MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpi1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpi1i 24190
Description: The elements of the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2 (𝜑𝑌𝑋)
elpi1i.3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
elpi1i.4 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
elpi1i.5 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
elpi1i (𝜑 → [𝐹]( ≃ph𝐽) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem elpi1i
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpi1i.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 elpi1i.4 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
3 elpi1i.5 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
4 eceq1 8510 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → [𝑓]( ≃ph𝐽) = [𝐹]( ≃ph𝐽))
54eqcomd 2745 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → [𝐹]( ≃ph𝐽) = [𝑓]( ≃ph𝐽))
65biantrud 531 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ↔ (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph𝐽) = [𝑓]( ≃ph𝐽))))
7 fveq1 6767 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
87eqeq1d 2741 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘0) = 𝑌 ↔ (𝐹‘0) = 𝑌))
9 fveq1 6767 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘1) = (𝐹‘1))
109eqeq1d 2741 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘1) = 𝑌 ↔ (𝐹‘1) = 𝑌))
118, 10anbi12d 630 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ↔ ((𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)))
126, 11bitr3d 280 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph𝐽) = [𝑓]( ≃ph𝐽)) ↔ ((𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)))
1312rspcev 3560 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph𝐽) = [𝑓]( ≃ph𝐽)))
141, 2, 3, 13syl12anc 833 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph𝐽) = [𝑓]( ≃ph𝐽)))
15 elpi1.g . . 3 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
16 elpi1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
17 elpi1.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
18 elpi1.2 . . 3 (𝜑𝑌𝑋)
1915, 16, 17, 18elpi1 24189 . 2 (𝜑 → ([𝐹]( ≃ph𝐽) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph𝐽) = [𝑓]( ≃ph𝐽))))
2014, 19mpbird 256 1 (𝜑 → [𝐹]( ≃ph𝐽) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109  wrex 3066  cfv 6430  (class class class)co 7268  [cec 8470  0cc0 10855  1c1 10856  Basecbs 16893  TopOnctopon 22040   Cn ccn 22356  IIcii 24019  phcphtpc 24113   π1 cpi1 24147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-mulf 10935
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-ec 8474  df-qs 8478  df-map 8591  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-fi 9131  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-ioo 13065  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-hom 16967  df-cco 16968  df-rest 17114  df-topn 17115  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-topgen 17135  df-pt 17136  df-prds 17139  df-xrs 17194  df-qtop 17199  df-imas 17200  df-qus 17201  df-xps 17202  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-mulg 18682  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-cnfld 20579  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-cld 22151  df-cn 22359  df-cnp 22360  df-tx 22694  df-hmeo 22887  df-xms 23454  df-ms 23455  df-tms 23456  df-ii 24021  df-htpy 24114  df-phtpy 24115  df-phtpc 24136  df-om1 24150  df-pi1 24152
This theorem is referenced by:  pi1inv  24196  pi1xfrf  24197  pi1cof  24203  sconnpi1  33180
  Copyright terms: Public domain W3C validator