102	gt0ne0d 11854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
104		nnne0 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
105	91, 94, 104, 95	divne0d 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
106		nnz 12660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
107	96, 105, 106	expne0d 14202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
108	93, 97, 103, 107	mulne0d 11942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
109	89, 98, 108	divcld 12070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
110	77, 85, 65, 109	fvmptd 7036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
111	110, 109	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
112		nnne0 12327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
113	86, 87, 112	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
114	89, 98, 113, 108	divne0d 12086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ≠ 0)
115	110, 114	eqnetrd 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) ≠ 0)
116	111, 115	logcld 26630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
117		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
118		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛log
119		nfmpt1 5274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
120	1, 119	nfcxfr 2906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
121	120, 117	nffv 6930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑘)
122	118, 121	nffv 6930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑘))
123		2fveq3 6925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
124	117, 122, 123, 2	fvmptf 7050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑘) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
125	116, 124	mpdan 686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑘) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
126	125	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(𝐵‘𝑘)) = (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))))
127		eflog 26636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))) = (𝐴‘𝑘))
128	111, 115, 127	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))) = (𝐴‘𝑘))
129	76, 126, 128	3eqtrd 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
130	129	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
131	6, 59, 62, 63, 130	climeq 15613	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
132	131	mptru 1544	. . . . 5 ⊢ ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
133	53, 132	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
134		breq2 5170	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (exp‘𝑑) → (𝐴 ⇝ 𝑐 ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
135	134	rspcev 3635	. . . 4 ⊢ (((exp‘𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
136	5, 133, 135	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
137	136	rexlimiva 3153	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
138	3, 137	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700   ∘ ccom 5704  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℝ⁺crp 13057  ↑cexp 14112  !cfa 14322  √csqrt 15282   ⇝ cli 15530  expce 16109  eceu 16110  –cn→ccncf 24921  logclog 26614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-e 16116  df-sin 16117  df-cos 16118  df-tan 16119  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-ulm 26438  df-log 26616  df-cxp 26617

This theorem is referenced by:  stirling  46010