MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprnglem11 21502
Description: Lemma 11 for pzriprng 21508: The base set of the quotient of 𝑅 and 𝐽. (Contributed by AV, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r 𝑅 = (ℤring ×sring)
pzriprng.i 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
pzriprng.1 1 = (1r𝐽)
pzriprng.g = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q 𝑄 = (𝑅 /s )
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem11 (Base‘𝑄) = 𝑟 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑟})}
Distinct variable group:   ,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑟)   𝑅(𝑟)   1 (𝑟)   𝐼(𝑟)   𝐽(𝑟)

Proof of Theorem pzriprnglem11
Dummy variables 𝑒 𝑝 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-qs 8751 . 2 ((ℤ × ℤ) / ) = {𝑒 ∣ ∃𝑝 ∈ (ℤ × ℤ)𝑒 = [𝑝] }
2 pzriprng.g . . 3 = (𝑅 ~QG 𝐼)
3 pzriprng.q . . . . 5 𝑄 = (𝑅 /s )
43a1i 11 . . . 4 ( = (𝑅 ~QG 𝐼) → 𝑄 = (𝑅 /s ))
5 pzriprng.r . . . . . . 7 𝑅 = (ℤring ×sring)
65pzriprnglem2 21493 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
76eqcomi 2746 . . . . 5 (ℤ × ℤ) = (Base‘𝑅)
87a1i 11 . . . 4 ( = (𝑅 ~QG 𝐼) → (ℤ × ℤ) = (Base‘𝑅))
9 ovexd 7466 . . . . 5 ( = (𝑅 ~QG 𝐼) → (𝑅 ~QG 𝐼) ∈ V)
102, 9eqeltrid 2845 . . . 4 ( = (𝑅 ~QG 𝐼) → ∈ V)
115pzriprnglem1 21492 . . . . 5 𝑅 ∈ Rng
1211a1i 11 . . . 4 ( = (𝑅 ~QG 𝐼) → 𝑅 ∈ Rng)
134, 8, 10, 12qusbas 17590 . . 3 ( = (𝑅 ~QG 𝐼) → ((ℤ × ℤ) / ) = (Base‘𝑄))
142, 13ax-mp 5 . 2 ((ℤ × ℤ) / ) = (Base‘𝑄)
15 nfcv 2905 . . . 4 𝑠{𝑒𝑒 = [𝑝] }
16 nfcv 2905 . . . 4 𝑟{𝑒𝑒 = [𝑝] }
17 nfcv 2905 . . . 4 𝑝{𝑒𝑒 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] }
18 eceq1 8784 . . . . . 6 (𝑝 = ⟨𝑠, 𝑟⟩ → [𝑝] = [⟨𝑠, 𝑟⟩] )
1918eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑝 = ⟨𝑠, 𝑟⟩ → (𝑒 = [𝑝] 𝑒 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] ))
2019abbidv 2808 . . . 4 (𝑝 = ⟨𝑠, 𝑟⟩ → {𝑒𝑒 = [𝑝] } = {𝑒𝑒 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] })
2115, 16, 17, 20iunxpf 5859 . . 3 𝑝 ∈ (ℤ × ℤ){𝑒𝑒 = [𝑝] } = 𝑠 ∈ ℤ 𝑟 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] }
22 iunab 5051 . . 3 𝑝 ∈ (ℤ × ℤ){𝑒𝑒 = [𝑝] } = {𝑒 ∣ ∃𝑝 ∈ (ℤ × ℤ)𝑒 = [𝑝] }
23 iuncom 4999 . . . 4 𝑠 ∈ ℤ 𝑟 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] } = 𝑟 ∈ ℤ 𝑠 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] }
24 df-sn 4627 . . . . . . . . 9 {[⟨𝑠, 𝑟⟩] } = {𝑒𝑒 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] }
2524eqcomi 2746 . . . . . . . 8 {𝑒𝑒 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] } = {[⟨𝑠, 𝑟⟩] }
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℤ → {𝑒𝑒 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] } = {[⟨𝑠, 𝑟⟩] })
2726iuneq2i 5013 . . . . . 6 𝑠 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] } = 𝑠 ∈ ℤ {[⟨𝑠, 𝑟⟩] }
28 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] ) → 𝑝 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] )
29 pzriprng.i . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐼 = (ℤ × {0})
30 pzriprng.j . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
31 pzriprng.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (1r𝐽)
325, 29, 30, 31, 2pzriprnglem10 21501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → [⟨𝑠, 𝑟⟩] = (ℤ × {𝑟}))
3332ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → [⟨𝑠, 𝑟⟩] = (ℤ × {𝑟}))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] ) → [⟨𝑠, 𝑟⟩] = (ℤ × {𝑟}))
3528, 34eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] ) → 𝑝 = (ℤ × {𝑟}))
3635ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → (𝑝 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] 𝑝 = (ℤ × {𝑟})))
3736rexlimdva 3155 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℤ → (∃𝑠 ∈ ℤ 𝑝 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] 𝑝 = (ℤ × {𝑟})))
38 0zd 12625 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑝 = (ℤ × {𝑟})) → 0 ∈ ℤ)
39 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑝 = (ℤ × {𝑟})) → 𝑝 = (ℤ × {𝑟}))
40 opeq1 4873 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 0 → ⟨𝑠, 𝑟⟩ = ⟨0, 𝑟⟩)
4140eceq1d 8785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → [⟨𝑠, 𝑟⟩] = [⟨0, 𝑟⟩] )
4239, 41eqeqan12d 2751 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑝 = (ℤ × {𝑟})) ∧ 𝑠 = 0) → (𝑝 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] ↔ (ℤ × {𝑟}) = [⟨0, 𝑟⟩] ))
43 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
445, 29, 30, 31, 2pzriprnglem10 21501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → [⟨0, 𝑟⟩] = (ℤ × {𝑟}))
4543, 44mpancom 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℤ → [⟨0, 𝑟⟩] = (ℤ × {𝑟}))
4645eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℤ → (ℤ × {𝑟}) = [⟨0, 𝑟⟩] )
4746adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑝 = (ℤ × {𝑟})) → (ℤ × {𝑟}) = [⟨0, 𝑟⟩] )
4838, 42, 47rspcedvd 3624 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑝 = (ℤ × {𝑟})) → ∃𝑠 ∈ ℤ 𝑝 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] )
4948ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℤ → (𝑝 = (ℤ × {𝑟}) → ∃𝑠 ∈ ℤ 𝑝 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] ))
5037, 49impbid 212 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℤ → (∃𝑠 ∈ ℤ 𝑝 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] 𝑝 = (ℤ × {𝑟})))
5150abbidv 2808 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℤ → {𝑝 ∣ ∃𝑠 ∈ ℤ 𝑝 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] } = {𝑝𝑝 = (ℤ × {𝑟})})
52 iunsn 5066 . . . . . . 7 𝑠 ∈ ℤ {[⟨𝑠, 𝑟⟩] } = {𝑝 ∣ ∃𝑠 ∈ ℤ 𝑝 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] }
53 df-sn 4627 . . . . . . 7 {(ℤ × {𝑟})} = {𝑝𝑝 = (ℤ × {𝑟})}
5451, 52, 533eqtr4g 2802 . . . . . 6 (𝑟 ∈ ℤ → 𝑠 ∈ ℤ {[⟨𝑠, 𝑟⟩] } = {(ℤ × {𝑟})})
5527, 54eqtrid 2789 . . . . 5 (𝑟 ∈ ℤ → 𝑠 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] } = {(ℤ × {𝑟})})
5655iuneq2i 5013 . . . 4 𝑟 ∈ ℤ 𝑠 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] } = 𝑟 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑟})}
5723, 56eqtri 2765 . . 3 𝑠 ∈ ℤ 𝑟 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = [⟨𝑠, 𝑟⟩] } = 𝑟 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑟})}
5821, 22, 573eqtr3i 2773 . 2 {𝑒 ∣ ∃𝑝 ∈ (ℤ × ℤ)𝑒 = [𝑝] } = 𝑟 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑟})}
591, 14, 583eqtr3i 2773 1 (Base‘𝑄) = 𝑟 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑟})}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wrex 3070  Vcvv 3480  {csn 4626  cop 4632   ciun 4991   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  [cec 8743   / cqs 8744  0cc0 11155  cz 12613  Basecbs 17247  s cress 17274   /s cqus 17550   ×s cxps 17551   ~QG cqg 19140  Rngcrng 20149  1rcur 20178  ringczring 21457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-eqg 19143  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365  df-zring 21458
This theorem is referenced by:  pzriprnglem12  21503  pzriprnglem13  21504  pzriprnglem14  21505
  Copyright terms: Public domain W3C validator