Theorem qusvscpbl 33968

Description: The quotient map distributes over the scalar multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgvscpbl.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
eqgvscpbl.e	⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
eqgvscpbl.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
eqgvscpbl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
eqgvscpbl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
qusvsval.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusvsval.m	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑁)
qusvscpbl.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
qusvscpbl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
qusvscpbl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qusvscpbl	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉) → (𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = (𝐹‘(𝐾 · 𝑉))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑥)   𝑆(𝑥)   ∙ (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem qusvscpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqgvscpbl.v	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
3		eqgvscpbl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
4		eqgvscpbl.p	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
5		eqgvscpbl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
6		eqgvscpbl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
7		eqgvscpbl.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	eqgvscpbl 33967	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈(𝑀 ~QG 𝐺)𝑉 → (𝐾 · 𝑈)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝐾 · 𝑉)))
9		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
10	9	lsssubg 21247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
11	5, 6, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
12	1, 2	eqger 19405	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝐵)
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝐵)
14		qusvscpbl.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
15	13, 14	erth 8786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈(𝑀 ~QG 𝐺)𝑉 ↔ [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺)))
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
17	1, 16, 4, 3	lmodvscl 21168	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑈) ∈ 𝐵)
18	5, 7, 14, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑈) ∈ 𝐵)
19	13, 18	erth 8786	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑈)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝐾 · 𝑉) ↔ [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
20	8, 15, 19	3imtr3d 296	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) → [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
21		eceq1 8771	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺))
22		qusvscpbl.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
23		ovex 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
24		ecexg 8735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
26	21, 22, 25	fvmpt 7004	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑈) = [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺))
27	14, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) = [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺))
28		qusvscpbl.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
29		eceq1 8771	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑉 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
30		ecexg 8735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
31	23, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
32	29, 22, 31	fvmpt 7004	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑉) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
33	28, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑉) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
34	27, 33	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉) ↔ [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺)))
35		eceq1 8771	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 · 𝑈) → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺))
36		ecexg 8735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
37	23, 36	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
38	35, 22, 37	fvmpt 7004	. . . 4 ⊢ ((𝐾 · 𝑈) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺))
39	18, 38	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺))
40	1, 16, 4, 3	lmodvscl 21168	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑉) ∈ 𝐵)
41	5, 7, 28, 40	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑉) ∈ 𝐵)
42		eceq1 8771	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 · 𝑉) → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
43		ecexg 8735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
44	23, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
45	42, 22, 44	fvmpt 7004	. . . 4 ⊢ ((𝐾 · 𝑉) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝐾 · 𝑉)) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
46	41, 45	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 · 𝑉)) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
47	39, 46	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = (𝐹‘(𝐾 · 𝑉)) ↔ [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
48	20, 34, 47	3imtr4d 297	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉) → (𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = (𝐹‘(𝐾 · 𝑉))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   Er wer 8728  [cec 8729  Basecbs 17402  Scalarcsca 17446   ·_𝑠 cvsca 17447   /_s cqus 17692  SubGrpcsubg 19345   ~_QG cqg 19347  LModclmod 21150  LSubSpclss 21221

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-ec 8733  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-eqg 19350  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-lmod 21152  df-lss 21222

This theorem is used by:  qusvsval  33969  quslmod  33975  quslmhm  33976