Theorem qusghm 19123

Description: If 𝑌 is a normal subgroup of 𝐺, then the "natural map" from elements to their cosets is a group homomorphism from 𝐺 to 𝐺 / 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusghm.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
qusghm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
qusghm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
qusghm	⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem qusghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusghm.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2732	. 2 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3		eqid 2732	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqid 2732	. 2 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
5		nsgsubg 19032	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		subgrcl 19005	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
8		qusghm.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
9	8	qusgrp 19059	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
10	8, 1, 2	quseccl 19060	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
11		qusghm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
12	10, 11	fmptd 7110	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝐻))
13	8, 1, 3, 4	qusadd 19061	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g‘𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
14	13	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g‘𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
15		eceq1 8737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
16		ovex 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
17		ecexg 8703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
19	15, 11, 18	fvmpt3i 7000	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑦) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
20	19	ad2antrl 726	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑦) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
21		eceq1 8737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
22	21, 11, 18	fvmpt3i 7000	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑧) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
23	22	ad2antll 727	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑧) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
24	20, 23	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)) = ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g‘𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)))
25	1, 3	grpcl 18823	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
26	25	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
27	7, 26	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
28		eceq1 8737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
29	28, 11, 18	fvmpt3i 7000	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑋 → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = [(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
30	27, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = [(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
31	14, 24, 30	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
32	1, 2, 3, 4, 7, 9, 12, 31	isghmd 19095	1 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  [cec 8697  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193   /_s cqus 17447  Grpcgrp 18815  SubGrpcsubg 18994  NrmSGrpcnsg 18995   ~_QG cqg 18996   GrpHom cghm 19083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084

This theorem is referenced by:  qusrhm  20866  quslmhm  32458  nsgmgc  32511