Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusvsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusvsval 32933
Description: Value of the scalar multiplication operation on the quotient structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgvscpbl.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
eqgvscpbl.e = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
eqgvscpbl.p · = ( ·𝑠𝑀)
eqgvscpbl.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
eqgvscpbl.k (𝜑𝐾𝑆)
qusvsval.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusvsval.m = ( ·𝑠𝑁)
qusvsval.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
qusvsval (𝜑 → (𝐾 [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))

Proof of Theorem qusvsval
Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqgvscpbl.k . . 3 (𝜑𝐾𝑆)
2 qusvsval.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
3 qusvsval.n . . . . . 6 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
5 eqgvscpbl.v . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑀))
7 eqid 2724 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
8 ovex 7434 . . . . . 6 (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
10 eqgvscpbl.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
114, 6, 7, 9, 10qusval 17487 . . . 4 (𝜑𝑁 = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) “s 𝑀))
124, 6, 7, 9, 10quslem 17488 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)):𝐵onto→(𝐵 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
13 eqid 2724 . . . 4 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
14 eqgvscpbl.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
15 eqgvscpbl.p . . . 4 · = ( ·𝑠𝑀)
16 qusvsval.m . . . 4 = ( ·𝑠𝑁)
17 eqgvscpbl.e . . . . 5 = (𝑀 ~QG 𝐺)
1810adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑢𝐵𝑣𝐵)) → 𝑀 ∈ LMod)
19 eqgvscpbl.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑢𝐵𝑣𝐵)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
21 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑢𝐵𝑣𝐵)) → 𝑘𝑆)
22 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑢𝐵𝑣𝐵)) → 𝑢𝐵)
23 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑢𝐵𝑣𝐵)) → 𝑣𝐵)
245, 17, 14, 15, 18, 20, 21, 3, 16, 7, 22, 23qusvscpbl 32932 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑆𝑢𝐵𝑣𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑢) = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑣) → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘 · 𝑢)) = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘 · 𝑣))))
2511, 6, 12, 10, 13, 14, 15, 16, 24imasvscaval 17483 . . 3 ((𝜑𝐾𝑆𝑋𝐵) → (𝐾 ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋)) = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)))
261, 2, 25mpd3an23 1459 . 2 (𝜑 → (𝐾 ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋)) = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)))
27 eceq1 8737 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
28 ecexg 8703 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
298, 28ax-mp 5 . . . . 5 [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3027, 7, 29fvmpt 6988 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
312, 30syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
3231oveq2d 7417 . 2 (𝜑 → (𝐾 ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋)) = (𝐾 [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)))
335, 13, 15, 14lmodvscl 20714 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾𝑆𝑋𝐵) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3410, 1, 2, 33syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
35 eceq1 8737 . . . 4 (𝑥 = (𝐾 · 𝑋) → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
36 ecexg 8703 . . . . 5 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
378, 36ax-mp 5 . . . 4 [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3835, 7, 37fvmpt 6988 . . 3 ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
3934, 38syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
4026, 32, 393eqtr3d 2772 1 (𝜑 → (𝐾 [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  cmpt 5221  cfv 6533  (class class class)co 7401  [cec 8697   / cqs 8698  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200   /s cqus 17450   ~QG cqg 19039  LModclmod 20696  LSubSpclss 20768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-eqg 19042  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20698  df-lss 20769
This theorem is referenced by:  lmhmqusker  33003
  Copyright terms: Public domain W3C validator