Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvcosre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcosre 45867
Description: The real derivative of the cosine. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvcosre (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))

Proof of Theorem dvcosre
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11244 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2 cosf 16157 . . 3 cos:ℂ⟶ℂ
3 ssid 4017 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
4 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥
5 nfrab1 3453 . . . . . 6 𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
64, 5dfssf 3985 . . . . 5 (ℝ ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}))
7 recn 11242 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
87sincld 16162 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
98negcld 11604 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
10 elex 3498 . . . . . . 7 (-(sin‘𝑥) ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ V)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ V)
12 rabid 3454 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ -(sin‘𝑥) ∈ V))
137, 11, 12sylanbrc 583 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V})
146, 13mpgbir 1795 . . . 4 ℝ ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
15 dvcos 26035 . . . . 5 (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
1615dmmpt 6261 . . . 4 dom (ℂ D cos) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
1714, 16sseqtrri 4032 . . 3 ℝ ⊆ dom (ℂ D cos)
18 dvres3 25962 . . 3 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ cos:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D cos))) → (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = ((ℂ D cos) ↾ ℝ))
191, 2, 3, 17, 18mp4an 693 . 2 (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = ((ℂ D cos) ↾ ℝ)
20 ffn 6736 . . . . . . 7 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
212, 20ax-mp 5 . . . . . 6 cos Fn ℂ
22 dffn5 6966 . . . . . 6 (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
2321, 22mpbi 230 . . . . 5 cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
2423reseq1i 5995 . . . 4 (cos ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ)
25 ax-resscn 11209 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
26 resmpt 6056 . . . . 5 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥)))
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))
2824, 27eqtri 2762 . . 3 (cos ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))
2928oveq2i 7441 . 2 (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥)))
3015reseq1i 5995 . . 3 ((ℂ D cos) ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ)
31 resmpt 6056 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
3225, 31ax-mp 5 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
3330, 32eqtri 2762 . 2 ((ℂ D cos) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
3419, 29, 333eqtr3i 2770 1 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  Vcvv 3477  wss 3962  {cpr 4632  cmpt 5230  dom cdm 5688  cres 5690   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  -cneg 11490  sincsin 16095  cosccos 16096   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  itgsin0pilem1  45905  itgsinexplem1  45909  fourierdlem39  46101
  Copyright terms: Public domain W3C validator