Theorem mptctf 32647

Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptctf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
mptctf	⊢ (𝐴 ≼ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mptctf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6556	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		ctex 8937	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	dmmpt 6215	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
5		df-rab 3409	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V)}
6		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	ss2abi 4032	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V)} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
8		mptctf.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
9	8	abid2f 2923	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} = 𝐴
10	7, 9	sseqtri 3997	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V)} ⊆ 𝐴
11	5, 10	eqsstri 3995	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ⊆ 𝐴
12	4, 11	eqsstri 3995	. . . 4 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
13		ssdomg 8973	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴))
14	2, 12, 13	mpisyl 21	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴)
15		domtr 8980	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
16	14, 15	mpancom 688	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
17		funfn 6548	. . 3 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
18		fnct 10496	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
19	17, 18	sylanb 581	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
20	1, 16, 19	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  {cab 2708  Ⅎwnfc 2877  {crab 3408  Vcvv 3450   ⊆ wss 3916   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5640  Fun wfun 6507   Fn wfn 6508  ωcom 7844   ≼ cdom 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-ac2 10422

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-oi 9469  df-card 9898  df-acn 9901  df-ac 10075

This theorem is referenced by:  abrexctf  32648