Theorem 00lsp 20824

Description: fvco4i 6983 lemma for linear spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
00lsp	⊢ ∅ = (LSpan‘∅)

Proof of Theorem 00lsp

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5298	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		base0 17154	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
3		00lss 20784	. . . 4 ⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)
4		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (LSpan‘∅) = (LSpan‘∅)
5	2, 3, 4	lspfval 20816	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (LSpan‘∅) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏})
7		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏})
8	7	dmmpt 6230	. . . 4 ⊢ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V}
9		rab0 4375	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} = ∅
10	9	inteqi 4945	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} = ∩ ∅
11		int0 4957	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ ∅ = V
12	10, 11	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} = V
13		vprc 5306	. . . . . . 7 ⊢ ¬ V ∈ V
14	12, 13	eqneltri 2844	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V
15	14	rgenw 3057	. . . . 5 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V
16		rabeq0 4377	. . . . 5 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ¬ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V)
17	15, 16	mpbir 230	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏} ∈ V} = ∅
18	8, 17	eqtri 2752	. . 3 ⊢ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅
19		mptrel 5816	. . . 4 ⊢ Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏})
20		reldm0 5918	. . . 4 ⊢ (Rel (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) → ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅))
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅ ↔ dom (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅)
22	18, 21	mpbir 230	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∅ ↦ ∩ {𝑏 ∈ ∅ ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}) = ∅
23	6, 22	eqtr2i 2753	1 ⊢ ∅ = (LSpan‘∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315  𝒫 cpw 4595  ∩ cint 4941   ↦ cmpt 5222  dom cdm 5667  Rel wrel 5672  ‘cfv 6534  LSpanclspn 20814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-1cn 11165  ax-addcl 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12212  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-lss 20775  df-lsp 20815

This theorem is referenced by:  rspval  21066