Theorem efgi2 19799

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))

Assertion

Ref	Expression
efgi2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ ran (𝑇‘𝐴)) → 𝐴 ∼ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑤,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝐵(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   ∼ (𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑇(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑀(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem efgi2

Dummy variables 𝑎 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑇‘𝑎) = (𝑇‘𝐴))
2	1	rneqd 5928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ran (𝑇‘𝑎) = ran (𝑇‘𝐴))
3		eceq1 8730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → [𝑎]𝑟 = [𝐴]𝑟)
4	2, 3	sseq12d 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ran (𝑇‘𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟 ↔ ran (𝑇‘𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟))
5	4	rspcv 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (∀𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟 → ran (𝑇‘𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟))
6	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ ran (𝑇‘𝐴)) → (∀𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟 → ran (𝑇‘𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟))
7		ssel 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (𝑇‘𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟 → (𝐵 ∈ ran (𝑇‘𝐴) → 𝐵 ∈ [𝐴]𝑟))
8	7	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ran (𝑇‘𝐴) → (ran (𝑇‘𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟 → 𝐵 ∈ [𝐴]𝑟))
9		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ [𝐴]𝑟 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ [𝐴]𝑟)
10		elecg 8735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ [𝐴]𝑟 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐵 ∈ [𝐴]𝑟 ↔ 𝐴𝑟𝐵))
11	9, 10	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ [𝐴]𝑟 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝐴𝑟𝐵)
12		df-br 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴𝑟𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟)
13	11, 12	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ [𝐴]𝑟 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟)
14	13	expcom 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐵 ∈ [𝐴]𝑟 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
15	8, 14	sylan9r 517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ ran (𝑇‘𝐴)) → (ran (𝑇‘𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
16	6, 15	syld 48	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ ran (𝑇‘𝐴)) → (∀𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
17	16	adantld 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ ran (𝑇‘𝐴)) → ((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
18	17	alrimiv 1957	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ ran (𝑇‘𝐴)) → ∀𝑟((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
19		opex 5445	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
20	19	elintab 4924	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ∩ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟)} ↔ ∀𝑟((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
21	18, 20	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ ran (𝑇‘𝐴)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ∩ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟)})
22		efgval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
23		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
24		efgval2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
25		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
26	22, 23, 24, 25	efgval2 19798	. . 3 ⊢ ∼ = ∩ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟)}
27	21, 26	eleqtrrdi 2874	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ ran (𝑇‘𝐴)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ∼ )
28		df-br 5110	. 2 ⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ∼ )
29	27, 28	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ ran (𝑇‘𝐴)) → 𝐴 ∼ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∀wral 3079   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ⟨cop 4595  ⟨cotp 4597  ∩ cint 4912   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   I cid 5555   × cxp 5659  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  1_oc1o 8442  2_oc2o 8443   Er wer 8687  [cec 8688  0cc0 11104  ...cfz 13539  ♯chash 14371  Word cword 14555   splice csplice 14791  ⟨“cs2 14883   ~_FG cefg 19780

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-ec 8692  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-concat 14613  df-s1 14639  df-substr 14684  df-pfx 14714  df-splice 14792  df-s2 14890  df-efg 19783

This theorem is used by:  efginvrel2  19801  efgsrel  19808  efgcpbllemb  19829