Theorem qusker 31451

Description: The kernel of a quotient map. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusker.b	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
qusker.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
qusker	⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (◡𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem qusker

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusker.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3		qusker.b	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑉 = (Base‘𝑀))
5		qusker.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6		ovex 7288	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
8		nsgsubg 18701	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
9		subgrcl 18675	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
11	2, 4, 5, 7, 10	quslem 17171	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
12		fofn 6674	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)) → 𝐹 Fn 𝑉)
13		fniniseg2 6921	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑉 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝐹‘𝑦) = 0 })
14	11, 12, 13	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝐹‘𝑦) = 0 })
15		qusker.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
16		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
17	1, 16	qus0 18729	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = (0g‘𝑁))
18	15, 17	eqtr4id 2798	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 0 = [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺))
19		eceq1 8494	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
20		ecexg 8460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
21	6, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
22	19, 5, 21	fvmpt 6857	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑦) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
23	18, 22	eqeqan12d 2752	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ( 0 = (𝐹‘𝑦) ↔ [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
24		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ ( 0 = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑦) = 0 )
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ( 0 = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑦) = 0 ))
26		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ 𝑉)
28	3, 16	grpidcl 18522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (0g‘𝑀) ∈ 𝑉)
29	26, 10, 28	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (0g‘𝑀) ∈ 𝑉)
30	3	subgss 18671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝐺 ⊆ 𝑉)
31	8, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺 ⊆ 𝑉)
32		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
33		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
34		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
35	3, 32, 33, 34	eqgval 18720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
36	10, 31, 35	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
38		df-3an 1087	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ (((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
39	38	biancomi 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ ((((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)))
40	37, 39	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉))))
41	40	rbaibd 540	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
42	26, 27, 29, 27, 41	syl22anc 835	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
43	3, 34	eqger 18721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
44	8, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
46	45, 27	erth2 8506	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
47	16, 32	grpinvid 18551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → ((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
48	26, 10, 47	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
49	48	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) = ((0g‘𝑀)(+g‘𝑀)𝑦))
50	3, 33, 16	grplid 18524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
51	10, 50	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
52	49, 51	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
53	52	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
54	42, 46, 53	3bitr3d 308	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ([(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
55	23, 25, 54	3bitr3d 308	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
56	55	rabbidva 3402	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝐹‘𝑦) = 0 } = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ 𝑦 ∈ 𝐺})
57		dfss7 4171	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ 𝑦 ∈ 𝐺} = 𝐺)
58	31, 57	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ 𝑦 ∈ 𝐺} = 𝐺)
59	14, 56, 58	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (◡𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583   Fn wfn 6413  –onto→wfo 6416  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   Er wer 8453  [cec 8454   / cqs 8455  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067   /_s cqus 17133  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  SubGrpcsubg 18664  NrmSGrpcnsg 18665   ~_QG cqg 18666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-0g 17069  df-imas 17136  df-qus 17137  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-nsg 18668  df-eqg 18669

This theorem is referenced by:  qusdimsum  31611