Theorem rgrx0ndm 29616

Description: 0 is not in the domain of the potentially alternative definition of the sets of k-regular graphs for each extended nonnegative integer k. (Contributed by AV, 28-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rgrx0ndm.u	⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ ℕ0* ↦ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘})

Assertion

Ref	Expression
rgrx0ndm	⊢ 0 ∉ dom 𝑅

Distinct variable group:   𝑔,𝑘,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑔,𝑘)

Proof of Theorem rgrx0ndm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rgrprcx 29615	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V
2	1	neli 3036	. . 3 ⊢ ¬ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V
3	2	intnan 486	. 2 ⊢ ¬ (0 ∈ ℕ0* ∧ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V)
4		df-nel 3035	. . 3 ⊢ (0 ∉ dom 𝑅 ↔ ¬ 0 ∈ dom 𝑅)
5		eqeq2 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘 ↔ ((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
6	5	ralbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘 ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
7	6	abbidv 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘} = {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0})
8	7	eleq1d 2819	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ({𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘} ∈ V ↔ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V))
9		rgrx0ndm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ ℕ0* ↦ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘})
10	9	dmmpt 6196	. . . 4 ⊢ dom 𝑅 = {𝑘 ∈ ℕ0* ∣ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 𝑘} ∈ V}
11	8, 10	elrab2 3647	. . 3 ⊢ (0 ∈ dom 𝑅 ↔ (0 ∈ ℕ0* ∧ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V))
12	4, 11	xchbinx 334	. 2 ⊢ (0 ∉ dom 𝑅 ↔ ¬ (0 ∈ ℕ0* ∧ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∈ V))
13	3, 12	mpbir 231	1 ⊢ 0 ∉ dom 𝑅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2712   ∉ wnel 3034  ∀wral 3049  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5177  dom cdm 5622  ‘cfv 6490  0cc0 11024  ℕ₀^*cxnn0 12472  Vtxcvtx 29018  VtxDegcvtxdg 29488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-xadd 13025  df-fz 13422  df-hash 14252  df-iedg 29021  df-edg 29070  df-uhgr 29080  df-upgr 29104  df-uspgr 29172  df-usgr 29173  df-vtxdg 29489  df-rgr 29580  df-rusgr 29581

This theorem is referenced by:  rgrx0nd  29617