Theorem elpi1i 24986

Description: The elements of the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
elpi1i.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
elpi1i.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
elpi1i.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
elpi1i	⊢ (𝜑 → [𝐹]( ≃ph‘𝐽) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem elpi1i

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpi1i.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		elpi1i.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
3		elpi1i.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
4		eceq1 8763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [𝐹]( ≃ph‘𝐽))
5	4	eqcomd 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → [𝐹]( ≃ph‘𝐽) = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))
6	5	biantrud 531	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ↔ (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph‘𝐽) = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
7		fveq1 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
8	7	eqeq1d 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘0) = 𝑌 ↔ (𝐹‘0) = 𝑌))
9		fveq1 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘1) = (𝐹‘1))
10	9	eqeq1d 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘1) = 𝑌 ↔ (𝐹‘1) = 𝑌))
11	8, 10	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ↔ ((𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)))
12	6, 11	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph‘𝐽) = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ ((𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)))
13	12	rspcev 3609	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph‘𝐽) = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)))
14	1, 2, 3, 13	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph‘𝐽) = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)))
15		elpi1.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
16		elpi1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		elpi1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
18		elpi1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
19	15, 16, 17, 18	elpi1 24985	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝐹]( ≃ph‘𝐽) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph‘𝐽) = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
20	14, 19	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → [𝐹]( ≃ph‘𝐽) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  [cec 8723  0cc0 11139  1c1 11140  Basecbs 17180  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23141  IIcii 24808   ≃_phcphtpc 24908   π₁ cpi1 24943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-qus 17491  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-ii 24810  df-htpy 24909  df-phtpy 24910  df-phtpc 24931  df-om1 24946  df-pi1 24948

This theorem is referenced by:  pi1inv  24992  pi1xfrf  24993  pi1cof  24999  sconnpi1  34849