Theorem dvcosre 43343

Description: The real derivative of the cosine. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dvcosre	⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))

Proof of Theorem dvcosre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 10894	. . 3 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2		cosf 15762	. . 3 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
3		ssid 3939	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
4		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
5		nfrab1 3310	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
6	4, 5	dfss2f 3907	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}))
7		recn 10892	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	sincld 15767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
9	8	negcld 11249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
10		elex 3440	. . . . . . 7 ⊢ (-(sin‘𝑥) ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ V)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ V)
12		rabid 3304	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ -(sin‘𝑥) ∈ V))
13	7, 11, 12	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V})
14	6, 13	mpgbir 1803	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
15		dvcos 25052	. . . . 5 ⊢ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
16	15	dmmpt 6132	. . . 4 ⊢ dom (ℂ D cos) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ -(sin‘𝑥) ∈ V}
17	14, 16	sseqtrri 3954	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D cos)
18		dvres3 24982	. . 3 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ cos:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D cos))) → (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = ((ℂ D cos) ↾ ℝ))
19	1, 2, 3, 17, 18	mp4an 689	. 2 ⊢ (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = ((ℂ D cos) ↾ ℝ)
20		ffn 6584	. . . . . . 7 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ cos Fn ℂ
22		dffn5 6810	. . . . . 6 ⊢ (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
23	21, 22	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
24	23	reseq1i 5876	. . . 4 ⊢ (cos ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ)
25		ax-resscn 10859	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
26		resmpt 5934	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥)))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))
28	24, 27	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (cos ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))
29	28	oveq2i 7266	. 2 ⊢ (ℝ D (cos ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥)))
30	15	reseq1i 5876	. . 3 ⊢ ((ℂ D cos) ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ)
31		resmpt 5934	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
32	25, 31	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
33	30, 32	eqtri 2766	. 2 ⊢ ((ℂ D cos) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
34	19, 29, 33	3eqtr3i 2774	1 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {cpr 4560   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580   ↾ cres 5582   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  -cneg 11136  sincsin 15701  cosccos 15702   D cdv 24932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by:  itgsin0pilem1  43381  itgsinexplem1  43385  fourierdlem39  43577