MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusghm 19274
Description: If 𝑌 is a normal subgroup of 𝐺, then the "natural map" from elements to their cosets is a group homomorphism from 𝐺 to 𝐺 / 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusghm.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
qusghm.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
qusghm.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
Assertion
Ref Expression
qusghm (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem qusghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusghm.x . 2 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2736 . 2 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3 eqid 2736 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2736 . 2 (+g𝐻) = (+g𝐻)
5 nsgsubg 19177 . . 3 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 subgrcl 19150 . . 3 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . 2 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
8 qusghm.h . . 3 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
98qusgrp 19205 . 2 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
108, 1, 2quseccl 19206 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
11 qusghm.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
1210, 11fmptd 7133 . 2 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝐻))
138, 1, 3, 4qusadd 19207 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
14133expb 1120 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
15 eceq1 8785 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
16 ovex 7465 . . . . . . 7 (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
17 ecexg 8750 . . . . . . 7 ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . 6 [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
1915, 11, 18fvmpt3i 7020 . . . . 5 (𝑦𝑋 → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
2019ad2antrl 728 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
21 eceq1 8785 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
2221, 11, 18fvmpt3i 7020 . . . . 5 (𝑧𝑋 → (𝐹𝑧) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
2322ad2antll 729 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑧) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
2420, 23oveq12d 7450 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝐹𝑦)(+g𝐻)(𝐹𝑧)) = ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)))
251, 3grpcl 18960 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
26253expb 1120 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
277, 26sylan 580 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
28 eceq1 8785 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
2928, 11, 18fvmpt3i 7020 . . . 4 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋 → (𝐹‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
3027, 29syl 17 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
3114, 24, 303eqtr4rd 2787 . 2 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(+g𝐻)(𝐹𝑧)))
321, 2, 3, 4, 7, 9, 12, 31isghmd 19244 1 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  [cec 8744  Basecbs 17248  +gcplusg 17298   /s cqus 17551  Grpcgrp 18952  SubGrpcsubg 19139  NrmSGrpcnsg 19140   ~QG cqg 19141   GrpHom cghm 19231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-ghm 19232
This theorem is referenced by:  qusrhm  21287  quslmhm  33388  nsgmgc  33441
  Copyright terms: Public domain W3C validator