MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrval 23964
Description: The value of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
pi1xfrval.2 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
pi1xfrval.a (𝜑𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrval (𝜑 → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝐴(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝐴,𝑔   𝜑,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrval
StepHypRef Expression
1 pi1xfrval.a . 2 (𝜑𝐴 𝐵)
2 pi1xfr.g . . 3 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
3 fvex 6739 . . . 4 ( ≃ph𝐽) ∈ V
4 ecexg 8404 . . . 4 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
53, 4mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑔 𝐵) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
6 ecexg 8404 . . . 4 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
73, 6mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑔 𝐵) → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
8 eceq1 8438 . . 3 (𝑔 = 𝐴 → [𝑔]( ≃ph𝐽) = [𝐴]( ≃ph𝐽))
9 oveq1 7229 . . . . 5 (𝑔 = 𝐴 → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) = (𝐴(*𝑝𝐽)𝐹))
109oveq2d 7238 . . . 4 (𝑔 = 𝐴 → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝐴(*𝑝𝐽)𝐹)))
1110eceq1d 8439 . . 3 (𝑔 = 𝐴 → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝐴(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
12 pi1xfr.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
13 pi1xfr.q . . . . 5 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
14 pi1xfr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
15 pi1xfr.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16 pi1xfr.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
17 pi1xfrval.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
18 pi1xfrval.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
19 pi1xfrval.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
2012, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 18, 19pi1xfrf 23963 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
2120ffund 6558 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐺)
222, 5, 7, 8, 11, 21fliftval 7134 . 2 ((𝜑𝐴 𝐵) → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝐴(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
231, 22mpdan 687 1 (𝜑 → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝐴(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  Vcvv 3415  cop 4556   cuni 4828  cmpt 5144  ran crn 5561  cfv 6389  (class class class)co 7222  [cec 8398  0cc0 10742  1c1 10743  Basecbs 16773  TopOnctopon 21820   Cn ccn 22134  IIcii 23785  phcphtpc 23879  *𝑝cpco 23910   π1 cpi1 23913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5188  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532  ax-cnex 10798  ax-resscn 10799  ax-1cn 10800  ax-icn 10801  ax-addcl 10802  ax-addrcl 10803  ax-mulcl 10804  ax-mulrcl 10805  ax-mulcom 10806  ax-addass 10807  ax-mulass 10808  ax-distr 10809  ax-i2m1 10810  ax-1ne0 10811  ax-1rid 10812  ax-rnegex 10813  ax-rrecex 10814  ax-cnre 10815  ax-pre-lttri 10816  ax-pre-lttrn 10817  ax-pre-ltadd 10818  ax-pre-mulgt0 10819  ax-pre-sup 10820  ax-mulf 10822
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-pss 3894  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4829  df-int 4869  df-iun 4915  df-iin 4916  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-tr 5171  df-id 5464  df-eprel 5469  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5518  df-se 5519  df-we 5520  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-pred 6169  df-ord 6225  df-on 6226  df-lim 6227  df-suc 6228  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-isom 6398  df-riota 7179  df-ov 7225  df-oprab 7226  df-mpo 7227  df-of 7478  df-om 7654  df-1st 7770  df-2nd 7771  df-supp 7913  df-wrecs 8056  df-recs 8117  df-rdg 8155  df-1o 8211  df-2o 8212  df-er 8400  df-ec 8402  df-qs 8406  df-map 8519  df-ixp 8588  df-en 8636  df-dom 8637  df-sdom 8638  df-fin 8639  df-fsupp 8999  df-fi 9040  df-sup 9071  df-inf 9072  df-oi 9139  df-card 9568  df-pnf 10882  df-mnf 10883  df-xr 10884  df-ltxr 10885  df-le 10886  df-sub 11077  df-neg 11078  df-div 11503  df-nn 11844  df-2 11906  df-3 11907  df-4 11908  df-5 11909  df-6 11910  df-7 11911  df-8 11912  df-9 11913  df-n0 12104  df-z 12190  df-dec 12307  df-uz 12452  df-q 12558  df-rp 12600  df-xneg 12717  df-xadd 12718  df-xmul 12719  df-ioo 12952  df-icc 12955  df-fz 13109  df-fzo 13252  df-seq 13588  df-exp 13649  df-hash 13910  df-cj 14675  df-re 14676  df-im 14677  df-sqrt 14811  df-abs 14812  df-struct 16713  df-sets 16730  df-slot 16748  df-ndx 16758  df-base 16774  df-ress 16798  df-plusg 16828  df-mulr 16829  df-starv 16830  df-sca 16831  df-vsca 16832  df-ip 16833  df-tset 16834  df-ple 16835  df-ds 16837  df-unif 16838  df-hom 16839  df-cco 16840  df-rest 16940  df-topn 16941  df-0g 16959  df-gsum 16960  df-topgen 16961  df-pt 16962  df-prds 16965  df-xrs 17020  df-qtop 17025  df-imas 17026  df-qus 17027  df-xps 17028  df-mre 17102  df-mrc 17103  df-acs 17105  df-mgm 18127  df-sgrp 18176  df-mnd 18187  df-submnd 18232  df-mulg 18502  df-cntz 18724  df-cmn 19185  df-psmet 20368  df-xmet 20369  df-met 20370  df-bl 20371  df-mopn 20372  df-cnfld 20377  df-top 21804  df-topon 21821  df-topsp 21843  df-bases 21856  df-cld 21929  df-cn 22137  df-cnp 22138  df-tx 22472  df-hmeo 22665  df-xms 23231  df-ms 23232  df-tms 23233  df-ii 23787  df-htpy 23880  df-phtpy 23881  df-phtpc 23902  df-pco 23915  df-om1 23916  df-pi1 23918
This theorem is referenced by:  pi1xfr  23965
  Copyright terms: Public domain W3C validator