Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem14 40941
Description: The sequence 𝐴 converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem14.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14 𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐
Distinct variable group:   𝐴,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛,𝑐)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables 𝑑 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
2 stirlinglem14.2 . . 3 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
31, 2stirlinglem13 40940 . 2 𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑
4 simpl 474 . . . . 5 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
54rpefcld 15117 . . . 4 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → (exp‘𝑑) ∈ ℝ+)
6 nnuz 11923 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
7 1zzd 11655 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 1 ∈ ℤ)
8 efcn 24488 . . . . . . 7 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10 nnnn0 11546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
11 faccl 13274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
12 nncn 11283 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
14 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15 nncn 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1716sqrtcld 14461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
18 epr 15218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e ∈ ℝ+
19 rpcn 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℂ)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
22 0re 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
23 epos 15217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < e
2422, 23gtneii 10403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ≠ 0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
2615, 21, 25divcld 11055 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
2726, 10expcld 13215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
2817, 27mulcld 10314 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
29 2rp 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31 nnrp 12041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
3230, 31rpmulcld 12086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
3332sqrtgt0d 14436 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
3433gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
35 nnne0 11310 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3615, 21, 35, 25divne0d 11071 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
37 nnz 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
3826, 36, 37expne0d 13221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
3917, 27, 34, 38mulne0d 10933 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
4013, 28, 39divcld 11055 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
411fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4240, 41mpdan 678 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4342, 40eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
44 nnne0 11310 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
4510, 11, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
4613, 28, 45, 39divne0d 11071 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ≠ 0)
4742, 46eqnetrd 3004 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ≠ 0)
4843, 47logcld 24608 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℂ)
492, 48fmpti 6572 . . . . . . 7 𝐵:ℕ⟶ℂ
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝐵:ℕ⟶ℂ)
51 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝐵𝑑)
524recnd 10322 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝑑 ∈ ℂ)
536, 7, 9, 50, 51, 52climcncf 22982 . . . . 5 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → (exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑))
548elexi 3366 . . . . . . . . 9 exp ∈ V
55 nnex 11281 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
5655mptex 6679 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛))) ∈ V
572, 56eqeltri 2840 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
5854, 57coex 7316 . . . . . . . 8 (exp ∘ 𝐵) ∈ V
5958a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (exp ∘ 𝐵) ∈ V)
6055mptex 6679 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ∈ V
611, 60eqeltri 2840 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
63 1zzd 11655 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
642funmpt2 6107 . . . . . . . . . 10 Fun 𝐵
65 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
66 rabid2 3266 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V)
671stirlinglem2 40929 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℝ+)
68 relogcl 24613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑛) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ)
69 elex 3365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V)
7067, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V)
7166, 70mprgbir 3074 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V}
722dmmpt 5816 . . . . . . . . . . . 12 dom 𝐵 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ V}
7371, 72eqtr4i 2790 . . . . . . . . . . 11 ℕ = dom 𝐵
7465, 73syl6eleq 2854 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ dom 𝐵)
75 fvco 6463 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐵𝑘 ∈ dom 𝐵) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵𝑘)))
7664, 74, 75sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵𝑘)))
771a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
78 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
7978fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
8078oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
8180fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
8278oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
8382, 78oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
8481, 83oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
8579, 84oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
86 nnnn0 11546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
87 faccl 13274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
88 nncn 11283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
90 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
91 nncn 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
9290, 91mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
9392sqrtcld 14461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
9420a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
9524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
9691, 94, 95divcld 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
9796, 86expcld 13215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
9893, 97mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
9929a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
100 nnrp 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
10199, 100rpmulcld 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ+)
102101sqrtgt0d 14436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
103102gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
104 nnne0 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
10591, 94, 104, 95divne0d 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
106 nnz 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
10796, 105, 106expne0d 13221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
10893, 97, 103, 107mulne0d 10933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
10989, 98, 108divcld 11055 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
11077, 85, 65, 109fvmptd 6477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
111110, 109eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
112 nnne0 11310 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
11386, 87, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
11489, 98, 113, 108divne0d 11071 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ≠ 0)
115110, 114eqnetrd 3004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ≠ 0)
116111, 115logcld 24608 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
117 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑘
118 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛log
119 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
1201, 119nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝐴
121120, 117nffv 6385 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(𝐴𝑘)
122118, 121nffv 6385 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(log‘(𝐴𝑘))
123 2fveq3 6380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑘)))
124117, 122, 123, 2fvmptf 6490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ) → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
125116, 124mpdan 678 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐵𝑘) = (log‘(𝐴𝑘)))
126125fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(𝐵𝑘)) = (exp‘(log‘(𝐴𝑘))))
127 eflog 24614 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (exp‘(log‘(𝐴𝑘))) = (𝐴𝑘))
128111, 115, 127syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝐴𝑘))) = (𝐴𝑘))
12976, 126, 1283eqtrd 2803 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴𝑘))
130129adantl 473 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴𝑘))
1316, 59, 62, 63, 130climeq 14583 . . . . . 6 (⊤ → ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
132131mptru 1660 . . . . 5 ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
13353, 132sylib 209 . . . 4 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
134 breq2 4813 . . . . 5 (𝑐 = (exp‘𝑑) → (𝐴𝑐𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
135134rspcev 3461 . . . 4 (((exp‘𝑑) ∈ ℝ+𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐)
1365, 133, 135syl2anc 579 . . 3 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐)
137136rexlimiva 3175 . 2 (∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐)
1383, 137ax-mp 5 1 𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  ccom 5281  Fun wfun 6062  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  +crp 12028  cexp 13067  !cfa 13264  csqrt 14258  cli 14500  expce 15074  eceu 15075  cnccncf 22958  logclog 24592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-e 15081  df-sin 15082  df-cos 15083  df-tan 15084  df-pi 15085  df-dvds 15266  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-ulm 24422  df-log 24594  df-cxp 24595
This theorem is referenced by:  stirling  40943
  Copyright terms: Public domain W3C validator