Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusvscpbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem qusvscpbl 32454
Description: The quotient map distributes over the scalar multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgvscpbl.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
eqgvscpbl.e ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
eqgvscpbl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
qusvsval.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusvsval.m βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘)
qusvscpbl.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))
qusvscpbl.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
qusvscpbl.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
qusvscpbl (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜π‘‰) β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑀   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯, Β·
Allowed substitution hints:   ∼ (π‘₯)   𝑆(π‘₯)   βˆ™ (π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝑁(π‘₯)
Proof of Theorem qusvscpbl
StepHypRef Expression
1 eqgvscpbl.v . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2 eqid 2732 . . . 4 (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
3 eqgvscpbl.s . . . 4 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
4 eqgvscpbl.p . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
5 eqgvscpbl.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
6 eqgvscpbl.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
7 eqgvscpbl.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7eqgvscpbl 32453 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ(𝑀 ~QG 𝐺)𝑉 β†’ (𝐾 Β· π‘ˆ)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝐾 Β· 𝑉)))
9 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘€)
109lsssubg 20560 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
115, 6, 10syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
121, 2eqger 19052 . . . . 5 (𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€) β†’ (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝐡)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝐡)
14 qusvscpbl.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1513, 14erth 8748 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ(𝑀 ~QG 𝐺)𝑉 ↔ [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺)))
16 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
171, 16, 4, 3lmodvscl 20481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡)
185, 7, 14, 17syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡)
1913, 18erth 8748 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· π‘ˆ)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝐾 Β· 𝑉) ↔ [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
208, 15, 193imtr3d 292 . 2 (πœ‘ β†’ ([π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) β†’ [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
21 eceq1 8737 . . . . 5 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺))
22 qusvscpbl.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))
23 ovex 7438 . . . . . 6 (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
24 ecexg 8703 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
2621, 22, 25fvmpt 6995 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) = [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺))
2714, 26syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) = [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺))
28 qusvscpbl.v . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
29 eceq1 8737 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑉 β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
30 ecexg 8703 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
3123, 30ax-mp 5 . . . . 5 [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3229, 22, 31fvmpt 6995 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘‰) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
3328, 32syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‰) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
3427, 33eqeq12d 2748 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜π‘‰) ↔ [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺)))
35 eceq1 8737 . . . . 5 (π‘₯ = (𝐾 Β· π‘ˆ) β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺))
36 ecexg 8703 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
3723, 36ax-mp 5 . . . . 5 [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3835, 22, 37fvmpt 6995 . . . 4 ((𝐾 Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺))
3918, 38syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺))
401, 16, 4, 3lmodvscl 20481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· 𝑉) ∈ 𝐡)
415, 7, 28, 40syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝑉) ∈ 𝐡)
42 eceq1 8737 . . . . 5 (π‘₯ = (𝐾 Β· 𝑉) β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
43 ecexg 8703 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
4423, 43ax-mp 5 . . . . 5 [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
4542, 22, 44fvmpt 6995 . . . 4 ((𝐾 Β· 𝑉) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉)) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
4641, 45syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉)) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
4739, 46eqeq12d 2748 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉)) ↔ [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
4820, 34, 473imtr4d 293 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜π‘‰) β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   Er wer 8696  [cec 8697  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197   /s cqus 17447  SubGrpcsubg 18994   ~QG cqg 18996  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-ec 8701  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-eqg 18999  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535
This theorem is referenced by:  qusvsval  32455  quslmod  32457  quslmhm  32458
  Copyright terms: Public domain W3C validator