Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusker Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusker 33201
Description: The kernel of a quotient map. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
qusker.b 𝑉 = (Base‘𝑀)
qusker.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusker.1 0 = (0g𝑁)
Assertion
Ref Expression
qusker (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem qusker
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusker.n . . . . 5 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
21a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3 qusker.b . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑀)
43a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑉 = (Base‘𝑀))
5 qusker.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6 ovex 7456 . . . . 5 (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
8 nsgsubg 19147 . . . . 5 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
9 subgrcl 19120 . . . . 5 (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
112, 4, 5, 7, 10quslem 17553 . . 3 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐹:𝑉onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
12 fofn 6816 . . 3 (𝐹:𝑉onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)) → 𝐹 Fn 𝑉)
13 fniniseg2 7074 . . 3 (𝐹 Fn 𝑉 → (𝐹 “ { 0 }) = {𝑦𝑉 ∣ (𝐹𝑦) = 0 })
1411, 12, 133syl 18 . 2 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝐹 “ { 0 }) = {𝑦𝑉 ∣ (𝐹𝑦) = 0 })
15 qusker.1 . . . . . 6 0 = (0g𝑁)
16 eqid 2725 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
171, 16qus0 19178 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → [(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = (0g𝑁))
1815, 17eqtr4id 2784 . . . . 5 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 0 = [(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺))
19 eceq1 8772 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
20 ecexg 8737 . . . . . . 7 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
216, 20ax-mp 5 . . . . . 6 [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
2219, 5, 21fvmpt 7008 . . . . 5 (𝑦𝑉 → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺))
2318, 22eqeqan12d 2739 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ( 0 = (𝐹𝑦) ↔ [(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
24 eqcom 2732 . . . . 5 ( 0 = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑦) = 0 )
2524a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ( 0 = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑦) = 0 ))
26 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
27 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
283, 16grpidcl 18955 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Grp → (0g𝑀) ∈ 𝑉)
2926, 10, 283syl 18 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → (0g𝑀) ∈ 𝑉)
303subgss 19116 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → 𝐺𝑉)
318, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐺𝑉)
32 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (invg𝑀) = (invg𝑀)
33 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑀) = (+g𝑀)
34 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
353, 32, 33, 34eqgval 19166 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝐺𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
3610, 31, 35syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
3736adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺)))
38 df-3an 1086 . . . . . . . . 9 (((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ (((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉) ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
3938biancomi 461 . . . . . . . 8 (((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉 ∧ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺) ↔ ((((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉)))
4037, 39bitrdi 286 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ ((((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉))))
4140rbaibd 539 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) ∧ ((0g𝑀) ∈ 𝑉𝑦𝑉)) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
4226, 27, 29, 27, 41syl22anc 837 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺))
433, 34eqger 19167 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
448, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
4544adantr 479 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
4645, 27erth2 8785 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(𝑀 ~QG 𝐺)𝑦 ↔ [(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺)))
4716, 32grpinvid 18989 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Grp → ((invg𝑀)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
4826, 10, 473syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((invg𝑀)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
4948oveq1d 7438 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) = ((0g𝑀)(+g𝑀)𝑦))
503, 33, 16grplid 18957 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
5110, 50sylan 578 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((0g𝑀)(+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
5249, 51eqtrd 2765 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → (((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
5352eleq1d 2810 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((((invg𝑀)‘(0g𝑀))(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐺𝑦𝐺))
5442, 46, 533bitr3d 308 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ([(0g𝑀)](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑦](𝑀 ~QG 𝐺) ↔ 𝑦𝐺))
5523, 25, 543bitr3d 308 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝐹𝑦) = 0𝑦𝐺))
5655rabbidva 3425 . 2 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦𝑉 ∣ (𝐹𝑦) = 0 } = {𝑦𝑉𝑦𝐺})
57 dfss7 4241 . . 3 (𝐺𝑉 ↔ {𝑦𝑉𝑦𝐺} = 𝐺)
5831, 57sylib 217 . 2 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → {𝑦𝑉𝑦𝐺} = 𝐺)
5914, 56, 583eqtrd 2769 1 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → (𝐹 “ { 0 }) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461  wss 3946  {csn 4632   class class class wbr 5152  cmpt 5235  ccnv 5680  cima 5684   Fn wfn 6548  ontowfo 6551  cfv 6553  (class class class)co 7423   Er wer 8730  [cec 8731   / cqs 8732  Basecbs 17208  +gcplusg 17261  0gc0g 17449   /s cqus 17515  Grpcgrp 18923  invgcminusg 18924  SubGrpcsubg 19109  NrmSGrpcnsg 19110   ~QG cqg 19111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-ec 8735  df-qs 8739  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9481  df-inf 9482  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-fz 13534  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-0g 17451  df-imas 17518  df-qus 17519  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-subg 19112  df-nsg 19113  df-eqg 19114
This theorem is referenced by:  qusdimsum  33495
  Copyright terms: Public domain W3C validator