MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  00lsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 00lsp 20457
Description: fvco4i 6943 lemma for linear spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
00lsp βˆ… = (LSpanβ€˜βˆ…)

Proof of Theorem 00lsp
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5265 . . 3 βˆ… ∈ V
2 base0 17093 . . . 4 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
3 00lss 20417 . . . 4 βˆ… = (LSubSpβ€˜βˆ…)
4 eqid 2733 . . . 4 (LSpanβ€˜βˆ…) = (LSpanβ€˜βˆ…)
52, 3, 4lspfval 20449 . . 3 (βˆ… ∈ V β†’ (LSpanβ€˜βˆ…) = (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}))
61, 5ax-mp 5 . 2 (LSpanβ€˜βˆ…) = (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏})
7 eqid 2733 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏})
87dmmpt 6193 . . . 4 dom (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = {π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ∣ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} ∈ V}
9 rab0 4343 . . . . . . . . 9 {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} = βˆ…
109inteqi 4912 . . . . . . . 8 ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} = ∩ βˆ…
11 int0 4924 . . . . . . . 8 ∩ βˆ… = V
1210, 11eqtri 2761 . . . . . . 7 ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} = V
13 vprc 5273 . . . . . . 7 Β¬ V ∈ V
1412, 13eqneltri 2853 . . . . . 6 Β¬ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} ∈ V
1514rgenw 3065 . . . . 5 βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… Β¬ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} ∈ V
16 rabeq0 4345 . . . . 5 ({π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ∣ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} ∈ V} = βˆ… ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… Β¬ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} ∈ V)
1715, 16mpbir 230 . . . 4 {π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ∣ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} ∈ V} = βˆ…
188, 17eqtri 2761 . . 3 dom (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = βˆ…
19 mptrel 5782 . . . 4 Rel (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏})
20 reldm0 5884 . . . 4 (Rel (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = βˆ… ↔ dom (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = βˆ…))
2119, 20ax-mp 5 . . 3 ((π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = βˆ… ↔ dom (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = βˆ…)
2218, 21mpbir 230 . 2 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = βˆ…
236, 22eqtr2i 2762 1 βˆ… = (LSpanβ€˜βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  βˆ© cint 4908   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  Rel wrel 5639  β€˜cfv 6497  LSpanclspn 20447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12159  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-lss 20408  df-lsp 20448
This theorem is referenced by:  rspval  20678
  Copyright terms: Public domain W3C validator