Theorem eceq1 8743

Description: Equality theorem for equivalence class. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
eceq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4604	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
2	1	imaeq2d 6067	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 “ {𝐴}) = (𝐶 “ {𝐵}))
3		df-ec 8705	. 2 ⊢ [𝐴]𝐶 = (𝐶 “ {𝐴})
4		df-ec 8705	. 2 ⊢ [𝐵]𝐶 = (𝐶 “ {𝐵})
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2826	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  {csn 4594   “ cima 5669  [cec 8701

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-cnv 5674  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ec 8705

This theorem is used by:  eceq1d  8744  ecelqs  8774  snecg  8784  snec  8785  qliftfun  8809  qliftfuns  8811  qliftval  8813  ecoptocl  8814  eroveu  8819  erov  8821  divsfval  17626  qusghm  19356  sylow1lem3  19701  efgi2  19826  frgpup3lem  19878  rngqiprngimfv  21475  rngqiprngimf1  21477  rngqiprngimfo  21478  pzriprnglem11  21678  znzrhval  21733  qustgpopn  24314  qustgplem  24315  elpi1i  25242  pi1xfrf  25249  pi1xfrval  25250  pi1xfrcnvlem  25252  pi1cof  25255  pi1coval  25256  vitalilem3  25806  tgjustr  28780  qusker  33700  qusvscpbl  33702  qusvsval  33703  algextdeg  34146  eceq1i  38974  disjressuc2  39101  ecqmap  39139  disjimeceqim2  39495  disjimeceqbi  39496  disjimeceqbi2  39497  disjimrmoeqec  39498  qmapeldisjsbi  39551  disjlem14  39591  prtlem9  39679  prtlem11  39681  aks6d1c6lem5  42985  aks5lem3a  42997