MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusghm 18389
Description: If 𝑌 is a normal subgroup of 𝐺, then the "natural map" from elements to their cosets is a group homomorphism from 𝐺 to 𝐺 / 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusghm.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
qusghm.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
qusghm.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
Assertion
Ref Expression
qusghm (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem qusghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusghm.x . 2 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2821 . 2 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3 eqid 2821 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2821 . 2 (+g𝐻) = (+g𝐻)
5 nsgsubg 18304 . . 3 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 subgrcl 18278 . . 3 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . 2 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
8 qusghm.h . . 3 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
98qusgrp 18329 . 2 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
108, 1, 2quseccl 18330 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
11 qusghm.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
1210, 11fmptd 6872 . 2 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝐻))
138, 1, 3, 4qusadd 18331 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
14133expb 1116 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
15 eceq1 8321 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
16 ovex 7183 . . . . . . 7 (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
17 ecexg 8287 . . . . . . 7 ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . 6 [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
1915, 11, 18fvmpt3i 6767 . . . . 5 (𝑦𝑋 → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
2019ad2antrl 726 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
21 eceq1 8321 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
2221, 11, 18fvmpt3i 6767 . . . . 5 (𝑧𝑋 → (𝐹𝑧) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
2322ad2antll 727 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑧) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
2420, 23oveq12d 7168 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝐹𝑦)(+g𝐻)(𝐹𝑧)) = ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)))
251, 3grpcl 18105 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
26253expb 1116 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
277, 26sylan 582 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
28 eceq1 8321 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
2928, 11, 18fvmpt3i 6767 . . . 4 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋 → (𝐹‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
3027, 29syl 17 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
3114, 24, 303eqtr4rd 2867 . 2 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(+g𝐻)(𝐹𝑧)))
321, 2, 3, 4, 7, 9, 12, 31isghmd 18361 1 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  Vcvv 3494  cmpt 5138  cfv 6349  (class class class)co 7150  [cec 8281  Basecbs 16477  +gcplusg 16559   /s cqus 16772  Grpcgrp 18097  SubGrpcsubg 18267  NrmSGrpcnsg 18268   ~QG cqg 18269   GrpHom cghm 18349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-ec 8285  df-qs 8289  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-0g 16709  df-imas 16775  df-qus 16776  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-subg 18270  df-nsg 18271  df-eqg 18272  df-ghm 18350
This theorem is referenced by:  qusrhm  20004  quslmhm  30919
  Copyright terms: Public domain W3C validator