MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrval 20082
Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
dvdsr.2 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
dvdsr.3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dvdsrval โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, โˆฅ   ๐‘ฅ,๐‘ง,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hint:   โˆฅ (๐‘ง)

Proof of Theorem dvdsrval
Dummy variable ๐‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.2 . . 3 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
2 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = (Baseโ€˜๐‘…))
3 dvdsr.1 . . . . . . . . 9 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
42, 3eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = ๐ต)
54eleq2d 2820 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
64rexeqdv 3313 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
75, 6anbi12d 632 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
8 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
9 dvdsr.3 . . . . . . . . . . 11 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
108, 9eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = ยท )
1110oveqd 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
1211eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
1312rexbidv 3172 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
1413anbi2d 630 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
157, 14bitrd 279 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
1615opabbidv 5175 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
17 df-dvdsr 20078 . . . 4 โˆฅr = (๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
183fvexi 6860 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
19 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
2019rexbii 3094 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
2120abbii 2803 . . . . . . 7 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ} = {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)}
2218abrexex 7899 . . . . . . 7 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)} โˆˆ V
2321, 22eqeltri 2830 . . . . . 6 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ} โˆˆ V
2423a1i 11 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ} โˆˆ V)
2518, 24opabex3 7904 . . . 4 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โˆˆ V
2616, 17, 25fvmpt 6952 . . 3 (๐‘… โˆˆ V โ†’ (โˆฅrโ€˜๐‘…) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
271, 26eqtrid 2785 . 2 (๐‘… โˆˆ V โ†’ โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
28 fvprc 6838 . . . 4 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ (โˆฅrโ€˜๐‘…) = โˆ…)
291, 28eqtrid 2785 . . 3 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ โˆฅ = โˆ…)
30 opabn0 5514 . . . . 5 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
31 n0i 4297 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต = โˆ…)
32 fvprc 6838 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ (Baseโ€˜๐‘…) = โˆ…)
333, 32eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ ๐ต = โˆ…)
3431, 33nsyl2 141 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3534adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3635exlimivv 1936 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3730, 36sylbi 216 . . . 4 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โ‰  โˆ… โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3837necon1bi 2969 . . 3 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = โˆ…)
3929, 38eqtr4d 2776 . 2 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
4027, 39pm2.61i 182 1 โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 397   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3447  โˆ…c0 4286  {copab 5171  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  โˆฅrcdsr 20075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364  df-dvdsr 20078
This theorem is referenced by:  dvdsr  20083  dvdsrpropd  20135  dvdsrzring  20905
  Copyright terms: Public domain W3C validator