Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvcosre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcosre 45090
Description: The real derivative of the cosine. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvcosre (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))

Proof of Theorem dvcosre
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11208 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2 cosf 16075 . . 3 cos:ℂ⟶ℂ
3 ssid 4004 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
4 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥
5 nfrab1 3450 . . . . . 6 𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
64, 5dfss2f 3972 . . . . 5 (ℝ ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}))
7 recn 11206 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
87sincld 16080 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
98negcld 11565 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
10 elex 3492 . . . . . . 7 (-(sin‘𝑥) ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ V)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ V)
12 rabid 3451 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ -(sin‘𝑥) ∈ V))
137, 11, 12sylanbrc 582 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V})
146, 13mpgbir 1800 . . . 4 ℝ ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
15 dvcos 25836 . . . . 5 (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
1615dmmpt 6239 . . . 4 dom (ℂ D cos) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
1714, 16sseqtrri 4019 . . 3 ℝ ⊆ dom (ℂ D cos)
18 dvres3 25763 . . 3 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ cos:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D cos))) → (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = ((ℂ D cos) ↾ ℝ))
191, 2, 3, 17, 18mp4an 690 . 2 (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = ((ℂ D cos) ↾ ℝ)
20 ffn 6717 . . . . . . 7 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
212, 20ax-mp 5 . . . . . 6 cos Fn ℂ
22 dffn5 6950 . . . . . 6 (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
2321, 22mpbi 229 . . . . 5 cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
2423reseq1i 5977 . . . 4 (cos ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ)
25 ax-resscn 11173 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
26 resmpt 6037 . . . . 5 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥)))
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))
2824, 27eqtri 2759 . . 3 (cos ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))
2928oveq2i 7423 . 2 (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥)))
3015reseq1i 5977 . . 3 ((ℂ D cos) ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ)
31 resmpt 6037 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
3225, 31ax-mp 5 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
3330, 32eqtri 2759 . 2 ((ℂ D cos) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
3419, 29, 333eqtr3i 2767 1 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473  wss 3948  {cpr 4630  cmpt 5231  dom cdm 5676  cres 5678   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  -cneg 11452  sincsin 16014  cosccos 16015   D cdv 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717
This theorem is referenced by:  itgsin0pilem1  45128  itgsinexplem1  45132  fourierdlem39  45324
  Copyright terms: Public domain W3C validator