Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsinexplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsinexplem1 42387
Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexplem1.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
itgsinexplem1.2 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
itgsinexplem1.3 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
itgsinexplem1.4 𝐼 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
itgsinexplem1.5 𝐿 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)))
itgsinexplem1.6 𝑀 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
itgsinexplem1.7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
itgsinexplem1 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem itgsinexplem1
StepHypRef Expression
1 0m0e0 11736 . . . . 5 (0 − 0) = 0
21oveq1i 7143 . . . 4 ((0 − 0) − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥) = (0 − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥)
3 0re 10621 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 pire 25030 . . . . . 6 π ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → π ∈ ℝ)
7 pipos 25032 . . . . . . 7 0 < π
83, 5, 7ltleii 10741 . . . . . 6 0 ≤ π
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ π)
103, 5pm3.2i 473 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ)
11 iccssre 12798 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℝ
13 ax-resscn 10572 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
1412, 13sstri 3955 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℂ
1514sseli 3942 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℂ)
1615adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1715sincld 15463 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
1817adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
19 itgsinexplem1.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2019nnnn0d 11934 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2120adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2218, 21expcld 13495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
23 itgsinexplem1.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2423fvmpt2 6755 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2516, 22, 24syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝐹𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2625eqcomd 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (𝐹𝑥))
2726mpteq2dva 5137 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐹𝑥)))
28 nfmpt1 5140 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2923, 28nfcxfr 2971 . . . . . . 7 𝑥𝐹
30 nfcv 2973 . . . . . . . . 9 𝑥sin
31 sincn 25018 . . . . . . . . . 10 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3330, 32, 20expcnfg 42024 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3423, 33eqeltrid 2915 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3514a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
3629, 34, 35cncfmptss 42020 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
3727, 36eqeltrd 2911 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
3815coscld 15464 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3938negcld 10962 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
40 itgsinexplem1.2 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
4140fvmpt2 6755 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -(cos‘𝑥) ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = -(cos‘𝑥))
4215, 39, 41syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (𝐺𝑥) = -(cos‘𝑥))
4342eqcomd 2826 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) = (𝐺𝑥))
4443adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → -(cos‘𝑥) = (𝐺𝑥))
4544mpteq2dva 5137 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐺𝑥)))
46 nfmpt1 5140 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
4740, 46nfcxfr 2971 . . . . . . 7 𝑥𝐺
48 coscn 25019 . . . . . . . . 9 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5040negfcncf 23507 . . . . . . . 8 (cos ∈ (ℂ–cn→ℂ) → 𝐺 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5247, 51, 35cncfmptss 42020 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
5345, 52eqeltrd 2911 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
54 itgsinexplem1.3 . . . . . 6 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
55 ssidd 3969 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
5619nncnd 11632 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5755, 56, 55constcncfg 42305 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑁) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
58 nnm1nn0 11917 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
5919, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
6030, 32, 59expcnfg 42024 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6157, 60mulcncf 24029 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
62 cosf 15458 . . . . . . . . . . 11 cos:ℂ⟶ℂ
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → cos:ℂ⟶ℂ)
6463feqmptd 6709 . . . . . . . . 9 (𝜑 → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
6564, 48eqeltrrdi 2920 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6661, 65mulcncf 24029 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6754, 66eqeltrid 2915 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
68 ioosscn 12778 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ ℂ
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ ℂ)
7056adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
7168sseli 3942 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
7271sincld 15463 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7372adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7459adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7573, 74expcld 13495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
7670, 75mulcld 10639 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
7771coscld 15464 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
7877adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
7976, 78mulcld 10639 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
8054, 67, 69, 55, 79cncfmptssg 42304 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
8130, 32, 69cncfmptss 42020 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
82 ioossicc 12802 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
8382a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
84 ioombl 24148 . . . . . . 7 (0(,)π) ∈ dom vol
8584a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
8622, 18mulcld 10639 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) ∈ ℂ)
87 itgsinexplem1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
8887fvmpt2 6755 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) ∈ ℂ) → (𝐼𝑥) = (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
8916, 86, 88syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝐼𝑥) = (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
9089eqcomd 2826 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) = (𝐼𝑥))
9190mpteq2dva 5137 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐼𝑥)))
92 nfmpt1 5140 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
9387, 92nfcxfr 2971 . . . . . . . . 9 𝑥𝐼
94 sinf 15457 . . . . . . . . . . . . . 14 sin:ℂ⟶ℂ
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → sin:ℂ⟶ℂ)
9695feqmptd 6709 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
9796, 31eqeltrrdi 2920 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9833, 97mulcncf 24029 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9987, 98eqeltrid 2915 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10093, 99, 35cncfmptss 42020 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐼𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
10191, 100eqeltrd 2911 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
102 cniccibl 24423 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
1034, 6, 101, 102syl3anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
10483, 85, 86, 103iblss 24387 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
10556adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10659adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
10718, 106expcld 13495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
108105, 107mulcld 10639 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
10938adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
110108, 109mulcld 10639 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
11139adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
112110, 111mulcld 10639 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
113 itgsinexplem1.5 . . . . . . . 8 𝐿 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)))
114 eqid 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
115114negfcncf 23507 . . . . . . . . . . 11 (cos ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11649, 115syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11766, 116mulcncf 24029 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
118113, 117eqeltrid 2915 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
119113, 118, 35, 55, 112cncfmptssg 42304 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
120 cniccibl 24423 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
1214, 6, 119, 120syl3anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
12283, 85, 112, 121iblss 24387 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
123 reelprrecn 10607 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124123a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
125 recn 10605 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
126125sincld 15463 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
127126adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
12820adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
129127, 128expcld 13495 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
13056adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
13159adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
132127, 131expcld 13495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
133130, 132mulcld 10639 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
134125coscld 15464 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
135134adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
136133, 135mulcld 10639 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
137 sincl 15459 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
138137adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
13920adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
140138, 139expcld 13495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
141140, 23fmptd 6854 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
142125adantl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
143 elex 3491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V)
144136, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V)
145 rabid 3365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V))
146142, 144, 145sylanbrc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V})
14754dmmpt 6070 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝐻 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V}
148146, 147eleqtrrdi 2922 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ dom 𝐻)
149148ex 415 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ dom 𝐻))
150149alrimiv 1928 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ dom 𝐻))
151 nfcv 2973 . . . . . . . . . . 11 𝑥
152 nfmpt1 5140 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
15354, 152nfcxfr 2971 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐻
154153nfdm 5799 . . . . . . . . . . 11 𝑥dom 𝐻
155151, 154dfss2f 3937 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ dom 𝐻 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ dom 𝐻))
156150, 155sylibr 236 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ dom 𝐻)
15719dvsinexp 42344 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
15823oveq2i 7144 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
159157, 158, 543eqtr4g 2880 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = 𝐻)
160159dmeqd 5750 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = dom 𝐻)
161156, 160sseqtrrd 3987 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
162 dvres3 24495 . . . . . . . 8 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
163124, 141, 55, 161, 162syl22anc 836 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
16423reseq1i 5825 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ↾ ℝ)
165 resmpt 5881 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
16613, 165ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
167164, 166eqtri 2843 . . . . . . . . 9 (𝐹 ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
168167oveq2i 7144 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
169168a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))))
170159reseq1d 5828 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) = (𝐻 ↾ ℝ))
17154reseq1i 5825 . . . . . . . . 9 (𝐻 ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ↾ ℝ)
172 resmpt 5881 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
17313, 172ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
174171, 173eqtri 2843 . . . . . . . 8 (𝐻 ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
175170, 174syl6eq 2871 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
176163, 169, 1753eqtr3d 2863 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
17712a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℝ)
178 eqid 2820 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
179178tgioo2 23387 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
18010a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ))
181 iccntr 23405 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
182180, 181syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
183124, 129, 136, 176, 177, 179, 178, 182dvmptres2 24544 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
184134negcld 10962 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
185184adantl 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
186126negcld 10962 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
187186adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
188 dvcosre 42345 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
189188a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
190124, 135, 187, 189dvmptneg 24548 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)))
191126negnegd 10966 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
192191adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
193192mpteq2dva 5137 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥)))
194190, 193eqtrd 2855 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥)))
195124, 185, 127, 194, 177, 179, 178, 182dvmptres2 24544 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)))
196 fveq2 6646 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (sin‘𝑥) = (sin‘0))
197 sin0 15482 . . . . . . . . . . 11 (sin‘0) = 0
198196, 197syl6eq 2871 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (sin‘𝑥) = 0)
199198oveq1d 7148 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
200199adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 0) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
20119adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
2022010expd 13488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 0) → (0↑𝑁) = 0)
203200, 202eqtrd 2855 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 0) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = 0)
204203oveq1d 7148 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 0) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = (0 · -(cos‘𝑥)))
205 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
206 0cn 10611 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
207205, 206eqeltrdi 2919 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
208 coscl 15460 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
209208negcld 10962 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
210207, 209syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
211210adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 0) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
212211mul02d 10816 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 0) → (0 · -(cos‘𝑥)) = 0)
213204, 212eqtrd 2855 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 0) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = 0)
214 fveq2 6646 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = π → (sin‘𝑥) = (sin‘π))
215 sinpi 25029 . . . . . . . . . . 11 (sin‘π) = 0
216214, 215syl6eq 2871 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = π → (sin‘𝑥) = 0)
217216oveq1d 7148 . . . . . . . . 9 (𝑥 = π → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
218217adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = π) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
21919adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = π) → 𝑁 ∈ ℕ)
2202190expd 13488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = π) → (0↑𝑁) = 0)
221218, 220eqtrd 2855 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = π) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = 0)
222221oveq1d 7148 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = π) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = (0 · -(cos‘𝑥)))
223 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = π → 𝑥 = π)
224 picn 25031 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
225223, 224eqeltrdi 2919 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = π → 𝑥 ∈ ℂ)
226225coscld 15464 . . . . . . . . 9 (𝑥 = π → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
227226negcld 10962 . . . . . . . 8 (𝑥 = π → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
228227adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = π) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
229228mul02d 10816 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = π) → (0 · -(cos‘𝑥)) = 0)
230222, 229eqtrd 2855 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = π) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = 0)
2314, 6, 9, 37, 53, 80, 81, 104, 122, 183, 195, 213, 230itgparts 24629 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥))
232 df-neg 10851 . . . . 5 -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = (0 − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥)
233232a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = (0 − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥))
2342, 231, 2333eqtr4a 2881 . . 3 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥)
23576, 78, 78mulassd 10642 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)) = ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
236 sqval 13466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
237236eqcomd 2826 . . . . . . . . . . . . 13 ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
23877, 237syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
239238adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
240239oveq2d 7149 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥)↑2)))
24177sqcld 13493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
242241adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
24370, 75, 242mulassd 10642 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥)↑2)) = (𝑁 · (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2))))
244240, 243eqtrd 2855 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = (𝑁 · (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2))))
24575, 242mulcomd 10640 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2)) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
246245oveq2d 7149 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2))) = (𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
247235, 244, 2463eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)) = (𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
248247negeqd 10858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → -(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)) = -(𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
24979, 78mulneg2d 11072 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) = -(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)))
250242, 75mulcld 10639 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25170, 250mulneg1d 11071 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) = -(𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
252248, 249, 2513eqtr4d 2865 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) = (-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
253252itgeq2dv 24364 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)(-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) d𝑥)
25456negcld 10962 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℂ)
25538sqcld 13493 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
256255adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
257256, 107mulcld 10639 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
258 itgsinexplem1.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
259258fvmpt2 6755 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ) → (𝑀𝑥) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
26016, 257, 259syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑀𝑥) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
261260eqcomd 2826 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑀𝑥))
262261mpteq2dva 5137 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑀𝑥)))
263 nfmpt1 5140 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
264258, 263nfcxfr 2971 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑀
265 nfcv 2973 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥cos
266 2nn0 11893 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
267266a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
268265, 49, 267expcnfg 42024 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((cos‘𝑥)↑2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
269268, 60mulcncf 24029 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
270258, 269eqeltrid 2915 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
271264, 270, 35cncfmptss 42020 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑀𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
272262, 271eqeltrd 2911 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
273 cniccibl 24423 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ 𝐿1)
2744, 6, 272, 273syl3anc 1367 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ 𝐿1)
27583, 85, 257, 274iblss 24387 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ 𝐿1)
276254, 250, 275itgmulc2 24416 . . . . 5 (𝜑 → (-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = ∫(0(,)π)(-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) d𝑥)
277253, 276eqtr4d 2858 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = (-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
278277negeqd 10858 . . 3 (𝜑 → -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = -(-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
279234, 278eqtrd 2855 . 2 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = -(-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
280250, 275itgcl 24366 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 ∈ ℂ)
28156, 280mulneg1d 11071 . . 3 (𝜑 → (-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = -(𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
282281negeqd 10858 . 2 (𝜑 → -(-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = --(𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
28356, 280mulcld 10639 . . 3 (𝜑 → (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) ∈ ℂ)
284283negnegd 10966 . 2 (𝜑 → --(𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
285279, 282, 2843eqtrd 2859 1 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2114  {crab 3129  Vcvv 3473  wss 3913  {cpr 4545   class class class wbr 5042  cmpt 5122  dom cdm 5531  ran crn 5532  cres 5533  wf 6327  cfv 6331  (class class class)co 7133  cc 10513  cr 10514  0cc0 10515  1c1 10516   · cmul 10520  cle 10654  cmin 10848  -cneg 10849  cn 11616  2c2 11671  0cn0 11876  (,)cioo 12717  [,]cicc 12720  cexp 13414  sincsin 15397  cosccos 15398  πcpi 15400  TopOpenctopn 16674  topGenctg 16690  fldccnfld 20521  intcnt 21601  cnccncf 23460  volcvol 24046  𝐿1cibl 24200  citg 24201   D cdv 24445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cc 9835  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-symdif 4197  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-ofr 7388  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-omul 8085  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-dju 9308  df-card 9346  df-acn 9349  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ioc 12722  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-fac 13619  df-bc 13648  df-hash 13676  df-shft 14406  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-limsup 14808  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-ef 15401  df-sin 15403  df-cos 15404  df-pi 15406  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-cmp 21971  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-ovol 24047  df-vol 24048  df-mbf 24202  df-itg1 24203  df-itg2 24204  df-ibl 24205  df-itg 24206  df-0p 24253  df-limc 24448  df-dv 24449
This theorem is referenced by:  itgsinexp  42388
  Copyright terms: Public domain W3C validator