Theorem mptctf 32920

Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptctf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
mptctf	⊢ (𝐴 ≼ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mptctf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6561	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		ctex 8946	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	dmmpt 6229	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
5		df-rab 3417	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V)}
6		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	ss2abi 4021	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V)} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
8		mptctf.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
9	8	abid2f 2956	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} = 𝐴
10	7, 9	sseqtri 3986	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V)} ⊆ 𝐴
11	5, 10	eqsstri 3984	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ⊆ 𝐴
12	4, 11	eqsstri 3984	. . . 4 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
13		ssdomg 8983	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴))
14	2, 12, 13	mpisyl 21	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴)
15		domtr 8990	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
16	14, 15	mpancom 698	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
17		funfn 6553	. . 3 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
18		fnct 10496	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
19	17, 18	sylanb 590	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
20	1, 16, 19	sylancr 596	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144  {cab 2742  Ⅎwnfc 2911  {crab 3416  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5649  Fun wfun 6517   Fn wfn 6518  ωcom 7848   ≼ cdom 8927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-ac2 10422

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-oi 9460  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10074

This theorem is referenced by:  abrexctf  32921