Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptctf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptctf 30467
Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mptctf.1 𝑥𝐴
Assertion
Ref Expression
mptctf (𝐴 ≼ ω → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mptctf
StepHypRef Expression
1 funmpt 6381 . 2 Fun (𝑥𝐴𝐵)
2 ctex 8520 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
43dmmpt 6081 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = {𝑥𝐴𝐵 ∈ V}
5 df-rab 3142 . . . . . 6 {𝑥𝐴𝐵 ∈ V} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐵 ∈ V)}
6 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ V) → 𝑥𝐴)
76ss2abi 4029 . . . . . . 7 {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐵 ∈ V)} ⊆ {𝑥𝑥𝐴}
8 mptctf.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐴
98abid2f 3011 . . . . . . 7 {𝑥𝑥𝐴} = 𝐴
107, 9sseqtri 3989 . . . . . 6 {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐵 ∈ V)} ⊆ 𝐴
115, 10eqsstri 3987 . . . . 5 {𝑥𝐴𝐵 ∈ V} ⊆ 𝐴
124, 11eqsstri 3987 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
13 ssdomg 8551 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴))
142, 12, 13mpisyl 21 . . 3 (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴)
15 domtr 8558 . . 3 ((dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ ω) → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
1614, 15mpancom 687 . 2 (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
17 funfn 6373 . . 3 (Fun (𝑥𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵))
18 fnct 9957 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω) → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
1917, 18sylanb 584 . 2 ((Fun (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω) → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
201, 16, 19sylancr 590 1 (𝐴 ≼ ω → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  {cab 2802  wnfc 2962  {crab 3137  Vcvv 3480  wss 3919   class class class wbr 5052  cmpt 5132  dom cdm 5542  Fun wfun 6337   Fn wfn 6338  ωcom 7574  cdom 8503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-ac2 9883
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-ac 9540
This theorem is referenced by:  abrexctf  30468
  Copyright terms: Public domain W3C validator