MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgi2 19743
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
Assertion
Ref Expression
efgi2 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → 𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑤,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑦, ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efgi2
Dummy variables 𝑎 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐴 → (𝑇𝑎) = (𝑇𝐴))
21rneqd 5949 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝐴 → ran (𝑇𝑎) = ran (𝑇𝐴))
3 eceq1 8784 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝐴 → [𝑎]𝑟 = [𝐴]𝑟)
42, 3sseq12d 4017 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟 ↔ ran (𝑇𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟))
54rspcv 3618 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊 → (∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟 → ran (𝑇𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟))
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → (∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟 → ran (𝑇𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟))
7 ssel 3977 . . . . . . . . 9 (ran (𝑇𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟 → (𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴) → 𝐵 ∈ [𝐴]𝑟))
87com12 32 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴) → (ran (𝑇𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟𝐵 ∈ [𝐴]𝑟))
9 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ [𝐴]𝑟𝐴𝑊) → 𝐵 ∈ [𝐴]𝑟)
10 elecg 8789 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ [𝐴]𝑟𝐴𝑊) → (𝐵 ∈ [𝐴]𝑟𝐴𝑟𝐵))
119, 10mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ [𝐴]𝑟𝐴𝑊) → 𝐴𝑟𝐵)
12 df-br 5144 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑟𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟)
1311, 12sylib 218 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ [𝐴]𝑟𝐴𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟)
1413expcom 413 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊 → (𝐵 ∈ [𝐴]𝑟 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
158, 14sylan9r 508 . . . . . . 7 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → (ran (𝑇𝐴) ⊆ [𝐴]𝑟 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
166, 15syld 47 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → (∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
1716adantld 490 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → ((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
1817alrimiv 1927 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → ∀𝑟((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
19 opex 5469 . . . . 5 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
2019elintab 4958 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟)} ↔ ∀𝑟((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
2118, 20sylibr 234 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟)})
22 efgval.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
23 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
24 efgval2.m . . . 4 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
25 efgval2.t . . . 4 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
2622, 23, 24, 25efgval2 19742 . . 3 = {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) ⊆ [𝑎]𝑟)}
2721, 26eleqtrrdi 2852 . 2 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ )
28 df-br 5144 . 2 (𝐴 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ )
2927, 28sylibr 234 1 ((𝐴𝑊𝐵 ∈ ran (𝑇𝐴)) → 𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wral 3061  cdif 3948  wss 3951  cop 4632  cotp 4634   cint 4946   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8499  2oc2o 8500   Er wer 8742  [cec 8743  0cc0 11155  ...cfz 13547  chash 14369  Word cword 14552   splice csplice 14787  ⟨“cs2 14880   ~FG cefg 19724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-s2 14887  df-efg 19727
This theorem is referenced by:  efginvrel2  19745  efgsrel  19752  efgcpbllemb  19773
  Copyright terms: Public domain W3C validator