Theorem 00lsp 20932

Description: fvco4i 6935 lemma for linear spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
00lsp	⊢ ∅ = (LSpan‘∅)

Proof of Theorem 00lsp

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5252	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		base0 17141	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
3		00lss 20892	. . . 4 ⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LSpan‘∅) = (LSpan‘∅)
5	2, 3, 4	lspfval 20924	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏})
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏})
8	7	dmmpt 6198	. . . 4 ⊢ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V}
9		rab0 4338	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} = ∅
10	9	inteqi 4906	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} = ∩ ∅
11		int0 4917	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ ∅ = V
12	10, 11	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} = V
13		vprc 5260	. . . . . . 7 ⊢ ¬ V ∈ V
14	12, 13	eqneltri 2855	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V
15	14	rgenw 3055	. . . . 5 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V
16		rabeq0 4340	. . . . 5 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V)
17	15, 16	mpbir 231	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V} = ∅
18	8, 17	eqtri 2759	. . 3 ⊢ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅
19		mptrel 5774	. . . 4 ⊢ Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏})
20		reldm0 5877	. . . 4 ⊢ (Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) → ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅))
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅)
22	18, 21	mpbir 231	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅
23	6, 22	eqtr2i 2760	1 ⊢ ∅ = (LSpan‘∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  {crab 3399  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  ∩ cint 4902   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624  Rel wrel 5629  ‘cfv 6492  LSpanclspn 20922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-1cn 11084  ax-addcl 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-lss 20883  df-lsp 20923

This theorem is referenced by:  rspval  21166