Theorem stirlinglem14 43170

Description: The sequence 𝐴 converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem14.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem14.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem14	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐

Distinct variable group:   𝐴,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛,𝑐)

Proof of Theorem stirlinglem14

Dummy variables 𝑑 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem14.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
2		stirlinglem14.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
3	1, 2	stirlinglem13 43169	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑
4		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
5	4	rpefcld 15550	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → (exp‘𝑑) ∈ ℝ+)
6		nnuz 12363	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		1zzd 12094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 1 ∈ ℤ)
8		efcn 25190	. . . . . . 7 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10		nnnn0 11983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
11		faccl 13735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
12		nncn 11724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
14		2cnd 11794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15		nncn 11724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 10739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
17	16	sqrtcld 14887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
18		epr 15653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e ∈ ℝ+
19		rpcn 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℂ)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
22		0re 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
23		epos 15652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < e
24	22, 23	gtneii 10830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≠ 0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
26	15, 21, 25	divcld 11494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
27	26, 10	expcld 13602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
28	17, 27	mulcld 10739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
29		2rp 12477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31		nnrp 12483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
32	30, 31	rpmulcld 12530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
33	32	sqrtgt0d 14862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
34	33	gt0ne0d 11282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
35		nnne0 11750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
36	15, 21, 35, 25	divne0d 11510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
37		nnz 12085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
38	26, 36, 37	expne0d 13608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
39	17, 27, 34, 38	mulne0d 11370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
40	13, 28, 39	divcld 11494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
41	1	fvmpt2 6786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
42	40, 41	mpdan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
43	42, 40	eqeltrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
44		nnne0 11750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
45	10, 11, 44	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ≠ 0)
46	13, 28, 45, 39	divne0d 11510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ≠ 0)
47	42, 46	eqnetrd 3001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ≠ 0)
48	43, 47	logcld 25314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℂ)
49	2, 48	fmpti 6886	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵:ℕ⟶ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐵:ℕ⟶ℂ)
51		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐵 ⇝ 𝑑)
52	4	recnd 10747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℂ)
53	6, 7, 9, 50, 51, 52	climcncf 23652	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → (exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑))
54	8	elexi 3417	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ V
55		nnex 11722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
56	55	mptex 6996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛))) ∈ V
57	2, 56	eqeltri 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
58	54, 57	coex 7661	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ∘ 𝐵) ∈ V
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (exp ∘ 𝐵) ∈ V)
60	55	mptex 6996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ∈ V
61	1, 60	eqeltri 2829	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
63		1zzd 12094	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
64	2	funmpt2 6378	. . . . . . . . . 10 ⊢ Fun 𝐵
65		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
66		rabid2 3284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
67	1	stirlinglem2 43158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+)
68		relogcl 25319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
69		elex 3416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
70	67, 68, 69	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V)
71	66, 70	mprgbir 3068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V}
72	2	dmmpt 6072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom 𝐵 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ V}
73	71, 72	eqtr4i 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = dom 𝐵
74	65, 73	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ dom 𝐵)
75		fvco 6766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐵) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵‘𝑘)))
76	64, 74, 75	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (exp‘(𝐵‘𝑘)))
77	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
78		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
79	78	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
80	78	oveq2d 7186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
81	80	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
82	78	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
83	82, 78	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
84	81, 83	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
85	79, 84	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
86		nnnn0 11983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
87		faccl 13735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
88		nncn 11724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
89	86, 87, 88	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
90		2cnd 11794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
91		nncn 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
92	90, 91	mulcld 10739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
93	92	sqrtcld 14887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
94	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
95	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
96	91, 94, 95	divcld 11494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
97	96, 86	expcld 13602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
98	93, 97	mulcld 10739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
99	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
100		nnrp 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
101	99, 100	rpmulcld 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ+)
102	101	sqrtgt0d 14862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
103	102	gt0ne0d 11282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
104		nnne0 11750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
105	91, 94, 104, 95	divne0d 11510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
106		nnz 12085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
107	96, 105, 106	expne0d 13608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
108	93, 97, 103, 107	mulne0d 11370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
109	89, 98, 108	divcld 11494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
110	77, 85, 65, 109	fvmptd 6782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
111	110, 109	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
112		nnne0 11750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
113	86, 87, 112	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
114	89, 98, 113, 108	divne0d 11510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ≠ 0)
115	110, 114	eqnetrd 3001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) ≠ 0)
116	111, 115	logcld 25314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
117		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
118		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛log
119		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
120	1, 119	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
121	120, 117	nffv 6684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑘)
122	118, 121	nffv 6684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑘))
123		2fveq3 6679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
124	117, 122, 123, 2	fvmptf 6796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑘) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
125	116, 124	mpdan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑘) = (log‘(𝐴‘𝑘)))
126	125	fveq2d 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(𝐵‘𝑘)) = (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))))
127		eflog 25320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))) = (𝐴‘𝑘))
128	111, 115, 127	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝐴‘𝑘))) = (𝐴‘𝑘))
129	76, 126, 128	3eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
130	129	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp ∘ 𝐵)‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
131	6, 59, 62, 63, 130	climeq 15014	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
132	131	mptru 1549	. . . . 5 ⊢ ((exp ∘ 𝐵) ⇝ (exp‘𝑑) ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
133	53, 132	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑))
134		breq2 5034	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (exp‘𝑑) → (𝐴 ⇝ 𝑐 ↔ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)))
135	134	rspcev 3526	. . . 4 ⊢ (((exp‘𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ⇝ (exp‘𝑑)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
136	5, 133, 135	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
137	136	rexlimiva 3191	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐)
138	3, 137	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ 𝐴 ⇝ 𝑐

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∃wrex 3054  {crab 3057  Vcvv 3398   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5525   ∘ ccom 5529  Fun wfun 6333  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  ℂcc 10613  ℝcr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   · cmul 10620   / cdiv 11375  ℕcn 11716  2c2 11771  ℕ₀cn0 11976  ℝ⁺crp 12472  ↑cexp 13521  !cfa 13725  √csqrt 14682   ⇝ cli 14931  expce 15507  eceu 15508  –cn→ccncf 23628  logclog 25298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-e 15514  df-sin 15515  df-cos 15516  df-tan 15517  df-pi 15518  df-dvds 15700  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-cmp 22138  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-limc 24618  df-dv 24619  df-ulm 25124  df-log 25300  df-cxp 25301

This theorem is referenced by:  stirling  43172