Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusvscpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusvscpbl 32190
Description: The quotient map distributes over the scalar multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgvscpbl.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
eqgvscpbl.e ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
eqgvscpbl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
eqgvscpbl.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
qusvsval.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusvsval.m βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘)
qusvscpbl.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))
qusvscpbl.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
qusvscpbl.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
qusvscpbl (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜π‘‰) β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑀   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯, Β·
Allowed substitution hints:   ∼ (π‘₯)   𝑆(π‘₯)   βˆ™ (π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem qusvscpbl
StepHypRef Expression
1 eqgvscpbl.v . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2 eqid 2733 . . . 4 (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
3 eqgvscpbl.s . . . 4 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
4 eqgvscpbl.p . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
5 eqgvscpbl.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
6 eqgvscpbl.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
7 eqgvscpbl.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7eqgvscpbl 32189 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ(𝑀 ~QG 𝐺)𝑉 β†’ (𝐾 Β· π‘ˆ)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝐾 Β· 𝑉)))
9 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘€)
109lsssubg 20433 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
115, 6, 10syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
121, 2eqger 18985 . . . . 5 (𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€) β†’ (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝐡)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝐡)
14 qusvscpbl.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1513, 14erth 8700 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ(𝑀 ~QG 𝐺)𝑉 ↔ [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺)))
16 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
171, 16, 4, 3lmodvscl 20354 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡)
185, 7, 14, 17syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡)
1913, 18erth 8700 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· π‘ˆ)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝐾 Β· 𝑉) ↔ [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
208, 15, 193imtr3d 293 . 2 (πœ‘ β†’ ([π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) β†’ [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
21 eceq1 8689 . . . . 5 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺))
22 qusvscpbl.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))
23 ovex 7391 . . . . . 6 (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
24 ecexg 8655 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
2621, 22, 25fvmpt 6949 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) = [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺))
2714, 26syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) = [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺))
28 qusvscpbl.v . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
29 eceq1 8689 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑉 β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
30 ecexg 8655 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
3123, 30ax-mp 5 . . . . 5 [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3229, 22, 31fvmpt 6949 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘‰) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
3328, 32syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‰) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
3427, 33eqeq12d 2749 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜π‘‰) ↔ [π‘ˆ](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺)))
35 eceq1 8689 . . . . 5 (π‘₯ = (𝐾 Β· π‘ˆ) β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺))
36 ecexg 8655 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
3723, 36ax-mp 5 . . . . 5 [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3835, 22, 37fvmpt 6949 . . . 4 ((𝐾 Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺))
3918, 38syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺))
401, 16, 4, 3lmodvscl 20354 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· 𝑉) ∈ 𝐡)
415, 7, 28, 40syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝑉) ∈ 𝐡)
42 eceq1 8689 . . . . 5 (π‘₯ = (𝐾 Β· 𝑉) β†’ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
43 ecexg 8655 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V β†’ [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
4423, 43ax-mp 5 . . . . 5 [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
4542, 22, 44fvmpt 6949 . . . 4 ((𝐾 Β· 𝑉) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉)) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
4641, 45syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉)) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
4739, 46eqeq12d 2749 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉)) ↔ [(𝐾 Β· π‘ˆ)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 Β· 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
4820, 34, 473imtr4d 294 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜π‘‰) β†’ (πΉβ€˜(𝐾 Β· π‘ˆ)) = (πΉβ€˜(𝐾 Β· 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   Er wer 8648  [cec 8649  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142   /s cqus 17392  SubGrpcsubg 18927   ~QG cqg 18929  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-ec 8653  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-eqg 18932  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408
This theorem is referenced by:  qusvsval  32191  quslmod  32193  quslmhm  32194
  Copyright terms: Public domain W3C validator