MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrzring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrzring 20153
Description: Ring divisibility in the ring of integers corresponds to ordinary divisibility in . (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvdsrzring ∥ = (∥r‘ℤring)

Proof of Theorem dvdsrzring
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
21anim1i 609 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
3 simpl 475 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ ℤ)
4 zmulcl 11716 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ)
54ancoms 451 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ)
6 eleq1 2866 . . . . . . . 8 ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ ↔ 𝑦 ∈ ℤ))
75, 6syl5ibcom 237 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ℤ))
87rexlimdva 3212 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ℤ))
98imp 396 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
10 simpr 478 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)
113, 9, 10jca31 511 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
122, 11impbii 201 . . 3 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
1312opabbii 4910 . 2 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
14 df-dvds 15320 . 2 ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
15 zringbas 20146 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
16 eqid 2799 . . 3 (∥r‘ℤring) = (∥r‘ℤring)
17 zringmulr 20149 . . 3 · = (.r‘ℤring)
1815, 16, 17dvdsrval 18961 . 2 (∥r‘ℤring) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
1913, 14, 183eqtr4i 2831 1 ∥ = (∥r‘ℤring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3090  {copab 4905  cfv 6101  (class class class)co 6878   · cmul 10229  cz 11666  cdvds 15319  rcdsr 18954  ringzring 20140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-dvds 15320  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-dvdsr 18957  df-cnfld 20069  df-zring 20141
This theorem is referenced by:  zringlpir  20159  zndvds  20219
  Copyright terms: Public domain W3C validator