Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptctf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptctf 30479
Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mptctf.1 𝑥𝐴
Assertion
Ref Expression
mptctf (𝐴 ≼ ω → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mptctf
StepHypRef Expression
1 funmpt 6362 . 2 Fun (𝑥𝐴𝐵)
2 ctex 8507 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3 eqid 2798 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
43dmmpt 6061 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = {𝑥𝐴𝐵 ∈ V}
5 df-rab 3115 . . . . . 6 {𝑥𝐴𝐵 ∈ V} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐵 ∈ V)}
6 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ V) → 𝑥𝐴)
76ss2abi 3994 . . . . . . 7 {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐵 ∈ V)} ⊆ {𝑥𝑥𝐴}
8 mptctf.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐴
98abid2f 2984 . . . . . . 7 {𝑥𝑥𝐴} = 𝐴
107, 9sseqtri 3951 . . . . . 6 {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐵 ∈ V)} ⊆ 𝐴
115, 10eqsstri 3949 . . . . 5 {𝑥𝐴𝐵 ∈ V} ⊆ 𝐴
124, 11eqsstri 3949 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
13 ssdomg 8538 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴))
142, 12, 13mpisyl 21 . . 3 (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴)
15 domtr 8545 . . 3 ((dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ ω) → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
1614, 15mpancom 687 . 2 (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
17 funfn 6354 . . 3 (Fun (𝑥𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵))
18 fnct 9948 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω) → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
1917, 18sylanb 584 . 2 ((Fun (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω) → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
201, 16, 19sylancr 590 1 (𝐴 ≼ ω → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2111  {cab 2776  wnfc 2936  {crab 3110  Vcvv 3441  wss 3881   class class class wbr 5030  cmpt 5110  dom cdm 5519  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ωcom 7560  cdom 8490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-ac2 9874
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527
This theorem is referenced by:  abrexctf  30480
  Copyright terms: Public domain W3C validator