MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  00lsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 00lsp 20864
Description: fvco4i 6999 lemma for linear spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
00lsp βˆ… = (LSpanβ€˜βˆ…)

Proof of Theorem 00lsp
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5307 . . 3 βˆ… ∈ V
2 base0 17184 . . . 4 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
3 00lss 20824 . . . 4 βˆ… = (LSubSpβ€˜βˆ…)
4 eqid 2728 . . . 4 (LSpanβ€˜βˆ…) = (LSpanβ€˜βˆ…)
52, 3, 4lspfval 20856 . . 3 (βˆ… ∈ V β†’ (LSpanβ€˜βˆ…) = (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}))
61, 5ax-mp 5 . 2 (LSpanβ€˜βˆ…) = (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏})
7 eqid 2728 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏})
87dmmpt 6244 . . . 4 dom (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = {π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ∣ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} ∈ V}
9 rab0 4383 . . . . . . . . 9 {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} = βˆ…
109inteqi 4953 . . . . . . . 8 ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} = ∩ βˆ…
11 int0 4965 . . . . . . . 8 ∩ βˆ… = V
1210, 11eqtri 2756 . . . . . . 7 ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} = V
13 vprc 5315 . . . . . . 7 Β¬ V ∈ V
1412, 13eqneltri 2848 . . . . . 6 Β¬ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} ∈ V
1514rgenw 3062 . . . . 5 βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… Β¬ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} ∈ V
16 rabeq0 4385 . . . . 5 ({π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ∣ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} ∈ V} = βˆ… ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… Β¬ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} ∈ V)
1715, 16mpbir 230 . . . 4 {π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ∣ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏} ∈ V} = βˆ…
188, 17eqtri 2756 . . 3 dom (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = βˆ…
19 mptrel 5827 . . . 4 Rel (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏})
20 reldm0 5930 . . . 4 (Rel (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = βˆ… ↔ dom (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = βˆ…))
2119, 20ax-mp 5 . . 3 ((π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = βˆ… ↔ dom (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = βˆ…)
2218, 21mpbir 230 . 2 (π‘Ž ∈ 𝒫 βˆ… ↦ ∩ {𝑏 ∈ βˆ… ∣ π‘Ž βŠ† 𝑏}) = βˆ…
236, 22eqtr2i 2757 1 βˆ… = (LSpanβ€˜βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  {crab 3429  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆ© cint 4949   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5678  Rel wrel 5683  β€˜cfv 6548  LSpanclspn 20854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-1cn 11196  ax-addcl 11198
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-nn 12243  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-lss 20815  df-lsp 20855
This theorem is referenced by:  rspval  21106
  Copyright terms: Public domain W3C validator