Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  00lsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 00lsp 19747
 Description: fvco4i 6756 lemma for linear spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
00lsp ∅ = (LSpan‘∅)

Proof of Theorem 00lsp
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5203 . . 3 ∅ ∈ V
2 base0 16530 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
3 00lss 19707 . . . 4 ∅ = (LSubSp‘∅)
4 eqid 2821 . . . 4 (LSpan‘∅) = (LSpan‘∅)
52, 3, 4lspfval 19739 . . 3 (∅ ∈ V → (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}))
61, 5ax-mp 5 . 2 (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏})
7 eqid 2821 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏})
87dmmpt 6088 . . . 4 dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V}
9 rab0 4336 . . . . . . . . 9 {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} = ∅
109inteqi 4872 . . . . . . . 8 {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} =
11 int0 4882 . . . . . . . 8 ∅ = V
1210, 11eqtri 2844 . . . . . . 7 {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} = V
13 vprc 5211 . . . . . . 7 ¬ V ∈ V
1412, 13eqneltri 2906 . . . . . 6 ¬ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V
1514rgenw 3150 . . . . 5 𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V
16 rabeq0 4337 . . . . 5 ({𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V)
1715, 16mpbir 233 . . . 4 {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V} = ∅
188, 17eqtri 2844 . . 3 dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅
19 mptrel 5691 . . . 4 Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏})
20 reldm0 5792 . . . 4 (Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) → ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅))
2119, 20ax-mp 5 . . 3 ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅)
2218, 21mpbir 233 . 2 (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅
236, 22eqtr2i 2845 1 ∅ = (LSpan‘∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538  ∩ cint 4868   ↦ cmpt 5138  dom cdm 5549  Rel wrel 5554  ‘cfv 6349  LSpanclspn 19737 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-slot 16481  df-base 16483  df-lss 19698  df-lsp 19738 This theorem is referenced by:  rspval  19959
 Copyright terms: Public domain W3C validator