Theorem qusghm 18871

Description: If 𝑌 is a normal subgroup of 𝐺, then the "natural map" from elements to their cosets is a group homomorphism from 𝐺 to 𝐺 / 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusghm.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
qusghm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
qusghm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
qusghm	⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem qusghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusghm.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3		eqid 2738	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqid 2738	. 2 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
5		nsgsubg 18786	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		subgrcl 18760	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
8		qusghm.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
9	8	qusgrp 18811	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
10	8, 1, 2	quseccl 18812	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
11		qusghm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
12	10, 11	fmptd 6988	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝐻))
13	8, 1, 3, 4	qusadd 18813	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g‘𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
14	13	3expb 1119	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g‘𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
15		eceq1 8536	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
16		ovex 7308	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
17		ecexg 8502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
19	15, 11, 18	fvmpt3i 6880	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑦) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
20	19	ad2antrl 725	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑦) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
21		eceq1 8536	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
22	21, 11, 18	fvmpt3i 6880	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑧) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
23	22	ad2antll 726	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑧) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
24	20, 23	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)) = ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g‘𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)))
25	1, 3	grpcl 18585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
26	25	3expb 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
27	7, 26	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
28		eceq1 8536	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
29	28, 11, 18	fvmpt3i 6880	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑋 → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = [(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
30	27, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = [(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
31	14, 24, 30	3eqtr4rd 2789	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑧)))
32	1, 2, 3, 4, 7, 9, 12, 31	isghmd 18843	1 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  [cec 8496  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962   /_s cqus 17216  Grpcgrp 18577  SubGrpcsubg 18749  NrmSGrpcnsg 18750   ~_QG cqg 18751   GrpHom cghm 18831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-0g 17152  df-imas 17219  df-qus 17220  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754  df-ghm 18832

This theorem is referenced by:  qusrhm  20508  quslmhm  31555  nsgmgc  31597