Theorem qusvscpbl 33739

Description: The quotient map distributes over the scalar multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgvscpbl.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
eqgvscpbl.e	⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
eqgvscpbl.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
eqgvscpbl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
eqgvscpbl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
qusvsval.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusvsval.m	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑁)
qusvscpbl.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
qusvscpbl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
qusvscpbl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qusvscpbl	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉) → (𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = (𝐹‘(𝐾 · 𝑉))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑥)   𝑆(𝑥)   ∙ (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem qusvscpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqgvscpbl.v	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
3		eqgvscpbl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
4		eqgvscpbl.p	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
5		eqgvscpbl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
6		eqgvscpbl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
7		eqgvscpbl.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	eqgvscpbl 33738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈(𝑀 ~QG 𝐺)𝑉 → (𝐾 · 𝑈)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝐾 · 𝑉)))
9		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
10	9	lsssubg 21132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
11	5, 6, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
12	1, 2	eqger 19294	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝐵)
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝐵)
14		qusvscpbl.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
15	13, 14	erth 8755	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈(𝑀 ~QG 𝐺)𝑉 ↔ [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺)))
16		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
17	1, 16, 4, 3	lmodvscl 21053	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑈) ∈ 𝐵)
18	5, 7, 14, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑈) ∈ 𝐵)
19	13, 18	erth 8755	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑈)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝐾 · 𝑉) ↔ [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
20	8, 15, 19	3imtr3d 296	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) → [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
21		eceq1 8740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺))
22		qusvscpbl.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
23		ovex 7452	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
24		ecexg 8704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
26	21, 22, 25	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑈) = [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺))
27	14, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) = [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺))
28		qusvscpbl.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
29		eceq1 8740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑉 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
30		ecexg 8704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
31	23, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
32	29, 22, 31	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑉) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
33	28, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑉) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
34	27, 33	eqeq12d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉) ↔ [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺)))
35		eceq1 8740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 · 𝑈) → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺))
36		ecexg 8704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
37	23, 36	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
38	35, 22, 37	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ ((𝐾 · 𝑈) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺))
39	18, 38	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺))
40	1, 16, 4, 3	lmodvscl 21053	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑉) ∈ 𝐵)
41	5, 7, 28, 40	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑉) ∈ 𝐵)
42		eceq1 8740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 · 𝑉) → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
43		ecexg 8704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
44	23, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
45	42, 22, 44	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ ((𝐾 · 𝑉) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝐾 · 𝑉)) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
46	41, 45	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 · 𝑉)) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
47	39, 46	eqeq12d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = (𝐹‘(𝐾 · 𝑉)) ↔ [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
48	20, 34, 47	3imtr4d 297	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉) → (𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = (𝐹‘(𝐾 · 𝑉))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   Er wer 8697  [cec 8698  Basecbs 17295  Scalarcsca 17339   ·_𝑠 cvsca 17340   /_s cqus 17585  SubGrpcsubg 19234   ~_QG cqg 19236  LModclmod 21035  LSubSpclss 21106

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-ec 8702  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-0g 17520  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-subg 19237  df-eqg 19239  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-lmod 21037  df-lss 21107

This theorem is used by:  qusvsval  33740  quslmod  33746  quslmhm  33747