Theorem rgrx0ndm 29572

Description: 0 is not in the domain of the potentially alternative definition of the sets of k-regular graphs for each extended nonnegative integer k. (Contributed by AV, 28-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rgrx0ndm.u	⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ ℕ0* ↦ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘})

Assertion

Ref	Expression
rgrx0ndm	⊢ 0 ∉ dom 𝑅

Distinct variable group:   𝑔,𝑘,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑔,𝑘)

Proof of Theorem rgrx0ndm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rgrprcx 29571	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V
2	1	neli 3034	. . 3 ⊢ ¬ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V
3	2	intnan 486	. 2 ⊢ ¬ (0 ∈ ℕ0* ∧ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V)
4		df-nel 3033	. . 3 ⊢ (0 ∉ dom 𝑅 ↔ ¬ 0 ∈ dom 𝑅)
5		eqeq2 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘 ↔ ((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
6	5	ralbidv 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘 ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
7	6	abbidv 2797	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘} = {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0})
8	7	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ({𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘} ∈ V ↔ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V))
9		rgrx0ndm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ ℕ0* ↦ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘})
10	9	dmmpt 6187	. . . 4 ⊢ dom 𝑅 = {𝑘 ∈ ℕ0* ∣ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘} ∈ V}
11	8, 10	elrab2 3645	. . 3 ⊢ (0 ∈ dom 𝑅 ↔ (0 ∈ ℕ0* ∧ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V))
12	4, 11	xchbinx 334	. 2 ⊢ (0 ∉ dom 𝑅 ↔ ¬ (0 ∈ ℕ0* ∧ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V))
13	3, 12	mpbir 231	1 ⊢ 0 ∉ dom 𝑅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709   ∉ wnel 3032  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5170  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  0cc0 11006  ℕ₀^*cxnn0 12454  Vtxcvtx 28974  VtxDegcvtxdg 29444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-xadd 13012  df-fz 13408  df-hash 14238  df-iedg 28977  df-edg 29026  df-uhgr 29036  df-upgr 29060  df-uspgr 29128  df-usgr 29129  df-vtxdg 29445  df-rgr 29536  df-rusgr 29537

This theorem is referenced by:  rgrx0nd  29573