Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusker Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusker 32188
Description: The kernel of a quotient map. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
qusker.b 𝑉 = (Base‘𝑀)
qusker.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.1 0 = (0g𝑁)
Assertion
Ref Expression
qusker (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem qusker
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusker.n . . . . 5 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
21a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3 qusker.b . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑀)
43a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑉 = (Base‘𝑀))
5 qusker.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6 ovex 7391 . . . . 5 (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
8 nsgsubg 18965 . . . . 5 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
9 subgrcl 18938 . . . . 5 (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
112, 4, 5, 7, 10quslem 17430 . . 3 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐹:𝑉onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
12 fofn 6759 . . 3 (𝐹:𝑉onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)) → 𝐹 Fn 𝑉)
13 fniniseg2 7013 . . 3 (𝐹 Fn 𝑉 → (𝐹 “ { 0 }) = {𝑦𝑉 ∣ (𝐹𝑦) = 0 })
1411, 12, 133syl 18 . 2 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝐹 “ { 0 }) = {𝑦𝑉 ∣ (𝐹𝑦) = 0 })
15 qusker.1 . . . . . 6 0 = (0g𝑁)
16 eqid 2733 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
171, 16qus0 18993 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → [(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = (0g𝑁))
1815, 17eqtr4id 2792 . . . . 5 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 0 = [(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺))
19 eceq1 8689 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
20 ecexg 8655 . . . . . . 7 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
216, 20ax-mp 5 . . . . . 6 [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
2219, 5, 21fvmpt 6949 . . . . 5 (𝑦𝑉 → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
2318, 22eqeqan12d 2747 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ( 0 = (𝐹𝑦) ↔ [(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
24 eqcom 2740 . . . . 5 ( 0 = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑦) = 0 )
2524a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ( 0 = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑦) = 0 ))
26 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
27 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
283, 16grpidcl 18783 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Grp → (0g𝑀) ∈ 𝑉)
2926, 10, 283syl 18 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → (0g𝑀) ∈ 𝑉)
303subgss 18934 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝐺𝑉)
318, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺𝑉)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (invg𝑀) = (invg𝑀)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑀) = (+g𝑀)
34 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
353, 32, 33, 34eqgval 18984 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
3610, 31, 35syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
3736adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
38 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 (((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ (((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉) ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
3938biancomi 464 . . . . . . . 8 (((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ ((((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉)))
4037, 39bitrdi 287 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉))))
4140rbaibd 542 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) ∧ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉)) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
4226, 27, 29, 27, 41syl22anc 838 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
433, 34eqger 18985 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
448, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
4544adantr 482 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
4645, 27erth2 8701 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ [(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
4716, 32grpinvid 18813 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Grp → ((invg𝑀)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
4826, 10, 473syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((invg𝑀)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
4948oveq1d 7373 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) = ((0g𝑀)(+g𝑀)𝑦))
503, 33, 16grplid 18785 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
5110, 50sylan 581 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
5249, 51eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
5352eleq1d 2819 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺𝑦𝐺))
5442, 46, 533bitr3d 309 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ([(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ↔ 𝑦𝐺))
5523, 25, 543bitr3d 309 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝐹𝑦) = 0𝑦𝐺))
5655rabbidva 3413 . 2 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦𝑉 ∣ (𝐹𝑦) = 0 } = {𝑦𝑉𝑦𝐺})
57 dfss7 4201 . . 3 (𝐺𝑉 ↔ {𝑦𝑉𝑦𝐺} = 𝐺)
5831, 57sylib 217 . 2 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦𝑉𝑦𝐺} = 𝐺)
5914, 56, 583eqtrd 2777 1 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444  wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106  cmpt 5189  ccnv 5633  cima 5637   Fn wfn 6492  ontowfo 6495  cfv 6497  (class class class)co 7358   Er wer 8648  [cec 8649   / cqs 8650  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326   /s cqus 17392  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754  SubGrpcsubg 18927  NrmSGrpcnsg 18928   ~QG cqg 18929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-ec 8653  df-qs 8657  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-0g 17328  df-imas 17395  df-qus 17396  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-subg 18930  df-nsg 18931  df-eqg 18932
This theorem is referenced by:  qusdimsum  32380
  Copyright terms: Public domain W3C validator