Theorem pi1xfrval 25182

Description: The value of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
pi1xfrval.2	⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
pi1xfrval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrval	⊢ (𝜑 → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝐴,𝑔   𝜑,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfrval.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝐵)
2		pi1xfr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
3		fvex 6895	. . . 4 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
4		ecexg 8698	. . . 4 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
5	3, 4	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
6		ecexg 8698	. . . 4 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
7	3, 6	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
8		eceq1 8734	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [𝐴]( ≃ph‘𝐽))
9		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) = (𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))
10	9	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹)))
11	10	eceq1d 8735	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
12		pi1xfr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
13		pi1xfr.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
14		pi1xfr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
15		pi1xfr.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16		pi1xfr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
17		pi1xfrval.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
18		pi1xfrval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
19		pi1xfrval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
20	12, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 18, 19	pi1xfrf 25181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
21	20	ffund 6711	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
22	2, 5, 7, 8, 11, 21	fliftval 7315	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
23	1, 22	mpdan 699	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3461  ⟨cop 4598  ∪ cuni 4874   ↦ cmpt 5194  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  [cec 8692  0cc0 11100  1c1 11101  Basecbs 17269  TopOnctopon 23036   Cn ccn 23350  IIcii 25003   ≃_phcphtpc 25097  *_𝑝cpco 25128   π₁ cpi1 25131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-qus 17563  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-ii 25005  df-htpy 25098  df-phtpy 25099  df-phtpc 25120  df-pco 25133  df-om1 25134  df-pi1 25136

This theorem is referenced by:  pi1xfr  25183