Theorem qusker 33377

Description: The kernel of a quotient map. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusker.b	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
qusker.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
qusker	⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (◡𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem qusker

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusker.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3		qusker.b	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑉 = (Base‘𝑀))
5		qusker.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
8		nsgsubg 19176	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
9		subgrcl 19149	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
11	2, 4, 5, 7, 10	quslem 17588	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
12		fofn 6822	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)) → 𝐹 Fn 𝑉)
13		fniniseg2 7082	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑉 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝐹‘𝑦) = 0 })
14	11, 12, 13	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝐹‘𝑦) = 0 })
15		qusker.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
17	1, 16	qus0 19207	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = (0g‘𝑁))
18	15, 17	eqtr4id 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 0 = [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺))
19		eceq1 8784	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
20		ecexg 8749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
21	6, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
22	19, 5, 21	fvmpt 7016	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑦) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
23	18, 22	eqeqan12d 2751	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ( 0 = (𝐹‘𝑦) ↔ [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
24		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ ( 0 = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑦) = 0 )
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ( 0 = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑦) = 0 ))
26		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ 𝑉)
28	3, 16	grpidcl 18983	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (0g‘𝑀) ∈ 𝑉)
29	26, 10, 28	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (0g‘𝑀) ∈ 𝑉)
30	3	subgss 19145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝐺 ⊆ 𝑉)
31	8, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺 ⊆ 𝑉)
32		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
34		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
35	3, 32, 33, 34	eqgval 19195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
36	10, 31, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
38		df-3an 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ (((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
39	38	biancomi 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ ((((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)))
40	37, 39	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉))))
41	40	rbaibd 540	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
42	26, 27, 29, 27, 41	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
43	3, 34	eqger 19196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
44	8, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
46	45, 27	erth2 8797	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
47	16, 32	grpinvid 19017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → ((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
48	26, 10, 47	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
49	48	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) = ((0g‘𝑀)(+g‘𝑀)𝑦))
50	3, 33, 16	grplid 18985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
51	10, 50	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
52	49, 51	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
53	52	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
54	42, 46, 53	3bitr3d 309	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ([(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
55	23, 25, 54	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
56	55	rabbidva 3443	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝐹‘𝑦) = 0 } = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ 𝑦 ∈ 𝐺})
57		dfss7 4251	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ 𝑦 ∈ 𝐺} = 𝐺)
58	31, 57	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ 𝑦 ∈ 𝐺} = 𝐺)
59	14, 56, 58	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (◡𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688   Fn wfn 6556  –onto→wfo 6559  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   Er wer 8742  [cec 8743   / cqs 8744  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484   /_s cqus 17550  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138  NrmSGrpcnsg 19139   ~_QG cqg 19140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143

This theorem is referenced by:  qusdimsum  33679