Theorem dvcosre 45941

Description: The real derivative of the cosine. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dvcosre	⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))

Proof of Theorem dvcosre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11221	. . 3 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2		cosf 16143	. . 3 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
3		ssid 3981	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
4		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
5		nfrab1 3436	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
6	4, 5	dfssf 3949	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}))
7		recn 11219	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	sincld 16148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
9	8	negcld 11581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
10		elex 3480	. . . . . . 7 ⊢ (-(sin‘𝑥) ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ V)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ V)
12		rabid 3437	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ -(sin‘𝑥) ∈ V))
13	7, 11, 12	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V})
14	6, 13	mpgbir 1799	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
15		dvcos 25939	. . . . 5 ⊢ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
16	15	dmmpt 6229	. . . 4 ⊢ dom (ℂ D cos) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
17	14, 16	sseqtrri 4008	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D cos)
18		dvres3 25866	. . 3 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ cos:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D cos))) → (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = ((ℂ D cos) ↾ ℝ))
19	1, 2, 3, 17, 18	mp4an 693	. 2 ⊢ (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = ((ℂ D cos) ↾ ℝ)
20		ffn 6706	. . . . . . 7 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ cos Fn ℂ
22		dffn5 6937	. . . . . 6 ⊢ (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
23	21, 22	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
24	23	reseq1i 5962	. . . 4 ⊢ (cos ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ)
25		ax-resscn 11186	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
26		resmpt 6024	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥)))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))
28	24, 27	eqtri 2758	. . 3 ⊢ (cos ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))
29	28	oveq2i 7416	. 2 ⊢ (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥)))
30	15	reseq1i 5962	. . 3 ⊢ ((ℂ D cos) ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ)
31		resmpt 6024	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
32	25, 31	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
33	30, 32	eqtri 2758	. 2 ⊢ ((ℂ D cos) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
34	19, 29, 33	3eqtr3i 2766	1 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  {cpr 4603   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654   ↾ cres 5656   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  -cneg 11467  sincsin 16079  cosccos 16080   D cdv 25816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820

This theorem is referenced by:  itgsin0pilem1  45979  itgsinexplem1  45983  fourierdlem39  46175