Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusvscpbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem qusvscpbl 33111
Description: The quotient map distributes over the scalar multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgvscpbl.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
eqgvscpbl.e ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
eqgvscpbl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
qusvsval.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusvsval.m βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘)
qusvscpbl.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))
qusvscpbl.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
qusvscpbl.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
qusvscpbl (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜π‘‰) β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑀   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯, Β·
Allowed substitution hints:   ∼ (π‘₯)   𝑆(π‘₯)   βˆ™ (π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝑁(π‘₯)
Proof of Theorem qusvscpbl
StepHypRef Expression
1 eqgvscpbl.v . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2 eqid 2725 . . . 4 (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
3 eqgvscpbl.s . . . 4 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
4 eqgvscpbl.p . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
5 eqgvscpbl.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
6 eqgvscpbl.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
7 eqgvscpbl.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7eqgvscpbl 33110 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ(𝑀 ~QG 𝐺)𝑉 β†’ (𝐾 Β· π‘ˆ)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝐾 Β· 𝑉)))
9 eqid 2725 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘€)
109lsssubg 20845 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
115, 6, 10syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
121, 2eqger 19137 . . . . 5 (𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€) β†’ (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝐡)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝐡)
14 qusvscpbl.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1513, 14erth 8773 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ(𝑀 ~QG 𝐺)𝑉 ↔ [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺)))
16 eqid 2725 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
171, 16, 4, 3lmodvscl 20765 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡)
185, 7, 14, 17syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡)
1913, 18erth 8773 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· π‘ˆ)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝐾 Β· 𝑉) ↔ [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
208, 15, 193imtr3d 292 . 2 (πœ‘ β†’ ([π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) β†’ [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
21 eceq1 8761 . . . . 5 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺))
22 qusvscpbl.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))
23 ovex 7449 . . . . . 6 (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
24 ecexg 8727 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
2621, 22, 25fvmpt 7000 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) = [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺))
2714, 26syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) = [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺))
28 qusvscpbl.v . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
29 eceq1 8761 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑉 β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
30 ecexg 8727 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
3123, 30ax-mp 5 . . . . 5 [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3229, 22, 31fvmpt 7000 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘‰) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
3328, 32syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‰) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
3427, 33eqeq12d 2741 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜π‘‰) ↔ [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺)))
35 eceq1 8761 . . . . 5 (π‘₯ = (𝐾 Β· π‘ˆ) β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺))
36 ecexg 8727 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
3723, 36ax-mp 5 . . . . 5 [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3835, 22, 37fvmpt 7000 . . . 4 ((𝐾 Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺))
3918, 38syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺))
401, 16, 4, 3lmodvscl 20765 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· 𝑉) ∈ 𝐡)
415, 7, 28, 40syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝑉) ∈ 𝐡)
42 eceq1 8761 . . . . 5 (π‘₯ = (𝐾 Β· 𝑉) β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
43 ecexg 8727 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
4423, 43ax-mp 5 . . . . 5 [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
4542, 22, 44fvmpt 7000 . . . 4 ((𝐾 Β· 𝑉) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉)) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
4641, 45syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉)) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
4739, 46eqeq12d 2741 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉)) ↔ [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
4820, 34, 473imtr4d 293 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜π‘‰) β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   Er wer 8720  [cec 8721  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236   /s cqus 17486  SubGrpcsubg 19079   ~QG cqg 19081  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-ec 8725  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-eqg 19084  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-lss 20820
This theorem is referenced by:  qusvsval  33112  quslmod  33118  quslmhm  33119
  Copyright terms: Public domain W3C validator