Theorem frgpup3lem 19298

Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
frgpup.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
frgpup3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
frgpup3.e	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ 𝑈) = 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frgpup3lem	⊢ (𝜑 → 𝐾 = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup3lem

Dummy variables 𝑎 𝑡 𝑛 𝑖 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
2		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		frgpup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
4	2, 3	ghmf 18753	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐾:𝑋⟶𝐵)
5		ffn 6584	. . 3 ⊢ (𝐾:𝑋⟶𝐵 → 𝐾 Fn 𝑋)
6	1, 4, 5	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn 𝑋)
7		frgpup.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
8		frgpup.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
9		frgpup.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
10		frgpup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		frgpup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
12		frgpup.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
13		frgpup.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
14		frgpup.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
15		frgpup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
16	3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15	frgpup1 19296	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
17	2, 3	ghmf 18753	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐸:𝑋⟶𝐵)
18		ffn 6584	. . 3 ⊢ (𝐸:𝑋⟶𝐵 → 𝐸 Fn 𝑋)
19	16, 17, 18	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝑋)
20		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
21	14, 20, 13	frgpval 19279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
22	10, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
23		2on 8275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2o ∈ On
24		xpexg 7578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
25	10, 23, 24	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
26		wrdexg 14155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
27		fvi 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
29	12, 28	eqtrid 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
30		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
31	20, 30	frmdbas 18406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
32	25, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
33	29, 32	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
34	13	fvexi 6770	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
36		fvexd 6771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
37	22, 33, 35, 36	qusbas 17173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
38	2, 37	eqtr4id 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑊 / ∼ ))
39		eqimss 3973	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (𝑊 / ∼ ) → 𝑋 ⊆ (𝑊 / ∼ ))
40	38, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (𝑊 / ∼ ))
41	40	sselda 3917	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → 𝑎 ∈ (𝑊 / ∼ ))
42		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑊 / ∼ ) = (𝑊 / ∼ )
43		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ ([𝑡] ∼ = 𝑎 → (𝐾‘[𝑡] ∼ ) = (𝐾‘𝑎))
44		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ ([𝑡] ∼ = 𝑎 → (𝐸‘[𝑡] ∼ ) = (𝐸‘𝑎))
45	43, 44	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ ([𝑡] ∼ = 𝑎 → ((𝐾‘[𝑡] ∼ ) = (𝐸‘[𝑡] ∼ ) ↔ (𝐾‘𝑎) = (𝐸‘𝑎)))
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → 𝑡 ∈ 𝑊)
47	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
48	46, 47	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → 𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o))
49		wrdf 14150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o) → 𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶(𝐼 × 2o))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → 𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶(𝐼 × 2o))
51	50	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡))) → (𝑡‘𝑛) ∈ (𝐼 × 2o))
52		elxp2 5604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡‘𝑛) ∈ (𝐼 × 2o) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑗 ∈ 2o (𝑡‘𝑛) = ⟨𝑖, 𝑗⟩)
53	51, 52	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡))) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑗 ∈ 2o (𝑡‘𝑛) = ⟨𝑖, 𝑗⟩)
54		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑖 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑖))
55	54	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑖 → (𝑁‘(𝐹‘𝑦)) = (𝑁‘(𝐹‘𝑖)))
56	54, 55	ifeq12d 4477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑖 → if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))) = if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))))
57		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑗 → (𝑧 = ∅ ↔ 𝑗 = ∅))
58	57	ifbid 4479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑗 → if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))) = if(𝑗 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))))
59		fvex 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹‘𝑖) ∈ V
60		fvex 6769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V
61	59, 60	ifex 4506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ if(𝑗 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))) ∈ V
62	56, 58, 8, 61	ovmpo 7411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 2o) → (𝑖𝑇𝑗) = if(𝑗 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 2o)) → (𝑖𝑇𝑗) = if(𝑗 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))))
64		elpri 4580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ {∅, 1o} → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
65		df2o3 8282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2o = {∅, 1o}
66	64, 65	eleq2s 2857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
67		frgpup3.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ 𝑈) = 𝐹)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐾 ∘ 𝑈) = 𝐹)
69	68	fveq1d 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝐾 ∘ 𝑈)‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
70		frgpup.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
71	13, 70, 14, 2	vrgpf 19289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶𝑋)
72	10, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶𝑋)
73		fvco3 6849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈:𝐼⟶𝑋 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝐾 ∘ 𝑈)‘𝑖) = (𝐾‘(𝑈‘𝑖)))
74	72, 73	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝐾 ∘ 𝑈)‘𝑖) = (𝐾‘(𝑈‘𝑖)))
75	69, 74	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑖) = (𝐾‘(𝑈‘𝑖)))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = ∅) → (𝐹‘𝑖) = (𝐾‘(𝑈‘𝑖)))
77		iftrue 4462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = ∅ → if(𝑗 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))) = (𝐹‘𝑖))
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = ∅) → if(𝑗 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))) = (𝐹‘𝑖))
79		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = ∅) → 𝑗 = ∅)
80	79	opeq2d 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = ∅) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑖, ∅⟩)
81	80	s1eqd 14234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = ∅) → ⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩ = ⟨“⟨𝑖, ∅⟩”⟩)
82	81	eceq1d 8495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = ∅) → [⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ = [⟨“⟨𝑖, ∅⟩”⟩] ∼ )
83	13, 70	vrgpval 19288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑖) = [⟨“⟨𝑖, ∅⟩”⟩] ∼ )
84	10, 83	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑖) = [⟨“⟨𝑖, ∅⟩”⟩] ∼ )
85	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = ∅) → (𝑈‘𝑖) = [⟨“⟨𝑖, ∅⟩”⟩] ∼ )
86	82, 85	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = ∅) → [⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ = (𝑈‘𝑖))
87	86	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = ∅) → (𝐾‘[⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ ) = (𝐾‘(𝑈‘𝑖)))
88	76, 78, 87	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = ∅) → if(𝑗 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))) = (𝐾‘[⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ ))
89	75	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝐹‘𝑖)) = (𝑁‘(𝐾‘(𝑈‘𝑖))))
90	72	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑖) ∈ 𝑋)
91		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
92	2, 91, 7	ghminv 18756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ 𝑋) → (𝐾‘((invg‘𝐺)‘(𝑈‘𝑖))) = (𝑁‘(𝐾‘(𝑈‘𝑖))))
93	1, 90, 92	syl2an2r 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐾‘((invg‘𝐺)‘(𝑈‘𝑖))) = (𝑁‘(𝐾‘(𝑈‘𝑖))))
94	89, 93	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐾‘((invg‘𝐺)‘(𝑈‘𝑖))))
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) → (𝑁‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐾‘((invg‘𝐺)‘(𝑈‘𝑖))))
96		1n0 8286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1o ≠ ∅
97		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) → 𝑗 = 1o)
98	97	neeq1d 3002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) → (𝑗 ≠ ∅ ↔ 1o ≠ ∅))
99	96, 98	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) → 𝑗 ≠ ∅)
100		ifnefalse 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ≠ ∅ → if(𝑗 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))) = (𝑁‘(𝐹‘𝑖)))
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) → if(𝑗 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))) = (𝑁‘(𝐹‘𝑖)))
102	97	opeq2d 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑖, 1o⟩)
103	102	s1eqd 14234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) → ⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩ = ⟨“⟨𝑖, 1o⟩”⟩)
104	103	eceq1d 8495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) → [⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ = [⟨“⟨𝑖, 1o⟩”⟩] ∼ )
105	13, 70, 14, 91	vrgpinv 19290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝐺)‘(𝑈‘𝑖)) = [⟨“⟨𝑖, 1o⟩”⟩] ∼ )
106	10, 105	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝐺)‘(𝑈‘𝑖)) = [⟨“⟨𝑖, 1o⟩”⟩] ∼ )
107	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) → ((invg‘𝐺)‘(𝑈‘𝑖)) = [⟨“⟨𝑖, 1o⟩”⟩] ∼ )
108	104, 107	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) → [⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ = ((invg‘𝐺)‘(𝑈‘𝑖)))
109	108	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) → (𝐾‘[⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ ) = (𝐾‘((invg‘𝐺)‘(𝑈‘𝑖))))
110	95, 101, 109	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) → if(𝑗 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))) = (𝐾‘[⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ ))
111	88, 110	jaodan 954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o)) → if(𝑗 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))) = (𝐾‘[⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ ))
112	66, 111	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 2o) → if(𝑗 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))) = (𝐾‘[⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ ))
113	112	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 2o)) → if(𝑗 = ∅, (𝐹‘𝑖), (𝑁‘(𝐹‘𝑖))) = (𝐾‘[⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ ))
114	63, 113	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 2o)) → (𝑖𝑇𝑗) = (𝐾‘[⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ ))
115		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡‘𝑛) = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (𝑇‘(𝑡‘𝑛)) = (𝑇‘⟨𝑖, 𝑗⟩))
116		df-ov 7258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖𝑇𝑗) = (𝑇‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
117	115, 116	eqtr4di 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡‘𝑛) = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (𝑇‘(𝑡‘𝑛)) = (𝑖𝑇𝑗))
118		s1eq 14233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡‘𝑛) = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → ⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩ = ⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩)
119	118	eceq1d 8495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡‘𝑛) = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → [⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ = [⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ )
120	119	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡‘𝑛) = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (𝐾‘[⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ ) = (𝐾‘[⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ ))
121	117, 120	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡‘𝑛) = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → ((𝑇‘(𝑡‘𝑛)) = (𝐾‘[⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ ) ↔ (𝑖𝑇𝑗) = (𝐾‘[⟨“⟨𝑖, 𝑗⟩”⟩] ∼ )))
122	114, 121	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 2o)) → ((𝑡‘𝑛) = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (𝑇‘(𝑡‘𝑛)) = (𝐾‘[⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ )))
123	122	rexlimdvva 3222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑗 ∈ 2o (𝑡‘𝑛) = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (𝑇‘(𝑡‘𝑛)) = (𝐾‘[⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ )))
124	123	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡))) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 ∃𝑗 ∈ 2o (𝑡‘𝑛) = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (𝑇‘(𝑡‘𝑛)) = (𝐾‘[⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ )))
125	53, 124	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡))) → (𝑇‘(𝑡‘𝑛)) = (𝐾‘[⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ ))
126	125	mpteq2dva 5170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡)) ↦ (𝑇‘(𝑡‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡)) ↦ (𝐾‘[⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ )))
127	3, 7, 8, 9, 10, 11	frgpuptf 19291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
128		fcompt 6987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵 ∧ 𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑇 ∘ 𝑡) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡)) ↦ (𝑇‘(𝑡‘𝑛))))
129	127, 50, 128	syl2an2r 681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝑇 ∘ 𝑡) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡)) ↦ (𝑇‘(𝑡‘𝑛))))
130	51	s1cld 14236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡))) → ⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
131	29	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡))) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
132	130, 131	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡))) → ⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩ ∈ 𝑊)
133	14, 13, 12, 2	frgpeccl 19282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩ ∈ 𝑊 → [⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ ∈ 𝑋)
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡))) → [⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ ∈ 𝑋)
135	50	feqmptd 6819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → 𝑡 = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡)) ↦ (𝑡‘𝑛)))
136	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑉)
137	136, 23, 24	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
138		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (varFMnd‘(𝐼 × 2o)) = (varFMnd‘(𝐼 × 2o))
139	138	vrmdfval 18410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (varFMnd‘(𝐼 × 2o)) = (𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ⟨“𝑤”⟩))
140	137, 139	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (varFMnd‘(𝐼 × 2o)) = (𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ⟨“𝑤”⟩))
141		s1eq 14233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝑡‘𝑛) → ⟨“𝑤”⟩ = ⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩)
142	51, 135, 140, 141	fmptco 6983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡)) ↦ ⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩))
143		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) = (𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ))
144		eceq1 8494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩ → [𝑤] ∼ = [⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ )
145	132, 142, 143, 144	fmptco 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡)) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡)) ↦ [⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ ))
146	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
147	146, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → 𝐾:𝑋⟶𝐵)
148	147	feqmptd 6819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → 𝐾 = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝐾‘𝑤)))
149		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = [⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ → (𝐾‘𝑤) = (𝐾‘[⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ ))
150	134, 145, 148, 149	fmptco 6983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝐾 ∘ ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡))) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑡)) ↦ (𝐾‘[⟨“(𝑡‘𝑛)”⟩] ∼ )))
151	126, 129, 150	3eqtr4d 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝑇 ∘ 𝑡) = (𝐾 ∘ ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡))))
152	151	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑡)) = (𝐻 Σg (𝐾 ∘ ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡)))))
153	3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15	frgpupval 19295	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝐸‘[𝑡] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑡)))
154		ghmmhm 18759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
155	146, 154	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
156	138	vrmdf 18412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (varFMnd‘(𝐼 × 2o)):(𝐼 × 2o)⟶Word (𝐼 × 2o))
157	137, 156	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (varFMnd‘(𝐼 × 2o)):(𝐼 × 2o)⟶Word (𝐼 × 2o))
158	47	feq3d 6571	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)):(𝐼 × 2o)⟶𝑊 ↔ (varFMnd‘(𝐼 × 2o)):(𝐼 × 2o)⟶Word (𝐼 × 2o)))
159	157, 158	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (varFMnd‘(𝐼 × 2o)):(𝐼 × 2o)⟶𝑊)
160		wrdco 14472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (varFMnd‘(𝐼 × 2o)):(𝐼 × 2o)⟶𝑊) → ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡) ∈ Word 𝑊)
161	48, 159, 160	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡) ∈ Word 𝑊)
162	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
163	162	mpteq1d 5165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) = (𝑤 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ↦ [𝑤] ∼ ))
164		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ↦ [𝑤] ∼ ) = (𝑤 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ↦ [𝑤] ∼ )
165	20, 30, 14, 13, 164	frgpmhm 19286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑤 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ↦ [𝑤] ∼ ) ∈ ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) MndHom 𝐺))
166	136, 165	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝑤 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ↦ [𝑤] ∼ ) ∈ ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) MndHom 𝐺))
167	163, 166	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∈ ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) MndHom 𝐺))
168	30, 2	mhmf 18350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∈ ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) MndHom 𝐺) → (𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ):(Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))⟶𝑋)
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ):(Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))⟶𝑋)
170	162	feq2d 6570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ):𝑊⟶𝑋 ↔ (𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ):(Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))⟶𝑋))
171	169, 170	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ):𝑊⟶𝑋)
172		wrdco 14472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ):𝑊⟶𝑋) → ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡)) ∈ Word 𝑋)
173	161, 171, 172	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡)) ∈ Word 𝑋)
174	2	gsumwmhm 18399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡)) ∈ Word 𝑋) → (𝐾‘(𝐺 Σg ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡)))) = (𝐻 Σg (𝐾 ∘ ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡)))))
175	155, 173, 174	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝐾‘(𝐺 Σg ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡)))) = (𝐻 Σg (𝐾 ∘ ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡)))))
176	152, 153, 175	3eqtr4d 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝐸‘[𝑡] ∼ ) = (𝐾‘(𝐺 Σg ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡)))))
177	20, 138	frmdgsum 18416	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 × 2o) ∈ V ∧ 𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) Σg ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡)) = 𝑡)
178	25, 48, 177	syl2an2r 681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) Σg ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡)) = 𝑡)
179	178	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ )‘((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) Σg ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡))) = ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ )‘𝑡))
180		wrdco 14472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (varFMnd‘(𝐼 × 2o)):(𝐼 × 2o)⟶Word (𝐼 × 2o)) → ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡) ∈ Word Word (𝐼 × 2o))
181	48, 157, 180	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡) ∈ Word Word (𝐼 × 2o))
182	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
183		wrdeq 14167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o) → Word (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word Word (𝐼 × 2o))
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → Word (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word Word (𝐼 × 2o))
185	181, 184	eleqtrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡) ∈ Word (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
186	30	gsumwmhm 18399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∈ ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) MndHom 𝐺) ∧ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡) ∈ Word (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ )‘((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) Σg ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡))) = (𝐺 Σg ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡))))
187	167, 185, 186	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ )‘((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) Σg ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡))) = (𝐺 Σg ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡))))
188	12, 13	efger 19239	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ Er 𝑊
189	188	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → ∼ Er 𝑊)
190	12	fvexi 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ∈ V
191	190	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → 𝑊 ∈ V)
192		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) = (𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ )
193	189, 191, 192	divsfval 17175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ )‘𝑡) = [𝑡] ∼ )
194	179, 187, 193	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝐺 Σg ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡))) = [𝑡] ∼ )
195	194	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝐾‘(𝐺 Σg ((𝑤 ∈ 𝑊 ↦ [𝑤] ∼ ) ∘ ((varFMnd‘(𝐼 × 2o)) ∘ 𝑡)))) = (𝐾‘[𝑡] ∼ ))
196	176, 195	eqtr2d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑊) → (𝐾‘[𝑡] ∼ ) = (𝐸‘[𝑡] ∼ ))
197	42, 45, 196	ectocld 8531	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑊 / ∼ )) → (𝐾‘𝑎) = (𝐸‘𝑎))
198	41, 197	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝐾‘𝑎) = (𝐸‘𝑎))
199	6, 19, 198	eqfnfvd 6894	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ifcif 4456  {cpr 4560  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5153   I cid 5479   × cxp 5578  ran crn 5581   ∘ ccom 5584  Oncon0 6251   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  1_oc1o 8260  2_oc2o 8261   Er wer 8453  [cec 8454   / cqs 8455  0cc0 10802  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  ⟨“cs1 14228  Basecbs 16840   Σ_g cgsu 17068   /_s cqus 17133   MndHom cmhm 18343  freeMndcfrmd 18401  var_FMndcvrmd 18402  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493   GrpHom cghm 18746   ~_FG cefg 19227  freeGrpcfrgp 19228  var_FGrpcvrgp 19229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-splice 14391  df-reverse 14400  df-s2 14489  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-imas 17136  df-qus 17137  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-frmd 18403  df-vrmd 18404  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-ghm 18747  df-efg 19230  df-frgp 19231  df-vrgp 19232

This theorem is referenced by:  frgpup3  19299