Theorem mptctf 32494

Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptctf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
mptctf	⊢ (𝐴 ≼ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mptctf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6586	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		ctex 8978	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	dmmpt 6239	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
5		df-rab 3429	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V)}
6		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	ss2abi 4060	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V)} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
8		mptctf.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
9	8	abid2f 2932	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} = 𝐴
10	7, 9	sseqtri 4015	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V)} ⊆ 𝐴
11	5, 10	eqsstri 4013	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ⊆ 𝐴
12	4, 11	eqsstri 4013	. . . 4 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
13		ssdomg 9015	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴))
14	2, 12, 13	mpisyl 21	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴)
15		domtr 9022	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
16	14, 15	mpancom 687	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
17		funfn 6578	. . 3 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
18		fnct 10555	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
19	17, 18	sylanb 580	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
20	1, 16, 19	sylancr 586	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  {cab 2705  Ⅎwnfc 2879  {crab 3428  Vcvv 3470   ⊆ wss 3945   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5673  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ωcom 7865   ≼ cdom 8956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-ac2 10481

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-oi 9528  df-card 9957  df-acn 9960  df-ac 10134

This theorem is referenced by:  abrexctf  32495