MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrval 24323
Description: The value of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
pi1xfr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
pi1xfr.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1xfr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΌβ€˜0))
pi1xfrval.2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
pi1xfrval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrval (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜[𝐴]( ≃phβ€˜π½)) = [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝐴(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝐴,𝑔   πœ‘,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrval
StepHypRef Expression
1 pi1xfrval.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐡)
2 pi1xfr.g . . 3 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
3 fvex 6838 . . . 4 ( ≃phβ€˜π½) ∈ V
4 ecexg 8573 . . . 4 (( ≃phβ€˜π½) ∈ V β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
53, 4mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
6 ecexg 8573 . . . 4 (( ≃phβ€˜π½) ∈ V β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
73, 6mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
8 eceq1 8607 . . 3 (𝑔 = 𝐴 β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [𝐴]( ≃phβ€˜π½))
9 oveq1 7344 . . . . 5 (𝑔 = 𝐴 β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹) = (𝐴(*π‘β€˜π½)𝐹))
109oveq2d 7353 . . . 4 (𝑔 = 𝐴 β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) = (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝐴(*π‘β€˜π½)𝐹)))
1110eceq1d 8608 . . 3 (𝑔 = 𝐴 β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) = [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝐴(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½))
12 pi1xfr.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
13 pi1xfr.q . . . . 5 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
14 pi1xfr.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
15 pi1xfr.j . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
16 pi1xfr.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
17 pi1xfrval.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
18 pi1xfrval.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΌβ€˜0))
19 pi1xfrval.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
2012, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 18, 19pi1xfrf 24322 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘„))
2120ffund 6655 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐺)
222, 5, 7, 8, 11, 21fliftval 7243 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜[𝐴]( ≃phβ€˜π½)) = [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝐴(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½))
231, 22mpdan 684 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜[𝐴]( ≃phβ€˜π½)) = [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝐴(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  βŸ¨cop 4579  βˆͺ cuni 4852   ↦ cmpt 5175  ran crn 5621  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  [cec 8567  0cc0 10972  1c1 10973  Basecbs 17009  TopOnctopon 22165   Cn ccn 22481  IIcii 24144   ≃phcphtpc 24238  *𝑝cpco 24269   Ο€1 cpi1 24272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-mulf 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-ec 8571  df-qs 8575  df-map 8688  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-fi 9268  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-qus 17317  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-ii 24146  df-htpy 24239  df-phtpy 24240  df-phtpc 24261  df-pco 24274  df-om1 24275  df-pi1 24277
This theorem is referenced by:  pi1xfr  24324
  Copyright terms: Public domain W3C validator