MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgi2 19641
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
Assertion
Ref Expression
efgi2 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → 𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑤,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑦, ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efgi2
Dummy variables 𝑎 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐴 → (𝑇𝑎) = (𝑇𝐴))
21rneqd 5937 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝐴 → ran (𝑇𝑎) = ran (𝑇𝐴))
3 eceq1 8747 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝐴 → [𝑎]𝑟 = [𝐴]𝑟)
42, 3sseq12d 4015 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟 ↔ ran (𝑇𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟))
54rspcv 3608 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊 → (∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟 → ran (𝑇𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟))
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → (∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟 → ran (𝑇𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟))
7 ssel 3975 . . . . . . . . 9 (ran (𝑇𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟 → (𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴) → 𝐵 ∈ [𝐴]𝑟))
87com12 32 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴) → (ran (𝑇𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟𝐵 ∈ [𝐴]𝑟))
9 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ [𝐴]𝑟𝐴𝑊) → 𝐵 ∈ [𝐴]𝑟)
10 elecg 8752 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ [𝐴]𝑟𝐴𝑊) → (𝐵 ∈ [𝐴]𝑟𝐴𝑟𝐵))
119, 10mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ [𝐴]𝑟𝐴𝑊) → 𝐴𝑟𝐵)
12 df-br 5149 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑟𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟)
1311, 12sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ [𝐴]𝑟𝐴𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟)
1413expcom 413 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊 → (𝐵 ∈ [𝐴]𝑟 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
158, 14sylan9r 508 . . . . . . 7 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → (ran (𝑇𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
166, 15syld 47 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → (∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
1716adantld 490 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → ((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
1817alrimiv 1929 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → ∀𝑟((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
19 opex 5464 . . . . 5 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
2019elintab 4962 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟)} ↔ ∀𝑟((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
2118, 20sylibr 233 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟)})
22 efgval.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
23 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
24 efgval2.m . . . 4 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
25 efgval2.t . . . 4 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
2622, 23, 24, 25efgval2 19640 . . 3 = {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟)}
2721, 26eleqtrrdi 2843 . 2 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ )
28 df-br 5149 . 2 (𝐴 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ )
2927, 28sylibr 233 1 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → 𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2105  {cab 2708  wral 3060  cdif 3945  wss 3948  cop 4634  cotp 4636   cint 4950   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5573   × cxp 5674  ran crn 5677  cfv 6543  (class class class)co 7412  cmpo 7414  1oc1o 8465  2oc2o 8466   Er wer 8706  [cec 8707  0cc0 11116  ...cfz 13491  chash 14297  Word cword 14471   splice csplice 14706  ⟨“cs2 14799   ~FG cefg 19622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-ec 8711  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14707  df-s2 14806  df-efg 19625
This theorem is referenced by:  efginvrel2  19643  efgsrel  19650  efgcpbllemb  19671
  Copyright terms: Public domain W3C validator