MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rgrx0ndm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rgrx0ndm 28847
Description: 0 is not in the domain of the potentially alternative definition of the sets of k-regular graphs for each extended nonnegative integer k. (Contributed by AV, 28-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rgrx0ndm.u 𝑅 = (π‘˜ ∈ β„•0* ↦ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜})
Assertion
Ref Expression
rgrx0ndm 0 βˆ‰ dom 𝑅
Distinct variable group:   𝑔,π‘˜,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑔,π‘˜)
Proof of Theorem rgrx0ndm
StepHypRef Expression
1 rgrprcx 28846 . . . 4 {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} βˆ‰ V
21neli 3048 . . 3 Β¬ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V
32intnan 487 . 2 Β¬ (0 ∈ β„•0* ∧ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V)
4 df-nel 3047 . . 3 (0 βˆ‰ dom 𝑅 ↔ Β¬ 0 ∈ dom 𝑅)
5 eqeq2 2744 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜ ↔ ((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0))
65ralbidv 3177 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0))
76abbidv 2801 . . . . 5 (π‘˜ = 0 β†’ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜} = {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0})
87eleq1d 2818 . . . 4 (π‘˜ = 0 β†’ ({𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜} ∈ V ↔ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V))
9 rgrx0ndm.u . . . . 5 𝑅 = (π‘˜ ∈ β„•0* ↦ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜})
109dmmpt 6239 . . . 4 dom 𝑅 = {π‘˜ ∈ β„•0* ∣ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜} ∈ V}
118, 10elrab2 3686 . . 3 (0 ∈ dom 𝑅 ↔ (0 ∈ β„•0* ∧ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V))
124, 11xchbinx 333 . 2 (0 βˆ‰ dom 𝑅 ↔ Β¬ (0 ∈ β„•0* ∧ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V))
133, 12mpbir 230 1 0 βˆ‰ dom 𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   βˆ‰ wnel 3046  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  0cc0 11109  β„•0*cxnn0 12543  Vtxcvtx 28253  VtxDegcvtxdg 28719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-xadd 13092  df-fz 13484  df-hash 14290  df-iedg 28256  df-edg 28305  df-uhgr 28315  df-upgr 28339  df-uspgr 28407  df-usgr 28408  df-vtxdg 28720  df-rgr 28811  df-rusgr 28812
This theorem is referenced by:  rgrx0nd  28848
  Copyright terms: Public domain W3C validator