MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrval 20263
Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
dvdsr.2 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
dvdsr.3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dvdsrval โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, โˆฅ   ๐‘ฅ,๐‘ง,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hint:   โˆฅ (๐‘ง)

Proof of Theorem dvdsrval
Dummy variable ๐‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.2 . . 3 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
2 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = (Baseโ€˜๐‘…))
3 dvdsr.1 . . . . . . . . 9 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
42, 3eqtr4di 2784 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = ๐ต)
54eleq2d 2813 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
64rexeqdv 3320 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
75, 6anbi12d 630 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
8 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
9 dvdsr.3 . . . . . . . . . . 11 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
108, 9eqtr4di 2784 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = ยท )
1110oveqd 7422 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
1211eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
1312rexbidv 3172 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
1413anbi2d 628 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
157, 14bitrd 279 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
1615opabbidv 5207 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
17 df-dvdsr 20259 . . . 4 โˆฅr = (๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
183fvexi 6899 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
19 eqcom 2733 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
2019rexbii 3088 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
2120abbii 2796 . . . . . . 7 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ} = {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)}
2218abrexex 7948 . . . . . . 7 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)} โˆˆ V
2321, 22eqeltri 2823 . . . . . 6 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ} โˆˆ V
2423a1i 11 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ} โˆˆ V)
2518, 24opabex3 7953 . . . 4 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โˆˆ V
2616, 17, 25fvmpt 6992 . . 3 (๐‘… โˆˆ V โ†’ (โˆฅrโ€˜๐‘…) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
271, 26eqtrid 2778 . 2 (๐‘… โˆˆ V โ†’ โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
28 fvprc 6877 . . . 4 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ (โˆฅrโ€˜๐‘…) = โˆ…)
291, 28eqtrid 2778 . . 3 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ โˆฅ = โˆ…)
30 opabn0 5546 . . . . 5 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
31 n0i 4328 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต = โˆ…)
32 fvprc 6877 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ (Baseโ€˜๐‘…) = โˆ…)
333, 32eqtrid 2778 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ ๐ต = โˆ…)
3431, 33nsyl2 141 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3534adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3635exlimivv 1927 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3730, 36sylbi 216 . . . 4 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โ‰  โˆ… โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3837necon1bi 2963 . . 3 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = โˆ…)
3929, 38eqtr4d 2769 . 2 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
4027, 39pm2.61i 182 1 โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 395   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  {cab 2703   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  Vcvv 3468  โˆ…c0 4317  {copab 5203  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  โˆฅrcdsr 20256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7408  df-dvdsr 20259
This theorem is referenced by:  dvdsr  20264  dvdsrpropd  20318  dvdsrzring  21348
  Copyright terms: Public domain W3C validator