Theorem dvdsrzring 21441

Description: Ring divisibility in the ring of integers corresponds to ordinary divisibility in ℤ. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrzring	⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)

Proof of Theorem dvdsrzring

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
2	1	anim1i 616	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
3		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		zmulcl 12576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ)
5	4	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ)
6		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ ↔ 𝑦 ∈ ℤ))
7	5, 6	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℤ))
8	7	rexlimdva 3138	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℤ))
9	8	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)
11	3, 9, 10	jca31 514	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
12	2, 11	impbii 209	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
13	12	opabbii 5152	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
14		df-dvds 16222	. 2 ⊢ ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
15		zringbas 21433	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
16		eqid 2736	. . 3 ⊢ (∥r‘ℤring) = (∥r‘ℤring)
17		zringmulr 21437	. . 3 ⊢ · = (.r‘ℤring)
18	15, 16, 17	dvdsrval 20341	. 2 ⊢ (∥r‘ℤring) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
19	13, 14, 18	3eqtr4i 2769	1 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {copab 5147  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   · cmul 11043  ℤcz 12524   ∥ cdvds 16221  ∥_rcdsr 20334  ℤ_ringczring 21426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-dvds 16222  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-dvdsr 20337  df-cnfld 21353  df-zring 21427

This theorem is referenced by:  zringlpir  21447  zndvds  21529  aks6d1c6isolem3  42615