Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusvsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusvsval 33112
Description: Value of the scalar multiplication operation on the quotient structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgvscpbl.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
eqgvscpbl.e ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
eqgvscpbl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
qusvsval.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusvsval.m βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘)
qusvsval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
qusvsval (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ™ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))

Proof of Theorem qusvsval
Dummy variables π‘˜ 𝑒 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqgvscpbl.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
2 qusvsval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 qusvsval.n . . . . . 6 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
5 eqgvscpbl.v . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€))
7 eqid 2725 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))
8 ovex 7449 . . . . . 6 (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
10 eqgvscpbl.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
114, 6, 7, 9, 10qusval 17523 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺)) β€œs 𝑀))
124, 6, 7, 9, 10quslem 17524 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺)):𝐡–ontoβ†’(𝐡 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
13 eqid 2725 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
14 eqgvscpbl.s . . . 4 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
15 eqgvscpbl.p . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
16 qusvsval.m . . . 4 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘)
17 eqgvscpbl.e . . . . 5 ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
1810adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
19 eqgvscpbl.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
2019adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
21 simpr1 1191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑆)
22 simpr2 1192 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
23 simpr3 1193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
245, 17, 14, 15, 18, 20, 21, 3, 16, 7, 22, 23qusvscpbl 33111 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘’) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘£) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜(π‘˜ Β· 𝑒)) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜(π‘˜ Β· 𝑣))))
2511, 6, 12, 10, 13, 14, 15, 16, 24imasvscaval 17519 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 βˆ™ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘‹)) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜(𝐾 Β· 𝑋)))
261, 2, 25mpd3an23 1459 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ™ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘‹)) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜(𝐾 Β· 𝑋)))
27 eceq1 8761 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
28 ecexg 8727 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
298, 28ax-mp 5 . . . . 5 [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3027, 7, 29fvmpt 7000 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘‹) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
312, 30syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘‹) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
3231oveq2d 7432 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ™ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘‹)) = (𝐾 βˆ™ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)))
335, 13, 15, 14lmodvscl 20765 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
3410, 1, 2, 33syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
35 eceq1 8761 . . . 4 (π‘₯ = (𝐾 Β· 𝑋) β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
36 ecexg 8727 . . . . 5 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
378, 36ax-mp 5 . . . 4 [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3835, 7, 37fvmpt 7000 . . 3 ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜(𝐾 Β· 𝑋)) = [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
3934, 38syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜(𝐾 Β· 𝑋)) = [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
4026, 32, 393eqtr3d 2773 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ™ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  [cec 8721   / cqs 8722  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236   /s cqus 17486   ~QG cqg 19081  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-0g 17422  df-imas 17489  df-qus 17490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-eqg 19084  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-lss 20820
This theorem is referenced by:  lmhmqusker  33176
  Copyright terms: Public domain W3C validator