MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrval 20174
Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
dvdsr.2 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
dvdsr.3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dvdsrval โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, โˆฅ   ๐‘ฅ,๐‘ง,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hint:   โˆฅ (๐‘ง)

Proof of Theorem dvdsrval
Dummy variable ๐‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.2 . . 3 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
2 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = (Baseโ€˜๐‘…))
3 dvdsr.1 . . . . . . . . 9 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
42, 3eqtr4di 2790 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = ๐ต)
54eleq2d 2819 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
64rexeqdv 3326 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
75, 6anbi12d 631 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
8 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
9 dvdsr.3 . . . . . . . . . . 11 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
108, 9eqtr4di 2790 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = ยท )
1110oveqd 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
1211eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
1312rexbidv 3178 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
1413anbi2d 629 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
157, 14bitrd 278 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
1615opabbidv 5214 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
17 df-dvdsr 20170 . . . 4 โˆฅr = (๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
183fvexi 6905 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
19 eqcom 2739 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
2019rexbii 3094 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ))
2120abbii 2802 . . . . . . 7 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ} = {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)}
2218abrexex 7948 . . . . . . 7 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ = (๐‘ง ยท ๐‘ฅ)} โˆˆ V
2321, 22eqeltri 2829 . . . . . 6 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ} โˆˆ V
2423a1i 11 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ} โˆˆ V)
2518, 24opabex3 7953 . . . 4 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โˆˆ V
2616, 17, 25fvmpt 6998 . . 3 (๐‘… โˆˆ V โ†’ (โˆฅrโ€˜๐‘…) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
271, 26eqtrid 2784 . 2 (๐‘… โˆˆ V โ†’ โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
28 fvprc 6883 . . . 4 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ (โˆฅrโ€˜๐‘…) = โˆ…)
291, 28eqtrid 2784 . . 3 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ โˆฅ = โˆ…)
30 opabn0 5553 . . . . 5 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
31 n0i 4333 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต = โˆ…)
32 fvprc 6883 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ (Baseโ€˜๐‘…) = โˆ…)
333, 32eqtrid 2784 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ ๐ต = โˆ…)
3431, 33nsyl2 141 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3534adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3635exlimivv 1935 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3730, 36sylbi 216 . . . 4 ({โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โ‰  โˆ… โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3837necon1bi 2969 . . 3 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = โˆ…)
3929, 38eqtr4d 2775 . 2 (ยฌ ๐‘… โˆˆ V โ†’ โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
4027, 39pm2.61i 182 1 โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 396   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3474  โˆ…c0 4322  {copab 5210  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  โˆฅrcdsr 20167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-dvdsr 20170
This theorem is referenced by:  dvdsr  20175  dvdsrpropd  20229  dvdsrzring  21030
  Copyright terms: Public domain W3C validator