Theorem dvcosre 45302

Description: The real derivative of the cosine. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dvcosre	⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))

Proof of Theorem dvcosre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11236	. . 3 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2		cosf 16107	. . 3 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
3		ssid 4002	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
4		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
5		nfrab1 3448	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
6	4, 5	dfss2f 3970	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}))
7		recn 11234	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	sincld 16112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
9	8	negcld 11594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
10		elex 3490	. . . . . . 7 ⊢ (-(sin‘𝑥) ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ V)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ V)
12		rabid 3449	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ -(sin‘𝑥) ∈ V))
13	7, 11, 12	sylanbrc 581	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V})
14	6, 13	mpgbir 1793	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
15		dvcos 25933	. . . . 5 ⊢ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
16	15	dmmpt 6247	. . . 4 ⊢ dom (ℂ D cos) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
17	14, 16	sseqtrri 4017	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D cos)
18		dvres3 25860	. . 3 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ cos:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D cos))) → (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = ((ℂ D cos) ↾ ℝ))
19	1, 2, 3, 17, 18	mp4an 691	. 2 ⊢ (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = ((ℂ D cos) ↾ ℝ)
20		ffn 6725	. . . . . . 7 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ cos Fn ℂ
22		dffn5 6960	. . . . . 6 ⊢ (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
23	21, 22	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
24	23	reseq1i 5983	. . . 4 ⊢ (cos ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ)
25		ax-resscn 11201	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
26		resmpt 6044	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥)))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))
28	24, 27	eqtri 2755	. . 3 ⊢ (cos ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))
29	28	oveq2i 7435	. 2 ⊢ (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥)))
30	15	reseq1i 5983	. . 3 ⊢ ((ℂ D cos) ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ)
31		resmpt 6044	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
32	25, 31	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
33	30, 32	eqtri 2755	. 2 ⊢ ((ℂ D cos) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
34	19, 29, 33	3eqtr3i 2763	1 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3428  Vcvv 3471   ⊆ wss 3947  {cpr 4632   ↦ cmpt 5233  dom cdm 5680   ↾ cres 5682   Fn wfn 6546  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  ℂcc 11142  ℝcr 11143  -cneg 11481  sincsin 16045  cosccos 16046   D cdv 25810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-ef 16049  df-sin 16051  df-cos 16052  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814

This theorem is referenced by:  itgsin0pilem1  45340  itgsinexplem1  45344  fourierdlem39  45536