Theorem eceq1 8741

Description: Equality theorem for equivalence class. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
eceq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4594	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
2	1	imaeq2d 6054	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 “ {𝐴}) = (𝐶 “ {𝐵}))
3		df-ec 8703	. 2 ⊢ [𝐴]𝐶 = (𝐶 “ {𝐴})
4		df-ec 8703	. 2 ⊢ [𝐵]𝐶 = (𝐶 “ {𝐵})
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2821	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  {csn 4584   “ cima 5654  [cec 8699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ec 8703

This theorem is used by:  eceq1d  8742  ecelqs  8772  snecg  8782  snec  8783  qliftfun  8807  qliftfuns  8809  qliftval  8811  ecoptocl  8812  eroveu  8817  erov  8819  divsfval  17699  qusghm  19449  sylow1lem3  19794  efgi2  19919  frgpup3lem  19971  rngqiprngimfv  21574  rngqiprngimf1  21576  rngqiprngimfo  21577  pzriprnglem11  21777  znzrhval  21832  qustgpopn  24419  qustgplem  24420  elpi1i  25347  pi1xfrf  25354  pi1xfrval  25355  pi1xfrcnvlem  25357  pi1cof  25360  pi1coval  25361  vitalilem3  25911  tgjustr  28918  qusker  33892  qusvscpbl  33894  qusvsval  33895  algextdeg  34339  eceq1i  39184  disjressuc2  39311  ecqmap  39349  disjimeceqim2  39705  disjimeceqbi  39706  disjimeceqbi2  39707  disjimrmoeqec  39708  qmapeldisjsbi  39761  disjlem14  39801  prtlem9  39889  prtlem11  39891  aks6d1c6lem5  43195  aks5lem3a  43207