Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvcosre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcosre 42373
Description: The real derivative of the cosine. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvcosre (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))

Proof of Theorem dvcosre
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 10606 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2 cosf 15457 . . 3 cos:ℂ⟶ℂ
3 ssid 3965 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
4 nfcv 2974 . . . . . 6 𝑥
5 nfrab1 3369 . . . . . 6 𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
64, 5dfss2f 3934 . . . . 5 (ℝ ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}))
7 recn 10604 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
87sincld 15462 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
98negcld 10961 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
10 elex 3489 . . . . . . 7 (-(sin‘𝑥) ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ V)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ V)
12 rabid 3363 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ -(sin‘𝑥) ∈ V))
137, 11, 12sylanbrc 586 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V})
146, 13mpgbir 1801 . . . 4 ℝ ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
15 dvcos 24565 . . . . 5 (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
1615dmmpt 6067 . . . 4 dom (ℂ D cos) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
1714, 16sseqtrri 3980 . . 3 ℝ ⊆ dom (ℂ D cos)
18 dvres3 24495 . . 3 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ cos:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D cos))) → (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = ((ℂ D cos) ↾ ℝ))
191, 2, 3, 17, 18mp4an 692 . 2 (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = ((ℂ D cos) ↾ ℝ)
20 ffn 6487 . . . . . . 7 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
212, 20ax-mp 5 . . . . . 6 cos Fn ℂ
22 dffn5 6697 . . . . . 6 (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
2321, 22mpbi 233 . . . . 5 cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
2423reseq1i 5822 . . . 4 (cos ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ)
25 ax-resscn 10571 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
26 resmpt 5878 . . . . 5 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥)))
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))
2824, 27eqtri 2844 . . 3 (cos ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))
2928oveq2i 7141 . 2 (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥)))
3015reseq1i 5822 . . 3 ((ℂ D cos) ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ)
31 resmpt 5878 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
3225, 31ax-mp 5 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
3330, 32eqtri 2844 . 2 ((ℂ D cos) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
3419, 29, 333eqtr3i 2852 1 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  {crab 3130  Vcvv 3471  wss 3910  {cpr 4542  cmpt 5119  dom cdm 5528  cres 5530   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  -cneg 10848  sincsin 15396  cosccos 15397   D cdv 24445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-fac 13618  df-bc 13647  df-hash 13675  df-shft 14405  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-limsup 14807  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-ef 15400  df-sin 15402  df-cos 15403  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449
This theorem is referenced by:  itgsin0pilem1  42411  itgsinexplem1  42415  fourierdlem39  42607
  Copyright terms: Public domain W3C validator