MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rgrx0ndm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rgrx0ndm 29427
Description: 0 is not in the domain of the potentially alternative definition of the sets of k-regular graphs for each extended nonnegative integer k. (Contributed by AV, 28-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rgrx0ndm.u 𝑅 = (π‘˜ ∈ β„•0* ↦ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜})
Assertion
Ref Expression
rgrx0ndm 0 βˆ‰ dom 𝑅
Distinct variable group:   𝑔,π‘˜,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑔,π‘˜)
Proof of Theorem rgrx0ndm
StepHypRef Expression
1 rgrprcx 29426 . . . 4 {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} βˆ‰ V
21neli 3045 . . 3 Β¬ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V
32intnan 485 . 2 Β¬ (0 ∈ β„•0* ∧ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V)
4 df-nel 3044 . . 3 (0 βˆ‰ dom 𝑅 ↔ Β¬ 0 ∈ dom 𝑅)
5 eqeq2 2740 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜ ↔ ((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0))
65ralbidv 3175 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0))
76abbidv 2797 . . . . 5 (π‘˜ = 0 β†’ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜} = {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0})
87eleq1d 2814 . . . 4 (π‘˜ = 0 β†’ ({𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜} ∈ V ↔ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V))
9 rgrx0ndm.u . . . . 5 𝑅 = (π‘˜ ∈ β„•0* ↦ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜})
109dmmpt 6249 . . . 4 dom 𝑅 = {π‘˜ ∈ β„•0* ∣ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = π‘˜} ∈ V}
118, 10elrab2 3687 . . 3 (0 ∈ dom 𝑅 ↔ (0 ∈ β„•0* ∧ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V))
124, 11xchbinx 333 . 2 (0 βˆ‰ dom 𝑅 ↔ Β¬ (0 ∈ β„•0* ∧ {𝑔 ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} ∈ V))
133, 12mpbir 230 1 0 βˆ‰ dom 𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2705   βˆ‰ wnel 3043  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  β€˜cfv 6553  0cc0 11146  β„•0*cxnn0 12582  Vtxcvtx 28829  VtxDegcvtxdg 29299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-xadd 13133  df-fz 13525  df-hash 14330  df-iedg 28832  df-edg 28881  df-uhgr 28891  df-upgr 28915  df-uspgr 28983  df-usgr 28984  df-vtxdg 29300  df-rgr 29391  df-rusgr 29392
This theorem is referenced by:  rgrx0nd  29428
  Copyright terms: Public domain W3C validator