Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsinexplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsinexplem1 43495
Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexplem1.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
itgsinexplem1.2 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
itgsinexplem1.3 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
itgsinexplem1.4 𝐼 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
itgsinexplem1.5 𝐿 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)))
itgsinexplem1.6 𝑀 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
itgsinexplem1.7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
itgsinexplem1 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem itgsinexplem1
StepHypRef Expression
1 0m0e0 12093 . . . . 5 (0 − 0) = 0
21oveq1i 7285 . . . 4 ((0 − 0) − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥) = (0 − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥)
3 0re 10977 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 pire 25615 . . . . . 6 π ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → π ∈ ℝ)
7 pipos 25617 . . . . . . 7 0 < π
83, 5, 7ltleii 11098 . . . . . 6 0 ≤ π
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ π)
103, 5pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ)
11 iccssre 13161 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℝ
13 ax-resscn 10928 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
1412, 13sstri 3930 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℂ
1514sseli 3917 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℂ)
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1715sincld 15839 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
1817adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
19 itgsinexplem1.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2019nnnn0d 12293 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2218, 21expcld 13864 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
23 itgsinexplem1.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2423fvmpt2 6886 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2516, 22, 24syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝐹𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2625eqcomd 2744 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (𝐹𝑥))
2726mpteq2dva 5174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐹𝑥)))
28 nfmpt1 5182 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2923, 28nfcxfr 2905 . . . . . . 7 𝑥𝐹
30 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑥sin
31 sincn 25603 . . . . . . . . . 10 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3330, 32, 20expcnfg 43132 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3423, 33eqeltrid 2843 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3514a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
3629, 34, 35cncfmptss 43128 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
3727, 36eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
3815coscld 15840 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3938negcld 11319 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
40 itgsinexplem1.2 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
4140fvmpt2 6886 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -(cos‘𝑥) ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = -(cos‘𝑥))
4215, 39, 41syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (𝐺𝑥) = -(cos‘𝑥))
4342eqcomd 2744 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) = (𝐺𝑥))
4443adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → -(cos‘𝑥) = (𝐺𝑥))
4544mpteq2dva 5174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐺𝑥)))
46 nfmpt1 5182 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
4740, 46nfcxfr 2905 . . . . . . 7 𝑥𝐺
48 coscn 25604 . . . . . . . . 9 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5040negfcncf 24086 . . . . . . . 8 (cos ∈ (ℂ–cn→ℂ) → 𝐺 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5247, 51, 35cncfmptss 43128 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
5345, 52eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
54 itgsinexplem1.3 . . . . . 6 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
55 ssidd 3944 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
5619nncnd 11989 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5755, 56, 55constcncfg 43413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑁) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
58 nnm1nn0 12274 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
5919, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
6030, 32, 59expcnfg 43132 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6157, 60mulcncf 24610 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
62 cosf 15834 . . . . . . . . . . 11 cos:ℂ⟶ℂ
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → cos:ℂ⟶ℂ)
6463feqmptd 6837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
6564, 48eqeltrrdi 2848 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6661, 65mulcncf 24610 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6754, 66eqeltrid 2843 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
68 ioosscn 13141 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ ℂ
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ ℂ)
7056adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
7168sseli 3917 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
7271sincld 15839 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7372adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7459adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7573, 74expcld 13864 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
7670, 75mulcld 10995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
7771coscld 15840 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
7877adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
7976, 78mulcld 10995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
8054, 67, 69, 55, 79cncfmptssg 43412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
8130, 32, 69cncfmptss 43128 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
82 ioossicc 13165 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
8382a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
84 ioombl 24729 . . . . . . 7 (0(,)π) ∈ dom vol
8584a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
8622, 18mulcld 10995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) ∈ ℂ)
87 itgsinexplem1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
8887fvmpt2 6886 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) ∈ ℂ) → (𝐼𝑥) = (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
8916, 86, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝐼𝑥) = (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
9089eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) = (𝐼𝑥))
9190mpteq2dva 5174 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐼𝑥)))
92 nfmpt1 5182 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
9387, 92nfcxfr 2905 . . . . . . . . 9 𝑥𝐼
94 sinf 15833 . . . . . . . . . . . . . 14 sin:ℂ⟶ℂ
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → sin:ℂ⟶ℂ)
9695feqmptd 6837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
9796, 31eqeltrrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9833, 97mulcncf 24610 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9987, 98eqeltrid 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10093, 99, 35cncfmptss 43128 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐼𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
10191, 100eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
102 cniccibl 25005 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
1034, 6, 101, 102syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
10483, 85, 86, 103iblss 24969 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
10556adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10659adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
10718, 106expcld 13864 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
108105, 107mulcld 10995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
10938adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
110108, 109mulcld 10995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
11139adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
112110, 111mulcld 10995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
113 itgsinexplem1.5 . . . . . . . 8 𝐿 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)))
114 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
115114negfcncf 24086 . . . . . . . . . . 11 (cos ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11649, 115syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11766, 116mulcncf 24610 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
118113, 117eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
119113, 118, 35, 55, 112cncfmptssg 43412 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
120 cniccibl 25005 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
1214, 6, 119, 120syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
12283, 85, 112, 121iblss 24969 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
123 reelprrecn 10963 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124123a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
125 recn 10961 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
126125sincld 15839 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
127126adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
12820adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
129127, 128expcld 13864 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
13056adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
13159adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
132127, 131expcld 13864 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
133130, 132mulcld 10995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
134125coscld 15840 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
135134adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
136133, 135mulcld 10995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
137 sincl 15835 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
138137adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
13920adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
140138, 139expcld 13864 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
141140, 23fmptd 6988 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
142125adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
143 elex 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V)
144136, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V)
145 rabid 3310 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V))
146142, 144, 145sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V})
14754dmmpt 6143 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝐻 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V}
148146, 147eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ dom 𝐻)
149148ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ dom 𝐻))
150149alrimiv 1930 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ dom 𝐻))
151 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑥
152 nfmpt1 5182 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
15354, 152nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐻
154153nfdm 5860 . . . . . . . . . . 11 𝑥dom 𝐻
155151, 154dfss2f 3911 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ dom 𝐻 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ dom 𝐻))
156150, 155sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ dom 𝐻)
15719dvsinexp 43452 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
15823oveq2i 7286 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
159157, 158, 543eqtr4g 2803 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = 𝐻)
160159dmeqd 5814 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = dom 𝐻)
161156, 160sseqtrrd 3962 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
162 dvres3 25077 . . . . . . . 8 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
163124, 141, 55, 161, 162syl22anc 836 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
16423reseq1i 5887 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ↾ ℝ)
165 resmpt 5945 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
16613, 165ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
167164, 166eqtri 2766 . . . . . . . . 9 (𝐹 ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
168167oveq2i 7286 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
169168a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))))
170159reseq1d 5890 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) = (𝐻 ↾ ℝ))
17154reseq1i 5887 . . . . . . . . 9 (𝐻 ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ↾ ℝ)
172 resmpt 5945 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
17313, 172ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
174171, 173eqtri 2766 . . . . . . . 8 (𝐻 ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
175170, 174eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
176163, 169, 1753eqtr3d 2786 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
17712a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℝ)
178 eqid 2738 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
179178tgioo2 23966 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
18010a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ))
181 iccntr 23984 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
182180, 181syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
183124, 129, 136, 176, 177, 179, 178, 182dvmptres2 25126 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
184134negcld 11319 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
185184adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
186126negcld 11319 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
187186adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
188 dvcosre 43453 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
189188a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
190124, 135, 187, 189dvmptneg 25130 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)))
191126negnegd 11323 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
192191adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
193192mpteq2dva 5174 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥)))
194190, 193eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥)))
195124, 185, 127, 194, 177, 179, 178, 182dvmptres2 25126 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)))
196 fveq2 6774 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (sin‘𝑥) = (sin‘0))
197 sin0 15858 . . . . . . . . . . 11 (sin‘0) = 0
198196, 197eqtrdi 2794 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (sin‘𝑥) = 0)
199198oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
200199adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 0) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
20119adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
2022010expd 13857 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 0) → (0↑𝑁) = 0)
203200, 202eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 0) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = 0)
204203oveq1d 7290 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 0) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = (0 · -(cos‘𝑥)))
205 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
206 0cn 10967 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
207205, 206eqeltrdi 2847 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
208 coscl 15836 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
209208negcld 11319 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
210207, 209syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
211210adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 0) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
212211mul02d 11173 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 0) → (0 · -(cos‘𝑥)) = 0)
213204, 212eqtrd 2778 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 0) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = 0)
214 fveq2 6774 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = π → (sin‘𝑥) = (sin‘π))
215 sinpi 25614 . . . . . . . . . . 11 (sin‘π) = 0
216214, 215eqtrdi 2794 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = π → (sin‘𝑥) = 0)
217216oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝑥 = π → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
218217adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = π) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
21919adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = π) → 𝑁 ∈ ℕ)
2202190expd 13857 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = π) → (0↑𝑁) = 0)
221218, 220eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = π) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = 0)
222221oveq1d 7290 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = π) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = (0 · -(cos‘𝑥)))
223 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = π → 𝑥 = π)
224 picn 25616 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
225223, 224eqeltrdi 2847 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = π → 𝑥 ∈ ℂ)
226225coscld 15840 . . . . . . . . 9 (𝑥 = π → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
227226negcld 11319 . . . . . . . 8 (𝑥 = π → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
228227adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = π) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
229228mul02d 11173 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = π) → (0 · -(cos‘𝑥)) = 0)
230222, 229eqtrd 2778 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = π) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = 0)
2314, 6, 9, 37, 53, 80, 81, 104, 122, 183, 195, 213, 230itgparts 25211 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥))
232 df-neg 11208 . . . . 5 -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = (0 − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥)
233232a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = (0 − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥))
2342, 231, 2333eqtr4a 2804 . . 3 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥)
23576, 78, 78mulassd 10998 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)) = ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
236 sqval 13835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
237236eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . 13 ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
23877, 237syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
239238adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
240239oveq2d 7291 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥)↑2)))
24177sqcld 13862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
242241adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
24370, 75, 242mulassd 10998 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥)↑2)) = (𝑁 · (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2))))
244240, 243eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = (𝑁 · (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2))))
24575, 242mulcomd 10996 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2)) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
246245oveq2d 7291 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2))) = (𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
247235, 244, 2463eqtrd 2782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)) = (𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
248247negeqd 11215 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → -(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)) = -(𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
24979, 78mulneg2d 11429 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) = -(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)))
250242, 75mulcld 10995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25170, 250mulneg1d 11428 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) = -(𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
252248, 249, 2513eqtr4d 2788 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) = (-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
253252itgeq2dv 24946 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)(-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) d𝑥)
25456negcld 11319 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℂ)
25538sqcld 13862 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
256255adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
257256, 107mulcld 10995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
258 itgsinexplem1.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
259258fvmpt2 6886 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ) → (𝑀𝑥) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
26016, 257, 259syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑀𝑥) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
261260eqcomd 2744 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑀𝑥))
262261mpteq2dva 5174 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑀𝑥)))
263 nfmpt1 5182 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
264258, 263nfcxfr 2905 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑀
265 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥cos
266 2nn0 12250 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
267266a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
268265, 49, 267expcnfg 43132 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((cos‘𝑥)↑2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
269268, 60mulcncf 24610 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
270258, 269eqeltrid 2843 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
271264, 270, 35cncfmptss 43128 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑀𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
272262, 271eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
273 cniccibl 25005 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ 𝐿1)
2744, 6, 272, 273syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ 𝐿1)
27583, 85, 257, 274iblss 24969 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ 𝐿1)
276254, 250, 275itgmulc2 24998 . . . . 5 (𝜑 → (-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = ∫(0(,)π)(-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) d𝑥)
277253, 276eqtr4d 2781 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = (-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
278277negeqd 11215 . . 3 (𝜑 → -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = -(-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
279234, 278eqtrd 2778 . 2 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = -(-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
280250, 275itgcl 24948 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 ∈ ℂ)
28156, 280mulneg1d 11428 . . 3 (𝜑 → (-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = -(𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
282281negeqd 11215 . 2 (𝜑 → -(-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = --(𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
28356, 280mulcld 10995 . . 3 (𝜑 → (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) ∈ ℂ)
284283negnegd 11323 . 2 (𝜑 → --(𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
285279, 282, 2843eqtrd 2782 1 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wal 1537   = wceq 1539  wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432  wss 3887  {cpr 4563   class class class wbr 5074  cmpt 5157  dom cdm 5589  ran crn 5590  cres 5591  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  cle 11010  cmin 11205  -cneg 11206  cn 11973  2c2 12028  0cn0 12233  (,)cioo 13079  [,]cicc 13082  cexp 13782  sincsin 15773  cosccos 15774  πcpi 15776  TopOpenctopn 17132  topGenctg 17148  fldccnfld 20597  intcnt 22168  cnccncf 24039  volcvol 24627  𝐿1cibl 24781  citg 24782   D cdv 25027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-symdif 4176  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-itg1 24784  df-itg2 24785  df-ibl 24786  df-itg 24787  df-0p 24834  df-limc 25030  df-dv 25031
This theorem is referenced by:  itgsinexp  43496
  Copyright terms: Public domain W3C validator