Theorem 00lsp 20870

Description: fvco4i 7002 lemma for linear spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
00lsp	⊢ ∅ = (LSpan‘∅)

Proof of Theorem 00lsp

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5309	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		base0 17190	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
3		00lss 20830	. . . 4 ⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)
4		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (LSpan‘∅) = (LSpan‘∅)
5	2, 3, 4	lspfval 20862	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏})
7		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏})
8	7	dmmpt 6247	. . . 4 ⊢ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V}
9		rab0 4384	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} = ∅
10	9	inteqi 4955	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} = ∩ ∅
11		int0 4967	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ ∅ = V
12	10, 11	eqtri 2755	. . . . . . 7 ⊢ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} = V
13		vprc 5317	. . . . . . 7 ⊢ ¬ V ∈ V
14	12, 13	eqneltri 2847	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V
15	14	rgenw 3061	. . . . 5 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V
16		rabeq0 4386	. . . . 5 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V)
17	15, 16	mpbir 230	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V} = ∅
18	8, 17	eqtri 2755	. . 3 ⊢ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅
19		mptrel 5829	. . . 4 ⊢ Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏})
20		reldm0 5932	. . . 4 ⊢ (Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) → ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅))
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅)
22	18, 21	mpbir 230	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅
23	6, 22	eqtr2i 2756	1 ⊢ ∅ = (LSpan‘∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3057  {crab 3428  Vcvv 3471   ⊆ wss 3947  ∅c0 4324  𝒫 cpw 4604  ∩ cint 4951   ↦ cmpt 5233  dom cdm 5680  Rel wrel 5685  ‘cfv 6551  LSpanclspn 20860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-1cn 11202  ax-addcl 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-nn 12249  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-lss 20821  df-lsp 20861

This theorem is referenced by:  rspval  21112