Theorem pi1xfrval 24570

Description: The value of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
pi1xfrval.2	⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
pi1xfrval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrval	⊢ (𝜑 → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝐴,𝑔   𝜑,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfrval.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝐵)
2		pi1xfr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
3		fvex 6905	. . . 4 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
4		ecexg 8707	. . . 4 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
6		ecexg 8707	. . . 4 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
7	3, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
8		eceq1 8741	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [𝐴]( ≃ph‘𝐽))
9		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) = (𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))
10	9	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹)))
11	10	eceq1d 8742	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
12		pi1xfr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
13		pi1xfr.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
14		pi1xfr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
15		pi1xfr.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16		pi1xfr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
17		pi1xfrval.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
18		pi1xfrval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
19		pi1xfrval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
20	12, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 18, 19	pi1xfrf 24569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
21	20	ffund 6722	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
22	2, 5, 7, 8, 11, 21	fliftval 7313	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
23	1, 22	mpdan 686	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ⟨cop 4635  ∪ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  [cec 8701  0cc0 11110  1c1 11111  Basecbs 17144  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  IIcii 24391   ≃_phcphtpc 24485  *_𝑝cpco 24516   π₁ cpi1 24519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-qus 17455  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-ii 24393  df-htpy 24486  df-phtpy 24487  df-phtpc 24508  df-pco 24521  df-om1 24522  df-pi1 24524

This theorem is referenced by:  pi1xfr  24571