MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup3lem 19734
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
frgpup.n 𝑁 = (invgβ€˜π»)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
frgpup.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
frgpup.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpup.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpup.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
frgpup.u π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
frgpup3.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
frgpup3.e (πœ‘ β†’ (𝐾 ∘ π‘ˆ) = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
frgpup3lem (πœ‘ β†’ 𝐾 = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐡,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   πœ‘,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,π‘Š
Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   π‘ˆ(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   π‘Š(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup3lem
Dummy variables π‘Ž 𝑑 𝑛 𝑖 𝑗 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup3.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
2 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
3 frgpup.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
42, 3ghmf 19176 . . 3 (𝐾 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) β†’ 𝐾:π‘‹βŸΆπ΅)
5 ffn 6716 . . 3 (𝐾:π‘‹βŸΆπ΅ β†’ 𝐾 Fn 𝑋)
61, 4, 53syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 Fn 𝑋)
7 frgpup.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π»)
8 frgpup.t . . . 4 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
9 frgpup.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
10 frgpup.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
11 frgpup.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
12 frgpup.w . . . 4 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
13 frgpup.r . . . 4 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
14 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
15 frgpup.e . . . 4 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
163, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15frgpup1 19732 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
172, 3ghmf 19176 . . 3 (𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) β†’ 𝐸:π‘‹βŸΆπ΅)
18 ffn 6716 . . 3 (𝐸:π‘‹βŸΆπ΅ β†’ 𝐸 Fn 𝑋)
1916, 17, 183syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 Fn 𝑋)
20 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
2114, 20, 13frgpval 19715 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
2210, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
23 2on 8497 . . . . . . . . . . 11 2o ∈ On
24 xpexg 7749 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
2510, 23, 24sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
26 wrdexg 14504 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
27 fvi 6968 . . . . . . . . . 10 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2912, 28eqtrid 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
30 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
3120, 30frmdbas 18806 . . . . . . . . 9 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
3225, 31syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
3329, 32eqtr4d 2768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3413fvexi 6905 . . . . . . . 8 ∼ ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∼ ∈ V)
36 fvexd 6906 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ V)
3722, 33, 35, 36qusbas 17524 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š / ∼ ) = (Baseβ€˜πΊ))
382, 37eqtr4id 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘Š / ∼ ))
39 eqimss 4031 . . . . 5 (𝑋 = (π‘Š / ∼ ) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘Š / ∼ ))
4038, 39syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (π‘Š / ∼ ))
4140sselda 3972 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ π‘Ž ∈ (π‘Š / ∼ ))
42 eqid 2725 . . . 4 (π‘Š / ∼ ) = (π‘Š / ∼ )
43 fveq2 6891 . . . . 5 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ (πΎβ€˜[𝑑] ∼ ) = (πΎβ€˜π‘Ž))
44 fveq2 6891 . . . . 5 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ) = (πΈβ€˜π‘Ž))
4543, 44eqeq12d 2741 . . . 4 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ ((πΎβ€˜[𝑑] ∼ ) = (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ) ↔ (πΎβ€˜π‘Ž) = (πΈβ€˜π‘Ž)))
46 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ 𝑑 ∈ π‘Š)
4729adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
4846, 47eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ 𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
49 wrdf 14499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ 𝑑:(0..^(β™―β€˜π‘‘))⟢(𝐼 Γ— 2o))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ 𝑑:(0..^(β™―β€˜π‘‘))⟢(𝐼 Γ— 2o))
5150ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘))) β†’ (π‘‘β€˜π‘›) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
52 elxp2 5696 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‘β€˜π‘›) ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘— ∈ 2o (π‘‘β€˜π‘›) = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©)
5351, 52sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘— ∈ 2o (π‘‘β€˜π‘›) = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©)
54 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘–))
5554fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑖 β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
5654, 55ifeq12d 4545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑖 β†’ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) = if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
57 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑗 β†’ (𝑧 = βˆ… ↔ 𝑗 = βˆ…))
5857ifbid 4547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑗 β†’ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = if(𝑗 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
59 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πΉβ€˜π‘–) ∈ V
60 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ V
6159, 60ifex 4574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(𝑗 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ V
6256, 58, 8, 61ovmpo 7577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 2o) β†’ (𝑖𝑇𝑗) = if(𝑗 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
6362adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 2o)) β†’ (𝑖𝑇𝑗) = if(𝑗 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
64 elpri 4647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ {βˆ…, 1o} β†’ (𝑗 = βˆ… ∨ 𝑗 = 1o))
65 df2o3 8491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2o = {βˆ…, 1o}
6664, 65eleq2s 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ 2o β†’ (𝑗 = βˆ… ∨ 𝑗 = 1o))
67 frgpup3.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∘ π‘ˆ) = 𝐹)
6867adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝐾 ∘ π‘ˆ) = 𝐹)
6968fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐾 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘–))
70 frgpup.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
7113, 70, 14, 2vrgpf 19725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:πΌβŸΆπ‘‹)
7210, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:πΌβŸΆπ‘‹)
73 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘ˆ:πΌβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐾 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘–) = (πΎβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘–)))
7472, 73sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐾 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘–) = (πΎβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘–)))
7569, 74eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΎβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘–)))
7675adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΎβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘–)))
77 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = βˆ… β†’ if(𝑗 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (πΉβ€˜π‘–))
7877adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = βˆ…) β†’ if(𝑗 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (πΉβ€˜π‘–))
79 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = βˆ…) β†’ 𝑗 = βˆ…)
8079opeq2d 4876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = βˆ…) β†’ βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© = βŸ¨π‘–, βˆ…βŸ©)
8180s1eqd 14581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = βˆ…) β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
8281eceq1d 8760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = βˆ…) β†’ [βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ = [βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
8313, 70vrgpval 19724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) = [βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
8410, 83sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) = [βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
8584adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = βˆ…) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) = [βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
8682, 85eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = βˆ…) β†’ [βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ = (π‘ˆβ€˜π‘–))
8786fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = βˆ…) β†’ (πΎβ€˜[βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ ) = (πΎβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘–)))
8876, 78, 873eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = βˆ…) β†’ if(𝑗 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ ))
8975fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = (π‘β€˜(πΎβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘–))))
9072ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝑋)
91 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
922, 91, 7ghminv 19179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ 𝑋) β†’ (πΎβ€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘–))) = (π‘β€˜(πΎβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘–))))
931, 90, 92syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (πΎβ€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘–))) = (π‘β€˜(πΎβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘–))))
9489, 93eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = (πΎβ€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘–))))
9594adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = (πΎβ€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘–))))
96 1n0 8505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1o β‰  βˆ…
97 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) β†’ 𝑗 = 1o)
9897neeq1d 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) β†’ (𝑗 β‰  βˆ… ↔ 1o β‰  βˆ…))
9996, 98mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) β†’ 𝑗 β‰  βˆ…)
100 ifnefalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 β‰  βˆ… β†’ if(𝑗 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) β†’ if(𝑗 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
10297opeq2d 4876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) β†’ βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© = βŸ¨π‘–, 1o⟩)
103102s1eqd 14581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, 1oβŸ©β€βŸ©)
104103eceq1d 8760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) β†’ [βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ = [βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, 1oβŸ©β€βŸ©] ∼ )
10513, 70, 14, 91vrgpinv 19726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘–)) = [βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, 1oβŸ©β€βŸ©] ∼ )
10610, 105sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘–)) = [βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, 1oβŸ©β€βŸ©] ∼ )
107106adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘–)) = [βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, 1oβŸ©β€βŸ©] ∼ )
108104, 107eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) β†’ [βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ = ((invgβ€˜πΊ)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘–)))
109108fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) β†’ (πΎβ€˜[βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ ) = (πΎβ€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘–))))
11095, 101, 1093eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 1o) β†’ if(𝑗 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ ))
11188, 110jaodan 955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (𝑗 = βˆ… ∨ 𝑗 = 1o)) β†’ if(𝑗 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ ))
11266, 111sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 2o) β†’ if(𝑗 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ ))
113112anasss 465 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 2o)) β†’ if(𝑗 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘–), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘–))) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ ))
11463, 113eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 2o)) β†’ (𝑖𝑇𝑗) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ ))
115 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘‘β€˜π‘›) = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜π‘›)) = (π‘‡β€˜βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©))
116 df-ov 7418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑇𝑗) = (π‘‡β€˜βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©)
117115, 116eqtr4di 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‘β€˜π‘›) = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜π‘›)) = (𝑖𝑇𝑗))
118 s1eq 14580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘‘β€˜π‘›) = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ© = βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©)
119118eceq1d 8760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘‘β€˜π‘›) = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ [βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ = [βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ )
120119fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‘β€˜π‘›) = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ (πΎβ€˜[βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ ) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ ))
121117, 120eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘‘β€˜π‘›) = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ ((π‘‡β€˜(π‘‘β€˜π‘›)) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ ) ↔ (𝑖𝑇𝑗) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œβŸ¨π‘–, π‘—βŸ©β€βŸ©] ∼ )))
122114, 121syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 2o)) β†’ ((π‘‘β€˜π‘›) = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜π‘›)) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ )))
123122rexlimdvva 3202 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘— ∈ 2o (π‘‘β€˜π‘›) = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜π‘›)) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ )))
124123ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘))) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘— ∈ 2o (π‘‘β€˜π‘›) = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜π‘›)) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ )))
12553, 124mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘))) β†’ (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜π‘›)) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ ))
126125mpteq2dva 5243 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘)) ↦ (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘)) ↦ (πΎβ€˜[βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ )))
1273, 7, 8, 9, 10, 11frgpuptf 19727 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡)
128 fcompt 7137 . . . . . . . . 9 ((𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡 ∧ 𝑑:(0..^(β™―β€˜π‘‘))⟢(𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑇 ∘ 𝑑) = (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘)) ↦ (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜π‘›))))
129127, 50, 128syl2an2r 683 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝑇 ∘ 𝑑) = (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘)) ↦ (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜π‘›))))
13051s1cld 14583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘))) β†’ βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
13129ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘))) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
132130, 131eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘))) β†’ βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ© ∈ π‘Š)
13314, 13, 12, 2frgpeccl 19718 . . . . . . . . . 10 (βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ© ∈ π‘Š β†’ [βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ ∈ 𝑋)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘))) β†’ [βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ ∈ 𝑋)
13550feqmptd 6961 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ 𝑑 = (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘)) ↦ (π‘‘β€˜π‘›)))
13610adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
137136, 23, 24sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
138 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
139138vrmdfval 18810 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))
140137, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ©))
141 s1eq 14580 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘‘β€˜π‘›) β†’ βŸ¨β€œπ‘€β€βŸ© = βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©)
14251, 135, 140, 141fmptco 7133 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑) = (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘)) ↦ βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©))
143 eqidd 2726 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) = (𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ))
144 eceq1 8759 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ© β†’ [𝑀] ∼ = [βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ )
145132, 142, 143, 144fmptco 7133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑)) = (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘)) ↦ [βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ ))
1461adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
147146, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ 𝐾:π‘‹βŸΆπ΅)
148147feqmptd 6961 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ 𝐾 = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (πΎβ€˜π‘€)))
149 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑀 = [βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ β†’ (πΎβ€˜π‘€) = (πΎβ€˜[βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ ))
150134, 145, 148, 149fmptco 7133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝐾 ∘ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑))) = (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‘)) ↦ (πΎβ€˜[βŸ¨β€œ(π‘‘β€˜π‘›)β€βŸ©] ∼ )))
151126, 129, 1503eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝑇 ∘ 𝑑) = (𝐾 ∘ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑))))
152151oveq2d 7431 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑)) = (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑)))))
1533, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15frgpupval 19731 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑)))
154 ghmmhm 19182 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
155146, 154syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
156138vrmdf 18812 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)):(𝐼 Γ— 2o)⟢Word (𝐼 Γ— 2o))
157137, 156syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)):(𝐼 Γ— 2o)⟢Word (𝐼 Γ— 2o))
15847feq3d 6703 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)):(𝐼 Γ— 2o)βŸΆπ‘Š ↔ (varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)):(𝐼 Γ— 2o)⟢Word (𝐼 Γ— 2o)))
159157, 158mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)):(𝐼 Γ— 2o)βŸΆπ‘Š)
160 wrdco 14812 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)):(𝐼 Γ— 2o)βŸΆπ‘Š) β†’ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑) ∈ Word π‘Š)
16148, 159, 160syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑) ∈ Word π‘Š)
16233adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
163162mpteq1d 5238 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) = (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ↦ [𝑀] ∼ ))
164 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ↦ [𝑀] ∼ ) = (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ↦ [𝑀] ∼ )
16520, 30, 14, 13, 164frgpmhm 19722 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ↦ [𝑀] ∼ ) ∈ ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) MndHom 𝐺))
166136, 165syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ↦ [𝑀] ∼ ) ∈ ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) MndHom 𝐺))
167163, 166eqeltrd 2825 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∈ ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) MndHom 𝐺))
16830, 2mhmf 18743 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∈ ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) MndHom 𝐺) β†’ (𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ):(Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))βŸΆπ‘‹)
169167, 168syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ):(Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))βŸΆπ‘‹)
170162feq2d 6702 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ):π‘ŠβŸΆπ‘‹ ↔ (𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ):(Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))βŸΆπ‘‹))
171169, 170mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ):π‘ŠβŸΆπ‘‹)
172 wrdco 14812 . . . . . . . 8 ((((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑) ∈ Word π‘Š ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ):π‘ŠβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑)) ∈ Word 𝑋)
173161, 171, 172syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑)) ∈ Word 𝑋)
1742gsumwmhm 18799 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑)) ∈ Word 𝑋) β†’ (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑)))) = (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑)))))
175155, 173, 174syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑)))) = (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑)))))
176152, 153, 1753eqtr4d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑)))))
17720, 138frmdgsum 18816 . . . . . . . . 9 (((𝐼 Γ— 2o) ∈ V ∧ 𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) Ξ£g ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑)) = 𝑑)
17825, 48, 177syl2an2r 683 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) Ξ£g ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑)) = 𝑑)
179178fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ )β€˜((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) Ξ£g ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑))) = ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ )β€˜π‘‘))
180 wrdco 14812 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)):(𝐼 Γ— 2o)⟢Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑) ∈ Word Word (𝐼 Γ— 2o))
18148, 157, 180syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑) ∈ Word Word (𝐼 Γ— 2o))
18232adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
183 wrdeq 14516 . . . . . . . . . 10 ((Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ Word (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word Word (𝐼 Γ— 2o))
184182, 183syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ Word (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word Word (𝐼 Γ— 2o))
185181, 184eleqtrrd 2828 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑) ∈ Word (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
18630gsumwmhm 18799 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∈ ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) MndHom 𝐺) ∧ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑) ∈ Word (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))) β†’ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ )β€˜((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) Ξ£g ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑))) = (𝐺 Ξ£g ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑))))
187167, 185, 186syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ )β€˜((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) Ξ£g ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑))) = (𝐺 Ξ£g ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑))))
18812, 13efger 19675 . . . . . . . . 9 ∼ Er π‘Š
189188a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ ∼ Er π‘Š)
19012fvexi 6905 . . . . . . . . 9 π‘Š ∈ V
191190a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š ∈ V)
192 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) = (𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ )
193189, 191, 192divsfval 17526 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ )β€˜π‘‘) = [𝑑] ∼ )
194179, 187, 1933eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑))) = [𝑑] ∼ )
195194fveq2d 6895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g ((𝑀 ∈ π‘Š ↦ [𝑀] ∼ ) ∘ ((varFMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∘ 𝑑)))) = (πΎβ€˜[𝑑] ∼ ))
196176, 195eqtr2d 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (πΎβ€˜[𝑑] ∼ ) = (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ))
19742, 45, 196ectocld 8799 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (π‘Š / ∼ )) β†’ (πΎβ€˜π‘Ž) = (πΈβ€˜π‘Ž))
19841, 197syldan 589 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (πΎβ€˜π‘Ž) = (πΈβ€˜π‘Ž))
1996, 19, 198eqfnfvd 7037 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630   ↦ cmpt 5226   I cid 5569   Γ— cxp 5670  ran crn 5673   ∘ ccom 5676  Oncon0 6364   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  1oc1o 8476  2oc2o 8477   Er wer 8718  [cec 8719   / cqs 8720  0cc0 11136  ..^cfzo 13657  β™―chash 14319  Word cword 14494  βŸ¨β€œcs1 14575  Basecbs 17177   Ξ£g cgsu 17419   /s cqus 17484   MndHom cmhm 18735  freeMndcfrmd 18801  varFMndcvrmd 18802  Grpcgrp 18892  invgcminusg 18893   GrpHom cghm 19169   ~FG cefg 19663  freeGrpcfrgp 19664  varFGrpcvrgp 19665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-word 14495  df-lsw 14543  df-concat 14551  df-s1 14576  df-substr 14621  df-pfx 14651  df-splice 14730  df-reverse 14739  df-s2 14829  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-imas 17487  df-qus 17488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-frmd 18803  df-vrmd 18804  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-ghm 19170  df-efg 19666  df-frgp 19667  df-vrgp 19668
This theorem is referenced by:  frgpup3  19735
  Copyright terms: Public domain W3C validator