Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusker Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusker 30845
Description: The kernel of a quotient map. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
qusker.b 𝑉 = (Base‘𝑀)
qusker.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.1 0 = (0g𝑁)
Assertion
Ref Expression
qusker (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem qusker
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusker.n . . . . 5 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
21a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3 qusker.b . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑀)
43a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑉 = (Base‘𝑀))
5 qusker.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6 ovex 7178 . . . . 5 (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
8 nsgsubg 18248 . . . . 5 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
9 subgrcl 18222 . . . . 5 (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
112, 4, 5, 7, 10quslem 16804 . . 3 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐹:𝑉onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
12 fofn 6585 . . 3 (𝐹:𝑉onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)) → 𝐹 Fn 𝑉)
13 fniniseg2 6824 . . 3 (𝐹 Fn 𝑉 → (𝐹 “ { 0 }) = {𝑦𝑉 ∣ (𝐹𝑦) = 0 })
1411, 12, 133syl 18 . 2 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝐹 “ { 0 }) = {𝑦𝑉 ∣ (𝐹𝑦) = 0 })
15 eqid 2818 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
161, 15qus0 18276 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → [(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = (0g𝑁))
17 qusker.1 . . . . . 6 0 = (0g𝑁)
1816, 17syl6reqr 2872 . . . . 5 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 0 = [(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺))
19 eceq1 8316 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
20 ecexg 8282 . . . . . . 7 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
216, 20ax-mp 5 . . . . . 6 [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
2219, 5, 21fvmpt 6761 . . . . 5 (𝑦𝑉 → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
2318, 22eqeqan12d 2835 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ( 0 = (𝐹𝑦) ↔ [(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
24 eqcom 2825 . . . . 5 ( 0 = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑦) = 0 )
2524a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ( 0 = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑦) = 0 ))
26 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
27 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
283, 15grpidcl 18069 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Grp → (0g𝑀) ∈ 𝑉)
2926, 10, 283syl 18 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → (0g𝑀) ∈ 𝑉)
303subgss 18218 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝐺𝑉)
318, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺𝑉)
32 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (invg𝑀) = (invg𝑀)
33 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑀) = (+g𝑀)
34 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
353, 32, 33, 34eqgval 18267 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
3610, 31, 35syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
3736adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
38 df-3an 1081 . . . . . . . . 9 (((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ (((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉) ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
3938biancomi 463 . . . . . . . 8 (((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ ((((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉)))
4037, 39syl6bb 288 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉))))
4140rbaibd 541 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) ∧ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉)) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
4226, 27, 29, 27, 41syl22anc 834 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
433, 34eqger 18268 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
448, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
4544adantr 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
4645, 27erth2 8328 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ [(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
4715, 32grpinvid 18098 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Grp → ((invg𝑀)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
4826, 10, 473syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((invg𝑀)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
4948oveq1d 7160 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) = ((0g𝑀)(+g𝑀)𝑦))
503, 33, 15grplid 18071 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
5110, 50sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
5249, 51eqtrd 2853 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
5352eleq1d 2894 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺𝑦𝐺))
5442, 46, 533bitr3d 310 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ([(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ↔ 𝑦𝐺))
5523, 25, 543bitr3d 310 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝐹𝑦) = 0𝑦𝐺))
5655rabbidva 3476 . 2 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦𝑉 ∣ (𝐹𝑦) = 0 } = {𝑦𝑉𝑦𝐺})
57 dfss7 4214 . . 3 (𝐺𝑉 ↔ {𝑦𝑉𝑦𝐺} = 𝐺)
5831, 57sylib 219 . 2 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦𝑉𝑦𝐺} = 𝐺)
5914, 56, 583eqtrd 2857 1 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ccnv 5547  cima 5551   Fn wfn 6343  ontowfo 6346  cfv 6348  (class class class)co 7145   Er wer 8275  [cec 8276   / cqs 8277  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701   /s cqus 16766  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042  SubGrpcsubg 18211  NrmSGrpcnsg 18212   ~QG cqg 18213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-0g 16703  df-imas 16769  df-qus 16770  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-nsg 18215  df-eqg 18216
This theorem is referenced by:  qusdimsum  30923
  Copyright terms: Public domain W3C validator