Theorem mptctf 32668

Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptctf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
mptctf	⊢ (𝐴 ≼ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mptctf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6520	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		ctex 8889	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	dmmpt 6189	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
5		df-rab 3395	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V)}
6		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	ss2abi 4019	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V)} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
8		mptctf.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
9	8	abid2f 2922	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} = 𝐴
10	7, 9	sseqtri 3984	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V)} ⊆ 𝐴
11	5, 10	eqsstri 3982	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ⊆ 𝐴
12	4, 11	eqsstri 3982	. . . 4 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
13		ssdomg 8925	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴))
14	2, 12, 13	mpisyl 21	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴)
15		domtr 8932	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
16	14, 15	mpancom 688	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
17		funfn 6512	. . 3 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
18		fnct 10431	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
19	17, 18	sylanb 581	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
20	1, 16, 19	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  {cab 2707  Ⅎwnfc 2876  {crab 3394  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  dom cdm 5619  Fun wfun 6476   Fn wfn 6477  ωcom 7799   ≼ cdom 8870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-ac2 10357

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-oi 9402  df-card 9835  df-acn 9838  df-ac 10010

This theorem is referenced by:  abrexctf  32669