Theorem qusker 32452

Description: The kernel of a quotient map. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusker.b	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
qusker.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
qusker	⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (◡𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem qusker

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusker.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3		qusker.b	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑉 = (Base‘𝑀))
5		qusker.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6		ovex 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
8		nsgsubg 19032	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
9		subgrcl 19005	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
11	2, 4, 5, 7, 10	quslem 17485	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
12		fofn 6804	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)) → 𝐹 Fn 𝑉)
13		fniniseg2 7060	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑉 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝐹‘𝑦) = 0 })
14	11, 12, 13	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝐹‘𝑦) = 0 })
15		qusker.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
16		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
17	1, 16	qus0 19062	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = (0g‘𝑁))
18	15, 17	eqtr4id 2791	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 0 = [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺))
19		eceq1 8737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
20		ecexg 8703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
21	6, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
22	19, 5, 21	fvmpt 6995	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑦) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
23	18, 22	eqeqan12d 2746	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ( 0 = (𝐹‘𝑦) ↔ [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
24		eqcom 2739	. . . . 5 ⊢ ( 0 = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑦) = 0 )
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ( 0 = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑦) = 0 ))
26		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
27		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ 𝑉)
28	3, 16	grpidcl 18846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (0g‘𝑀) ∈ 𝑉)
29	26, 10, 28	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (0g‘𝑀) ∈ 𝑉)
30	3	subgss 19001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝐺 ⊆ 𝑉)
31	8, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺 ⊆ 𝑉)
32		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
33		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
34		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
35	3, 32, 33, 34	eqgval 19051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
36	10, 31, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
37	36	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
38		df-3an 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ (((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
39	38	biancomi 463	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ ((((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)))
40	37, 39	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉))))
41	40	rbaibd 541	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
42	26, 27, 29, 27, 41	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
43	3, 34	eqger 19052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
44	8, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
45	44	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
46	45, 27	erth2 8749	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
47	16, 32	grpinvid 18880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → ((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
48	26, 10, 47	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
49	48	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) = ((0g‘𝑀)(+g‘𝑀)𝑦))
50	3, 33, 16	grplid 18848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
51	10, 50	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
52	49, 51	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
53	52	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
54	42, 46, 53	3bitr3d 308	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ([(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
55	23, 25, 54	3bitr3d 308	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
56	55	rabbidva 3439	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝐹‘𝑦) = 0 } = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ 𝑦 ∈ 𝐺})
57		dfss7 4239	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ 𝑦 ∈ 𝐺} = 𝐺)
58	31, 57	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ 𝑦 ∈ 𝐺} = 𝐺)
59	14, 56, 58	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (◡𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5674   “ cima 5678   Fn wfn 6535  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   Er wer 8696  [cec 8697   / cqs 8698  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381   /_s cqus 17447  Grpcgrp 18815  inv_gcminusg 18816  SubGrpcsubg 18994  NrmSGrpcnsg 18995   ~_QG cqg 18996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999

This theorem is referenced by:  qusdimsum  32701