Theorem rgrx0ndm 29680

Description: 0 is not in the domain of the potentially alternative definition of the sets of k-regular graphs for each extended nonnegative integer k. (Contributed by AV, 28-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rgrx0ndm.u	⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ ℕ0* ↦ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘})

Assertion

Ref	Expression
rgrx0ndm	⊢ 0 ∉ dom 𝑅

Distinct variable group:   𝑔,𝑘,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑔,𝑘)

Proof of Theorem rgrx0ndm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rgrprcx 29679	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V
2	1	neli 3039	. . 3 ⊢ ¬ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V
3	2	intnan 486	. 2 ⊢ ¬ (0 ∈ ℕ0* ∧ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V)
4		df-nel 3038	. . 3 ⊢ (0 ∉ dom 𝑅 ↔ ¬ 0 ∈ dom 𝑅)
5		eqeq2 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘 ↔ ((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
6	5	ralbidv 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘 ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
7	6	abbidv 2803	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘} = {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0})
8	7	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ({𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘} ∈ V ↔ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V))
9		rgrx0ndm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ ℕ0* ↦ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘})
10	9	dmmpt 6199	. . . 4 ⊢ dom 𝑅 = {𝑘 ∈ ℕ0* ∣ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘} ∈ V}
11	8, 10	elrab2 3638	. . 3 ⊢ (0 ∈ dom 𝑅 ↔ (0 ∈ ℕ0* ∧ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V))
12	4, 11	xchbinx 334	. 2 ⊢ (0 ∉ dom 𝑅 ↔ ¬ (0 ∈ ℕ0* ∧ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V))
13	3, 12	mpbir 231	1 ⊢ 0 ∉ dom 𝑅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  0cc0 11032  ℕ₀^*cxnn0 12504  Vtxcvtx 29082  VtxDegcvtxdg 29552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-xadd 13058  df-fz 13456  df-hash 14287  df-iedg 29085  df-edg 29134  df-uhgr 29144  df-upgr 29168  df-uspgr 29236  df-usgr 29237  df-vtxdg 29553  df-rgr 29644  df-rusgr 29645

This theorem is referenced by:  rgrx0nd  29681