Theorem qusvsval 33587

Description: Value of the scalar multiplication operation on the quotient structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgvscpbl.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
eqgvscpbl.e	⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
eqgvscpbl.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
eqgvscpbl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
eqgvscpbl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
qusvsval.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusvsval.m	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑁)
qusvsval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qusvsval	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∙ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))

Proof of Theorem qusvsval

Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqgvscpbl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
2		qusvsval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		qusvsval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
5		eqgvscpbl.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑀))
7		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
8		ovex 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
10		eqgvscpbl.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
11	4, 6, 7, 9, 10	qusval 17586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) “s 𝑀))
12	4, 6, 7, 9, 10	quslem 17587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)):𝐵–onto→(𝐵 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
14		eqgvscpbl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
15		eqgvscpbl.p	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
16		qusvsval.m	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑁)
17		eqgvscpbl.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
18	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ LMod)
19		eqgvscpbl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
20	19	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
21		simpr1 1211	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝑆)
22		simpr2 1212	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
23		simpr3 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑣 ∈ 𝐵)
24	5, 17, 14, 15, 18, 20, 21, 3, 16, 7, 22, 23	qusvscpbl 33586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑢) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑣) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘 · 𝑢)) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘 · 𝑣))))
25	11, 6, 12, 10, 13, 14, 15, 16, 24	imasvscaval 17582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∙ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)))
26	1, 2, 25	mpd3an23 1487	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∙ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)))
27		eceq1 8722	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
28		ecexg 8686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
29	8, 28	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
30	27, 7, 29	fvmpt 6979	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
31	2, 30	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
32	31	oveq2d 7416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∙ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋)) = (𝐾 ∙ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)))
33	5, 13, 15, 14	lmodvscl 20968	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
34	10, 1, 2, 33	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
35		eceq1 8722	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾 · 𝑋) → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
36		ecexg 8686	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
37	8, 36	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
38	35, 7, 37	fvmpt 6979	. . 3 ⊢ ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
39	34, 38	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
40	26, 32, 39	3eqtr3d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∙ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  [cec 8680   / cqs 8681  Basecbs 17259  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304   /_s cqus 17549   ~_QG cqg 19179  LModclmod 20950  LSubSpclss 21021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-0g 17484  df-imas 17552  df-qus 17553  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-eqg 19182  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-lmod 20952  df-lss 21022

This theorem is referenced by:  lmhmqusker  33642