Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusvsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusvsval 32970
Description: Value of the scalar multiplication operation on the quotient structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgvscpbl.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
eqgvscpbl.e ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
eqgvscpbl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
qusvsval.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusvsval.m βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘)
qusvsval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
qusvsval (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ™ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))

Proof of Theorem qusvsval
Dummy variables π‘˜ 𝑒 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqgvscpbl.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
2 qusvsval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 qusvsval.n . . . . . 6 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
5 eqgvscpbl.v . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€))
7 eqid 2726 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))
8 ovex 7438 . . . . . 6 (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
10 eqgvscpbl.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
114, 6, 7, 9, 10qusval 17497 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺)) β€œs 𝑀))
124, 6, 7, 9, 10quslem 17498 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺)):𝐡–ontoβ†’(𝐡 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
13 eqid 2726 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
14 eqgvscpbl.s . . . 4 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
15 eqgvscpbl.p . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
16 qusvsval.m . . . 4 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘)
17 eqgvscpbl.e . . . . 5 ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
1810adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
19 eqgvscpbl.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
2019adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
21 simpr1 1191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑆)
22 simpr2 1192 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
23 simpr3 1193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
245, 17, 14, 15, 18, 20, 21, 3, 16, 7, 22, 23qusvscpbl 32969 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘’) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘£) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜(π‘˜ Β· 𝑒)) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜(π‘˜ Β· 𝑣))))
2511, 6, 12, 10, 13, 14, 15, 16, 24imasvscaval 17493 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 βˆ™ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘‹)) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜(𝐾 Β· 𝑋)))
261, 2, 25mpd3an23 1459 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ™ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘‹)) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜(𝐾 Β· 𝑋)))
27 eceq1 8743 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
28 ecexg 8709 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
298, 28ax-mp 5 . . . . 5 [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3027, 7, 29fvmpt 6992 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘‹) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
312, 30syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘‹) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
3231oveq2d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ™ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜π‘‹)) = (𝐾 βˆ™ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)))
335, 13, 15, 14lmodvscl 20724 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
3410, 1, 2, 33syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
35 eceq1 8743 . . . 4 (π‘₯ = (𝐾 Β· 𝑋) β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
36 ecexg 8709 . . . . 5 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
378, 36ax-mp 5 . . . 4 [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3835, 7, 37fvmpt 6992 . . 3 ((𝐾 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜(𝐾 Β· 𝑋)) = [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
3934, 38syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))β€˜(𝐾 Β· 𝑋)) = [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
4026, 32, 393eqtr3d 2774 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ™ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 Β· 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  [cec 8703   / cqs 8704  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210   /s cqus 17460   ~QG cqg 19049  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-0g 17396  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-eqg 19052  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779
This theorem is referenced by:  lmhmqusker  33040
  Copyright terms: Public domain W3C validator