MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  00lsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 00lsp 19340
Description: fvco4i 6523 lemma for linear spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
00lsp ∅ = (LSpan‘∅)

Proof of Theorem 00lsp
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5014 . . 3 ∅ ∈ V
2 base0 16275 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
3 00lss 19298 . . . 4 ∅ = (LSubSp‘∅)
4 eqid 2825 . . . 4 (LSpan‘∅) = (LSpan‘∅)
52, 3, 4lspfval 19332 . . 3 (∅ ∈ V → (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}))
61, 5ax-mp 5 . 2 (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏})
7 eqid 2825 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏})
87dmmpt 5871 . . . 4 dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V}
9 vprc 5022 . . . . . . 7 ¬ V ∈ V
10 rab0 4185 . . . . . . . . . 10 {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} = ∅
1110inteqi 4701 . . . . . . . . 9 {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} =
12 int0 4711 . . . . . . . . 9 ∅ = V
1311, 12eqtri 2849 . . . . . . . 8 {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} = V
1413eleq1i 2897 . . . . . . 7 ( {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V ↔ V ∈ V)
159, 14mtbir 315 . . . . . 6 ¬ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V
1615rgenw 3133 . . . . 5 𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V
17 rabeq0 4186 . . . . 5 ({𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V)
1816, 17mpbir 223 . . . 4 {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V} = ∅
198, 18eqtri 2849 . . 3 dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅
20 funmpt 6161 . . . . 5 Fun (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏})
21 funrel 6140 . . . . 5 (Fun (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) → Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}))
2220, 21ax-mp 5 . . . 4 Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏})
23 reldm0 5575 . . . 4 (Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) → ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅))
2422, 23ax-mp 5 . . 3 ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅)
2519, 24mpbir 223 . 2 (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅
266, 25eqtr2i 2850 1 ∅ = (LSpan‘∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3117  {crab 3121  Vcvv 3414  wss 3798  c0 4144  𝒫 cpw 4378   cint 4697  cmpt 4952  dom cdm 5342  Rel wrel 5347  Fun wfun 6117  cfv 6123  LSpanclspn 19330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-slot 16226  df-base 16228  df-lss 19289  df-lsp 19331
This theorem is referenced by:  rspval  19554
  Copyright terms: Public domain W3C validator