MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  00lsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 00lsp 20870
Description: fvco4i 7002 lemma for linear spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
00lsp ∅ = (LSpan‘∅)

Proof of Theorem 00lsp
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5309 . . 3 ∅ ∈ V
2 base0 17190 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
3 00lss 20830 . . . 4 ∅ = (LSubSp‘∅)
4 eqid 2727 . . . 4 (LSpan‘∅) = (LSpan‘∅)
52, 3, 4lspfval 20862 . . 3 (∅ ∈ V → (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}))
61, 5ax-mp 5 . 2 (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏})
7 eqid 2727 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏})
87dmmpt 6247 . . . 4 dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V}
9 rab0 4384 . . . . . . . . 9 {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} = ∅
109inteqi 4955 . . . . . . . 8 {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} =
11 int0 4967 . . . . . . . 8 ∅ = V
1210, 11eqtri 2755 . . . . . . 7 {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} = V
13 vprc 5317 . . . . . . 7 ¬ V ∈ V
1412, 13eqneltri 2847 . . . . . 6 ¬ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V
1514rgenw 3061 . . . . 5 𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V
16 rabeq0 4386 . . . . 5 ({𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V)
1715, 16mpbir 230 . . . 4 {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏} ∈ V} = ∅
188, 17eqtri 2755 . . 3 dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅
19 mptrel 5829 . . . 4 Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏})
20 reldm0 5932 . . . 4 (Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) → ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅))
2119, 20ax-mp 5 . . 3 ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅)
2218, 21mpbir 230 . 2 (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎𝑏}) = ∅
236, 22eqtr2i 2756 1 ∅ = (LSpan‘∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3057  {crab 3428  Vcvv 3471  wss 3947  c0 4324  𝒫 cpw 4604   cint 4951  cmpt 5233  dom cdm 5680  Rel wrel 5685  cfv 6551  LSpanclspn 20860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-1cn 11202  ax-addcl 11204
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-nn 12249  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-lss 20821  df-lsp 20861
This theorem is referenced by:  rspval  21112
  Copyright terms: Public domain W3C validator