Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusvscpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusvscpbl 30924
 Description: The quotient map distributes over the scalar multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgvscpbl.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
eqgvscpbl.e = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
eqgvscpbl.p · = ( ·𝑠𝑀)
eqgvscpbl.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
eqgvscpbl.k (𝜑𝐾𝑆)
qusscaval.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusscaval.m = ( ·𝑠𝑁)
qusvscpbl.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
qusvscpbl.u (𝜑𝑈𝐵)
qusvscpbl.v (𝜑𝑉𝐵)
Assertion
Ref Expression
qusvscpbl (𝜑 → ((𝐹𝑈) = (𝐹𝑉) → (𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = (𝐹‘(𝐾 · 𝑉))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥, ·
Allowed substitution hints:   (𝑥)   𝑆(𝑥)   (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem qusvscpbl
StepHypRef Expression
1 eqgvscpbl.v . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 eqid 2820 . . . 4 (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
3 eqgvscpbl.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
4 eqgvscpbl.p . . . 4 · = ( ·𝑠𝑀)
5 eqgvscpbl.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
6 eqgvscpbl.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
7 eqgvscpbl.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7eqgvscpbl 30923 . . 3 (𝜑 → (𝑈(𝑀 ~QG 𝐺)𝑉 → (𝐾 · 𝑈)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝐾 · 𝑉)))
9 eqid 2820 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
109lsssubg 19701 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
115, 6, 10syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
121, 2eqger 18305 . . . . 5 (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝐵)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝐵)
14 qusvscpbl.u . . . 4 (𝜑𝑈𝐵)
1513, 14erth 8312 . . 3 (𝜑 → (𝑈(𝑀 ~QG 𝐺)𝑉 ↔ [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺)))
16 eqid 2820 . . . . . 6 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
171, 16, 4, 3lmodvscl 19623 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾𝑆𝑈𝐵) → (𝐾 · 𝑈) ∈ 𝐵)
185, 7, 14, 17syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · 𝑈) ∈ 𝐵)
1913, 18erth 8312 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · 𝑈)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝐾 · 𝑉) ↔ [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
208, 15, 193imtr3d 295 . 2 (𝜑 → ([𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) → [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
21 eceq1 8301 . . . . 5 (𝑥 = 𝑈 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺))
22 qusvscpbl.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
23 ovex 7162 . . . . . 6 (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
24 ecexg 8267 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
2621, 22, 25fvmpt 6740 . . . 4 (𝑈𝐵 → (𝐹𝑈) = [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺))
2714, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑈) = [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺))
28 qusvscpbl.v . . . 4 (𝜑𝑉𝐵)
29 eceq1 8301 . . . . 5 (𝑥 = 𝑉 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
30 ecexg 8267 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
3123, 30ax-mp 5 . . . . 5 [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3229, 22, 31fvmpt 6740 . . . 4 (𝑉𝐵 → (𝐹𝑉) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
3328, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑉) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺))
3427, 33eqeq12d 2836 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑈) = (𝐹𝑉) ↔ [𝑈](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑉](𝑀 ~QG 𝐺)))
35 eceq1 8301 . . . . 5 (𝑥 = (𝐾 · 𝑈) → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺))
36 ecexg 8267 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
3723, 36ax-mp 5 . . . . 5 [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
3835, 22, 37fvmpt 6740 . . . 4 ((𝐾 · 𝑈) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺))
3918, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺))
401, 16, 4, 3lmodvscl 19623 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾𝑆𝑉𝐵) → (𝐾 · 𝑉) ∈ 𝐵)
415, 7, 28, 40syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · 𝑉) ∈ 𝐵)
42 eceq1 8301 . . . . 5 (𝑥 = (𝐾 · 𝑉) → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
43 ecexg 8267 . . . . . 6 ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
4423, 43ax-mp 5 . . . . 5 [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
4542, 22, 44fvmpt 6740 . . . 4 ((𝐾 · 𝑉) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝐾 · 𝑉)) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
4641, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 · 𝑉)) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺))
4739, 46eqeq12d 2836 . 2 (𝜑 → ((𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = (𝐹‘(𝐾 · 𝑉)) ↔ [(𝐾 · 𝑈)](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑉)](𝑀 ~QG 𝐺)))
4820, 34, 473imtr4d 296 1 (𝜑 → ((𝐹𝑈) = (𝐹𝑉) → (𝐹‘(𝐾 · 𝑈)) = (𝐹‘(𝐾 · 𝑉))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3470   class class class wbr 5038   ↦ cmpt 5118  ‘cfv 6327  (class class class)co 7129   Er wer 8260  [cec 8261  Basecbs 16458  Scalarcsca 16543   ·𝑠 cvsca 16544   /s cqus 16753  SubGrpcsubg 18248   ~QG cqg 18250  LModclmod 19606  LSubSpclss 19675 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-er 8263  df-ec 8265  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-0g 16690  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-sbg 18083  df-subg 18251  df-eqg 18253  df-mgp 19215  df-ur 19227  df-ring 19274  df-lmod 19608  df-lss 19676 This theorem is referenced by:  qusscaval  30925  quslmod  30927  quslmhm  30928
 Copyright terms: Public domain W3C validator