Theorem qusker 33085

Description: The kernel of a quotient map. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusker.b	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
qusker.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
qusker	⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (◡𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem qusker

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusker.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3		qusker.b	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑉 = (Base‘𝑀))
5		qusker.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6		ovex 7459	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
8		nsgsubg 19120	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
9		subgrcl 19093	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
11	2, 4, 5, 7, 10	quslem 17532	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
12		fofn 6818	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)) → 𝐹 Fn 𝑉)
13		fniniseg2 7076	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑉 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝐹‘𝑦) = 0 })
14	11, 12, 13	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝐹‘𝑦) = 0 })
15		qusker.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
16		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
17	1, 16	qus0 19151	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = (0g‘𝑁))
18	15, 17	eqtr4id 2787	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 0 = [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺))
19		eceq1 8769	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
20		ecexg 8735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
21	6, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
22	19, 5, 21	fvmpt 7010	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑦) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
23	18, 22	eqeqan12d 2742	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ( 0 = (𝐹‘𝑦) ↔ [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
24		eqcom 2735	. . . . 5 ⊢ ( 0 = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑦) = 0 )
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ( 0 = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑦) = 0 ))
26		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
27		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ 𝑉)
28	3, 16	grpidcl 18929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (0g‘𝑀) ∈ 𝑉)
29	26, 10, 28	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (0g‘𝑀) ∈ 𝑉)
30	3	subgss 19089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝐺 ⊆ 𝑉)
31	8, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺 ⊆ 𝑉)
32		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
33		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
34		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
35	3, 32, 33, 34	eqgval 19139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺 ⊆ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
36	10, 31, 35	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
37	36	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
38		df-3an 1086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ (((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
39	38	biancomi 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ ((((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)))
40	37, 39	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉))))
41	40	rbaibd 539	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((0g‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
42	26, 27, 29, 27, 41	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
43	3, 34	eqger 19140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
44	8, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
45	44	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
46	45, 27	erth2 8782	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ [(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
47	16, 32	grpinvid 18963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → ((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
48	26, 10, 47	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
49	48	oveq1d 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) = ((0g‘𝑀)(+g‘𝑀)𝑦))
50	3, 33, 16	grplid 18931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
51	10, 50	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑀)(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
52	49, 51	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦)
53	52	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((((invg‘𝑀)‘(0g‘𝑀))(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
54	42, 46, 53	3bitr3d 308	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ([(0g‘𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
55	23, 25, 54	3bitr3d 308	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
56	55	rabbidva 3437	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (𝐹‘𝑦) = 0 } = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ 𝑦 ∈ 𝐺})
57		dfss7 4243	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ 𝑦 ∈ 𝐺} = 𝐺)
58	31, 57	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ 𝑦 ∈ 𝐺} = 𝐺)
59	14, 56, 58	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (◡𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  ^◡ccnv 5681   “ cima 5685   Fn wfn 6548  –onto→wfo 6551  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   Er wer 8728  [cec 8729   / cqs 8730  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  0_gc0g 17428   /_s cqus 17494  Grpcgrp 18897  inv_gcminusg 18898  SubGrpcsubg 19082  NrmSGrpcnsg 19083   ~_QG cqg 19084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-0g 17430  df-imas 17497  df-qus 17498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-nsg 19086  df-eqg 19087

This theorem is referenced by:  qusdimsum  33359