Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsinexplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsinexplem1 41107
Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexplem1.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
itgsinexplem1.2 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
itgsinexplem1.3 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
itgsinexplem1.4 𝐼 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
itgsinexplem1.5 𝐿 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)))
itgsinexplem1.6 𝑀 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
itgsinexplem1.7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
itgsinexplem1 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem itgsinexplem1
StepHypRef Expression
1 0m0e0 11506 . . . . 5 (0 − 0) = 0
21oveq1i 6934 . . . 4 ((0 − 0) − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥) = (0 − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥)
3 0re 10380 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 pire 24652 . . . . . 6 π ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → π ∈ ℝ)
7 pipos 24654 . . . . . . 7 0 < π
83, 5, 7ltleii 10501 . . . . . 6 0 ≤ π
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ π)
103, 5pm3.2i 464 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ)
11 iccssre 12571 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℝ
13 ax-resscn 10331 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
1412, 13sstri 3830 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℂ
1514sseli 3817 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℂ)
1615adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1715sincld 15266 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
1817adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
19 itgsinexplem1.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2019nnnn0d 11706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2120adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2218, 21expcld 13331 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
23 itgsinexplem1.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2423fvmpt2 6554 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2516, 22, 24syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝐹𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2625eqcomd 2784 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (𝐹𝑥))
2726mpteq2dva 4981 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐹𝑥)))
28 nfmpt1 4984 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2923, 28nfcxfr 2932 . . . . . . 7 𝑥𝐹
30 nfcv 2934 . . . . . . . . 9 𝑥sin
31 sincn 24639 . . . . . . . . . 10 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3330, 32, 20expcnfg 40741 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3423, 33syl5eqel 2863 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3514a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
3629, 34, 35cncfmptss 40737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
3727, 36eqeltrd 2859 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
3815coscld 15267 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3938negcld 10723 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
40 itgsinexplem1.2 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
4140fvmpt2 6554 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -(cos‘𝑥) ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = -(cos‘𝑥))
4215, 39, 41syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (𝐺𝑥) = -(cos‘𝑥))
4342eqcomd 2784 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) = (𝐺𝑥))
4443adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → -(cos‘𝑥) = (𝐺𝑥))
4544mpteq2dva 4981 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐺𝑥)))
46 nfmpt1 4984 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
4740, 46nfcxfr 2932 . . . . . . 7 𝑥𝐺
48 coscn 24640 . . . . . . . . 9 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5040negfcncf 23134 . . . . . . . 8 (cos ∈ (ℂ–cn→ℂ) → 𝐺 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5247, 51, 35cncfmptss 40737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
5345, 52eqeltrd 2859 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
54 itgsinexplem1.3 . . . . . 6 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
55 ssidd 3843 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
5619nncnd 11396 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5755, 56, 55constcncfg 41022 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑁) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
58 nnm1nn0 11689 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
5919, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
6030, 32, 59expcnfg 40741 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6157, 60mulcncf 23654 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
62 cosf 15261 . . . . . . . . . . 11 cos:ℂ⟶ℂ
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → cos:ℂ⟶ℂ)
6463feqmptd 6511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
6564, 48syl6eqelr 2868 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6661, 65mulcncf 23654 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6754, 66syl5eqel 2863 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
68 ioosscn 40638 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ ℂ
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ ℂ)
7056adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
7168sseli 3817 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
7271sincld 15266 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7372adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7459adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7573, 74expcld 13331 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
7670, 75mulcld 10399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
7771coscld 15267 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
7877adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
7976, 78mulcld 10399 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
8054, 67, 69, 55, 79cncfmptssg 41021 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
8130, 32, 69cncfmptss 40737 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
82 ioossicc 12575 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
8382a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
84 ioombl 23773 . . . . . . 7 (0(,)π) ∈ dom vol
8584a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
8622, 18mulcld 10399 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) ∈ ℂ)
87 itgsinexplem1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
8887fvmpt2 6554 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) ∈ ℂ) → (𝐼𝑥) = (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
8916, 86, 88syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝐼𝑥) = (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
9089eqcomd 2784 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) = (𝐼𝑥))
9190mpteq2dva 4981 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐼𝑥)))
92 nfmpt1 4984 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
9387, 92nfcxfr 2932 . . . . . . . . 9 𝑥𝐼
94 sinf 15260 . . . . . . . . . . . . . 14 sin:ℂ⟶ℂ
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → sin:ℂ⟶ℂ)
9695feqmptd 6511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
9796, 31syl6eqelr 2868 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9833, 97mulcncf 23654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9987, 98syl5eqel 2863 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10093, 99, 35cncfmptss 40737 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐼𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
10191, 100eqeltrd 2859 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
102 cniccibl 24048 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
1034, 6, 101, 102syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
10483, 85, 86, 103iblss 24012 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
10556adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10659adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
10718, 106expcld 13331 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
108105, 107mulcld 10399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
10938adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
110108, 109mulcld 10399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
11139adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
112110, 111mulcld 10399 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
113 itgsinexplem1.5 . . . . . . . 8 𝐿 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)))
114 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
115114negfcncf 23134 . . . . . . . . . . 11 (cos ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11649, 115syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11766, 116mulcncf 23654 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
118113, 117syl5eqel 2863 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
119113, 118, 35, 55, 112cncfmptssg 41021 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
120 cniccibl 24048 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
1214, 6, 119, 120syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
12283, 85, 112, 121iblss 24012 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
123 reelprrecn 10366 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124123a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
125 recn 10364 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
126125sincld 15266 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
127126adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
12820adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
129127, 128expcld 13331 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
13056adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
13159adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
132127, 131expcld 13331 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
133130, 132mulcld 10399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
134125coscld 15267 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
135134adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
136133, 135mulcld 10399 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
137 sincl 15262 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
138137adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
13920adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
140138, 139expcld 13331 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
141140, 23fmptd 6650 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
142125adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
143 elex 3414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V)
144136, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V)
145 rabid 3302 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V))
146142, 144, 145sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V})
14754dmmpt 5886 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝐻 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V}
148146, 147syl6eleqr 2870 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ dom 𝐻)
149148ex 403 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ dom 𝐻))
150149alrimiv 1970 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ dom 𝐻))
151 nfcv 2934 . . . . . . . . . . 11 𝑥
152 nfmpt1 4984 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
15354, 152nfcxfr 2932 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐻
154153nfdm 5615 . . . . . . . . . . 11 𝑥dom 𝐻
155151, 154dfss2f 3812 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ dom 𝐻 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ dom 𝐻))
156150, 155sylibr 226 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ dom 𝐻)
15719dvsinexp 41063 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
15823oveq2i 6935 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
159157, 158, 543eqtr4g 2839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = 𝐻)
160159dmeqd 5573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = dom 𝐻)
161156, 160sseqtr4d 3861 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
162 dvres3 24118 . . . . . . . 8 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
163124, 141, 55, 161, 162syl22anc 829 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
16423reseq1i 5640 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ↾ ℝ)
165 resmpt 5701 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
16613, 165ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
167164, 166eqtri 2802 . . . . . . . . 9 (𝐹 ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
168167oveq2i 6935 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
169168a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))))
170159reseq1d 5643 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) = (𝐻 ↾ ℝ))
17154reseq1i 5640 . . . . . . . . 9 (𝐻 ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ↾ ℝ)
172 resmpt 5701 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
17313, 172ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
174171, 173eqtri 2802 . . . . . . . 8 (𝐻 ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
175170, 174syl6eq 2830 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
176163, 169, 1753eqtr3d 2822 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
17712a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℝ)
178 eqid 2778 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
179178tgioo2 23018 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
18010a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ))
181 iccntr 23036 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
182180, 181syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
183124, 129, 136, 176, 177, 179, 178, 182dvmptres2 24166 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
184134negcld 10723 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
185184adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
186126negcld 10723 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
187186adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
188 dvcosre 41064 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
189188a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
190124, 135, 187, 189dvmptneg 24170 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)))
191126negnegd 10727 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
192191adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
193192mpteq2dva 4981 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥)))
194190, 193eqtrd 2814 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥)))
195124, 185, 127, 194, 177, 179, 178, 182dvmptres2 24166 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)))
196 fveq2 6448 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (sin‘𝑥) = (sin‘0))
197 sin0 15285 . . . . . . . . . . 11 (sin‘0) = 0
198196, 197syl6eq 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (sin‘𝑥) = 0)
199198oveq1d 6939 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
200199adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 0) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
20119adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
2022010expd 13347 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 0) → (0↑𝑁) = 0)
203200, 202eqtrd 2814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 0) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = 0)
204203oveq1d 6939 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 0) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = (0 · -(cos‘𝑥)))
205 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
206 0cn 10370 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
207205, 206syl6eqel 2867 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
208 coscl 15263 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
209208negcld 10723 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
210207, 209syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
211210adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 0) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
212211mul02d 10576 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 0) → (0 · -(cos‘𝑥)) = 0)
213204, 212eqtrd 2814 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 0) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = 0)
214 fveq2 6448 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = π → (sin‘𝑥) = (sin‘π))
215 sinpi 24651 . . . . . . . . . . 11 (sin‘π) = 0
216214, 215syl6eq 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = π → (sin‘𝑥) = 0)
217216oveq1d 6939 . . . . . . . . 9 (𝑥 = π → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
218217adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = π) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
21919adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = π) → 𝑁 ∈ ℕ)
2202190expd 13347 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = π) → (0↑𝑁) = 0)
221218, 220eqtrd 2814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = π) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = 0)
222221oveq1d 6939 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = π) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = (0 · -(cos‘𝑥)))
223 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = π → 𝑥 = π)
224 picn 24653 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
225223, 224syl6eqel 2867 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = π → 𝑥 ∈ ℂ)
226225coscld 15267 . . . . . . . . 9 (𝑥 = π → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
227226negcld 10723 . . . . . . . 8 (𝑥 = π → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
228227adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = π) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
229228mul02d 10576 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = π) → (0 · -(cos‘𝑥)) = 0)
230222, 229eqtrd 2814 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = π) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = 0)
2314, 6, 9, 37, 53, 80, 81, 104, 122, 183, 195, 213, 230itgparts 24251 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥))
232 df-neg 10611 . . . . 5 -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = (0 − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥)
233232a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = (0 − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥))
2342, 231, 2333eqtr4a 2840 . . 3 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥)
23576, 78, 78mulassd 10402 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)) = ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
236 sqval 13244 . . . . . . . . . . . . . 14 ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
237236eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
23877, 237syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
239238adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
240239oveq2d 6940 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥)↑2)))
24177sqcld 13329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
242241adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
24370, 75, 242mulassd 10402 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥)↑2)) = (𝑁 · (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2))))
244240, 243eqtrd 2814 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = (𝑁 · (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2))))
24575, 242mulcomd 10400 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2)) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
246245oveq2d 6940 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2))) = (𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
247235, 244, 2463eqtrd 2818 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)) = (𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
248247negeqd 10618 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → -(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)) = -(𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
24979, 78mulneg2d 10831 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) = -(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)))
250242, 75mulcld 10399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25170, 250mulneg1d 10830 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) = -(𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
252248, 249, 2513eqtr4d 2824 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) = (-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
253252itgeq2dv 23989 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)(-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) d𝑥)
25456negcld 10723 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℂ)
25538sqcld 13329 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
256255adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
257256, 107mulcld 10399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
258 itgsinexplem1.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
259258fvmpt2 6554 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ) → (𝑀𝑥) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
26016, 257, 259syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑀𝑥) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
261260eqcomd 2784 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑀𝑥))
262261mpteq2dva 4981 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑀𝑥)))
263 nfmpt1 4984 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
264258, 263nfcxfr 2932 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑀
265 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥cos
266 2nn0 11665 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
267266a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
268265, 49, 267expcnfg 40741 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((cos‘𝑥)↑2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
269268, 60mulcncf 23654 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
270258, 269syl5eqel 2863 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
271264, 270, 35cncfmptss 40737 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑀𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
272262, 271eqeltrd 2859 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
273 cniccibl 24048 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ 𝐿1)
2744, 6, 272, 273syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ 𝐿1)
27583, 85, 257, 274iblss 24012 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ 𝐿1)
276254, 250, 275itgmulc2 24041 . . . . 5 (𝜑 → (-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = ∫(0(,)π)(-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) d𝑥)
277253, 276eqtr4d 2817 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = (-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
278277negeqd 10618 . . 3 (𝜑 → -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = -(-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
279234, 278eqtrd 2814 . 2 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = -(-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
280250, 275itgcl 23991 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 ∈ ℂ)
28156, 280mulneg1d 10830 . . 3 (𝜑 → (-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = -(𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
282281negeqd 10618 . 2 (𝜑 → -(-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = --(𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
28356, 280mulcld 10399 . . 3 (𝜑 → (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) ∈ ℂ)
284283negnegd 10727 . 2 (𝜑 → --(𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
285279, 282, 2843eqtrd 2818 1 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wal 1599   = wceq 1601  wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398  wss 3792  {cpr 4400   class class class wbr 4888  cmpt 4967  dom cdm 5357  ran crn 5358  cres 5359  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   · cmul 10279  cle 10414  cmin 10608  -cneg 10609  cn 11378  2c2 11434  0cn0 11646  (,)cioo 12491  [,]cicc 12494  cexp 13182  sincsin 15200  cosccos 15201  πcpi 15203  TopOpenctopn 16472  topGenctg 16488  fldccnfld 20146  intcnt 21233  cnccncf 23091  volcvol 23671  𝐿1cibl 23825  citg 23826   D cdv 24068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cc 9594  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-symdif 4067  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-disj 4857  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-acn 9103  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ioc 12496  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-mod 12992  df-seq 13124  df-exp 13183  df-fac 13383  df-bc 13412  df-hash 13440  df-shft 14218  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-limsup 14614  df-clim 14631  df-rlim 14632  df-sum 14829  df-ef 15204  df-sin 15206  df-cos 15207  df-pi 15209  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-lp 21352  df-perf 21353  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-haus 21531  df-cmp 21603  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-cncf 23093  df-ovol 23672  df-vol 23673  df-mbf 23827  df-itg1 23828  df-itg2 23829  df-ibl 23830  df-itg 23831  df-0p 23878  df-limc 24071  df-dv 24072
This theorem is referenced by:  itgsinexp  41108
  Copyright terms: Public domain W3C validator