Theorem 00lsp 21028

Description: fvco4i 6965 lemma for linear spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
00lsp	⊢ ∅ = (LSpan‘∅)

Proof of Theorem 00lsp

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5256	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		base0 17233	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
3		00lss 20988	. . . 4 ⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LSpan‘∅) = (LSpan‘∅)
5	2, 3, 4	lspfval 21020	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏})
7		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏})
8	7	dmmpt 6223	. . . 4 ⊢ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V}
9		rab0 4338	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} = ∅
10	9	inteqi 4908	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} = ∩ ∅
11		int0 4919	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ ∅ = V
12	10, 11	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} = V
13		vprc 5269	. . . . . . 7 ⊢ ¬ V ∈ V
14	12, 13	eqneltri 2880	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V
15	14	rgenw 3079	. . . . 5 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V
16		rabeq0 4341	. . . . 5 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V)
17	15, 16	mpbir 233	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V} = ∅
18	8, 17	eqtri 2784	. . 3 ⊢ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅
19		mptrel 5796	. . . 4 ⊢ Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏})
20		reldm0 5902	. . . 4 ⊢ (Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) → ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅))
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅)
22	18, 21	mpbir 233	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅
23	6, 22	eqtr2i 2785	1 ⊢ ∅ = (LSpan‘∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {crab 3413  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  ∩ cint 4904   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  Rel wrel 5650  ‘cfv 6517  LSpanclspn 21018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-1cn 11128  ax-addcl 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-nn 12208  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-lss 20979  df-lsp 21019

This theorem is referenced by:  rspval  21261