Theorem pi1xfrval 25008

Description: The value of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
pi1xfrval.2	⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
pi1xfrval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrval	⊢ (𝜑 → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝐴,𝑔   𝜑,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfrval.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝐵)
2		pi1xfr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
3		fvex 6845	. . . 4 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
4		ecexg 8637	. . . 4 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
6		ecexg 8637	. . . 4 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
7	3, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
8		eceq1 8672	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [𝐴]( ≃ph‘𝐽))
9		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) = (𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))
10	9	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹)))
11	10	eceq1d 8673	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
12		pi1xfr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
13		pi1xfr.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
14		pi1xfr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
15		pi1xfr.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16		pi1xfr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
17		pi1xfrval.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
18		pi1xfrval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
19		pi1xfrval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
20	12, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 18, 19	pi1xfrf 25007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
21	20	ffund 6664	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
22	2, 5, 7, 8, 11, 21	fliftval 7260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
23	1, 22	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝐴(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ⟨cop 4584  ∪ cuni 4861   ↦ cmpt 5177  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  [cec 8631  0cc0 11024  1c1 11025  Basecbs 17134  TopOnctopon 22852   Cn ccn 23166  IIcii 24822   ≃_phcphtpc 24922  *_𝑝cpco 24954   π₁ cpi1 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-qus 17428  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-ii 24824  df-htpy 24923  df-phtpy 24924  df-phtpc 24945  df-pco 24959  df-om1 24960  df-pi1 24962

This theorem is referenced by:  pi1xfr  25009