MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpi1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpi1i 23653
Description: The elements of the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2 (𝜑𝑌𝑋)
elpi1i.3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
elpi1i.4 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
elpi1i.5 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
elpi1i (𝜑 → [𝐹]( ≃ph𝐽) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem elpi1i
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpi1i.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 elpi1i.4 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
3 elpi1i.5 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
4 eceq1 8330 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → [𝑓]( ≃ph𝐽) = [𝐹]( ≃ph𝐽))
54eqcomd 2830 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → [𝐹]( ≃ph𝐽) = [𝑓]( ≃ph𝐽))
65biantrud 534 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ↔ (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph𝐽) = [𝑓]( ≃ph𝐽))))
7 fveq1 6672 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
87eqeq1d 2826 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘0) = 𝑌 ↔ (𝐹‘0) = 𝑌))
9 fveq1 6672 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘1) = (𝐹‘1))
109eqeq1d 2826 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘1) = 𝑌 ↔ (𝐹‘1) = 𝑌))
118, 10anbi12d 632 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ↔ ((𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)))
126, 11bitr3d 283 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph𝐽) = [𝑓]( ≃ph𝐽)) ↔ ((𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)))
1312rspcev 3626 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph𝐽) = [𝑓]( ≃ph𝐽)))
141, 2, 3, 13syl12anc 834 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph𝐽) = [𝑓]( ≃ph𝐽)))
15 elpi1.g . . 3 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
16 elpi1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
17 elpi1.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
18 elpi1.2 . . 3 (𝜑𝑌𝑋)
1915, 16, 17, 18elpi1 23652 . 2 (𝜑 → ([𝐹]( ≃ph𝐽) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ [𝐹]( ≃ph𝐽) = [𝑓]( ≃ph𝐽))))
2014, 19mpbird 259 1 (𝜑 → [𝐹]( ≃ph𝐽) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  wrex 3142  cfv 6358  (class class class)co 7159  [cec 8290  0cc0 10540  1c1 10541  Basecbs 16486  TopOnctopon 21521   Cn ccn 21835  IIcii 23486  phcphtpc 23576   π1 cpi1 23610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-mulf 10620
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-ec 8294  df-qs 8298  df-map 8411  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-qus 16785  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-ii 23488  df-htpy 23577  df-phtpy 23578  df-phtpc 23599  df-om1 23613  df-pi1 23615
This theorem is referenced by:  pi1inv  23659  pi1xfrf  23660  pi1cof  23666  sconnpi1  32490
  Copyright terms: Public domain W3C validator