Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusvsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusvsval 33360
Description: Value of the scalar multiplication operation on the quotient structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgvscpbl.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
eqgvscpbl.e = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
eqgvscpbl.p · = ( ·𝑠𝑀)
eqgvscpbl.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
eqgvscpbl.k (𝜑𝐾𝑆)
qusvsval.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusvsval.m = ( ·𝑠𝑁)
qusvsval.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
qusvsval (𝜑 → (𝐾 [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))

Proof of Theorem qusvsval
Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqgvscpbl.k . . 3 (𝜑𝐾𝑆)
2 qusvsval.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
3 qusvsval.n . . . . . 6 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
5 eqgvscpbl.v . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑀))
7 eqid 2735 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
8 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
10 eqgvscpbl.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
114, 6, 7, 9, 10qusval 17589 . . . 4 (𝜑𝑁 = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) “s 𝑀))
124, 6, 7, 9, 10quslem 17590 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)):𝐵onto→(𝐵 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
13 eqid 2735 . . . 4 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
14 eqgvscpbl.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
15 eqgvscpbl.p . . . 4 · = ( ·𝑠𝑀)
16 qusvsval.m . . . 4 = ( ·𝑠𝑁)
17 eqgvscpbl.e . . . . 5 = (𝑀 ~QG 𝐺)
1810adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑢𝐵𝑣𝐵)) → 𝑀 ∈ LMod)
19 eqgvscpbl.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑢𝐵𝑣𝐵)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
21 simpr1 1193 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑢𝐵𝑣𝐵)) → 𝑘𝑆)
22 simpr2 1194 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑢𝐵𝑣𝐵)) → 𝑢𝐵)
23 simpr3 1195 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑢𝐵𝑣𝐵)) → 𝑣𝐵)
245, 17, 14, 15, 18, 20, 21, 3, 16, 7, 22, 23qusvscpbl 33359 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑢𝐵𝑣𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑢) = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑣) → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘 · 𝑢)) = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘 · 𝑣))))
2511, 6, 12, 10, 13, 14, 15, 16, 24imasvscaval 17585 . . 3 ((𝜑𝐾𝑆𝑋𝐵) → (𝐾 ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋)) = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)))
261, 2, 25mpd3an23 1462 . 2 (𝜑 → (𝐾 ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋)) = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)))
27 eceq1 8783 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
28 ecexg 8748 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
298, 28ax-mp 5 . . . . 5 [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3027, 7, 29fvmpt 7016 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
312, 30syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
3231oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝐾 ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋)) = (𝐾 [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)))
335, 13, 15, 14lmodvscl 20893 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾𝑆𝑋𝐵) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3410, 1, 2, 33syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
35 eceq1 8783 . . . 4 (𝑥 = (𝐾 · 𝑋) → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
36 ecexg 8748 . . . . 5 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
378, 36ax-mp 5 . . . 4 [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3835, 7, 37fvmpt 7016 . . 3 ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
3934, 38syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
4026, 32, 393eqtr3d 2783 1 (𝜑 → (𝐾 [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742   / cqs 8743  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302   /s cqus 17552   ~QG cqg 19153  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-eqg 19156  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948
This theorem is referenced by:  lmhmqusker  33425
  Copyright terms: Public domain W3C validator