Theorem elpi1i 25379

Description: The elements of the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
elpi1i.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
elpi1i.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
elpi1i.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
elpi1i	⊢ (𝜑 → [𝐹]( ≃ph‘𝐽) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem elpi1i

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpi1i.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		elpi1i.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
3		elpi1i.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
4		eceq1 8768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [𝐹]( ≃ph‘𝐽))
5	4	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → [𝐹]( ≃ph‘𝐽) = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))
6	5	biantrud 541	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ↔ (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph‘𝐽) = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
7		fveq1 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
8	7	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘0) = 𝑌 ↔ (𝐹‘0) = 𝑌))
9		fveq1 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘1) = (𝐹‘1))
10	9	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘1) = 𝑌 ↔ (𝐹‘1) = 𝑌))
11	8, 10	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ↔ ((𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)))
12	6, 11	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph‘𝐽) = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ ((𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)))
13	12	rspcev 3579	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph‘𝐽) = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)))
14	1, 2, 3, 13	syl12anc 850	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph‘𝐽) = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)))
15		elpi1.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
16		elpi1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		elpi1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
18		elpi1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
19	15, 16, 17, 18	elpi1 25378	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝐹]( ≃ph‘𝐽) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph‘𝐽) = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
20	14, 19	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → [𝐹]( ≃ph‘𝐽) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3089  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  [cec 8726  0cc0 11210  1c1 11211  Basecbs 17399  TopOnctopon 23240   Cn ccn 23554  IIcii 25208   ≃_phcphtpc 25302   π₁ cpi1 25336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-ec 8730  df-qs 8734  df-map 8860  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ioo 13490  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-rest 17605  df-topn 17606  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-topgen 17626  df-pt 17627  df-prds 17630  df-xrs 17686  df-qtop 17691  df-imas 17692  df-qus 17693  df-xps 17694  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-mulg 19290  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-cnfld 21691  df-top 23224  df-topon 23241  df-topsp 23263  df-bases 23276  df-cld 23349  df-cn 23557  df-cnp 23558  df-tx 23893  df-hmeo 24086  df-xms 24651  df-ms 24652  df-tms 24653  df-ii 25210  df-htpy 25303  df-phtpy 25304  df-phtpc 25325  df-om1 25339  df-pi1 25341

This theorem is used by:  pi1inv  25385  pi1xfrf  25386  pi1cof  25392  sconnpi1  36125