MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rgrx0ndm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rgrx0ndm 29359
Description: 0 is not in the domain of the potentially alternative definition of the sets of k-regular graphs for each extended nonnegative integer k. (Contributed by AV, 28-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rgrx0ndm.u 𝑅 = (π‘˜ ∈ β„•0* ↦ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜})
Assertion
Ref Expression
rgrx0ndm 0 βˆ‰ dom 𝑅
Distinct variable group:   𝑔,π‘˜,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑔,π‘˜)
Proof of Theorem rgrx0ndm
StepHypRef Expression
1 rgrprcx 29358 . . . 4 {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} βˆ‰ V
21neli 3042 . . 3 Β¬ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V
32intnan 486 . 2 Β¬ (0 ∈ β„•0* ∧ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V)
4 df-nel 3041 . . 3 (0 βˆ‰ dom 𝑅 ↔ Β¬ 0 ∈ dom 𝑅)
5 eqeq2 2738 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜ ↔ ((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0))
65ralbidv 3171 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0))
76abbidv 2795 . . . . 5 (π‘˜ = 0 β†’ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜} = {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0})
87eleq1d 2812 . . . 4 (π‘˜ = 0 β†’ ({𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜} ∈ V ↔ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V))
9 rgrx0ndm.u . . . . 5 𝑅 = (π‘˜ ∈ β„•0* ↦ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜})
109dmmpt 6233 . . . 4 dom 𝑅 = {π‘˜ ∈ β„•0* ∣ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜} ∈ V}
118, 10elrab2 3681 . . 3 (0 ∈ dom 𝑅 ↔ (0 ∈ β„•0* ∧ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V))
124, 11xchbinx 334 . 2 (0 βˆ‰ dom 𝑅 ↔ Β¬ (0 ∈ β„•0* ∧ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V))
133, 12mpbir 230 1 0 βˆ‰ dom 𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703   βˆ‰ wnel 3040  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  0cc0 11112  β„•0*cxnn0 12548  Vtxcvtx 28764  VtxDegcvtxdg 29231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-xadd 13099  df-fz 13491  df-hash 14296  df-iedg 28767  df-edg 28816  df-uhgr 28826  df-upgr 28850  df-uspgr 28918  df-usgr 28919  df-vtxdg 29232  df-rgr 29323  df-rusgr 29324
This theorem is referenced by:  rgrx0nd  29360
  Copyright terms: Public domain W3C validator