MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qustgplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qustgplem 22158
Description: Lemma for qustgp 22159. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qustgp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
qustgpopn.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
qustgpopn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
qustgpopn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
qustgpopn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
qustgplem.m = (𝑧𝑋, 𝑤𝑋 ↦ [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌))
Assertion
Ref Expression
qustgplem ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑧,𝐺   𝑤,𝐽,𝑥,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑧   𝑤,𝐻,𝑥,𝑧   𝑤,𝐾,𝑥,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   (𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem qustgplem
Dummy variables 𝑡 𝑏 𝑎 𝑐 𝑑 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qustgp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
21qusgrp 17871 . . 3 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
32adantl 469 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
41a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌)))
5 qustgpopn.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑋 = (Base‘𝐺))
7 qustgpopn.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
8 ovex 6916 . . . . . . . 8 (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
10 simpl 470 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ TopGrp)
114, 6, 7, 9, 10qusval 16427 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 = (𝐹s 𝐺))
124, 6, 7, 9, 10quslem 16428 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐹:𝑋onto→(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)))
13 qustgpopn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
14 qustgpopn.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
1511, 6, 12, 10, 13, 14imastopn 21758 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
1613, 5tgptopon 22120 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1716adantr 468 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
18 qtoptopon 21742 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto→(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))))
1917, 12, 18syl2anc 575 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))))
2015, 19eqeltrd 2896 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))))
214, 6, 9, 10qusbas 16430 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) = (Base‘𝐻))
2221fveq2d 6422 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) = (TopOn‘(Base‘𝐻)))
2320, 22eleqtrd 2898 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
24 eqid 2817 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2524, 14istps 20973 . . 3 (𝐻 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
2623, 25sylibr 225 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopSp)
27 eqid 2817 . . . . 5 (-g𝐻) = (-g𝐻)
2824, 27grpsubf 17719 . . . 4 (𝐻 ∈ Grp → (-g𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
293, 28syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
30 cnvimass 5709 . . . . . . . . 9 ((-g𝐻) “ 𝑢) ⊆ dom (-g𝐻)
3129fdmd 6275 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → dom (-g𝐻) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
3231adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → dom (-g𝐻) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
3330, 32syl5sseq 3861 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → ((-g𝐻) “ 𝑢) ⊆ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
34 relxp 5341 . . . . . . . 8 Rel ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))
35 relss 5422 . . . . . . . 8 (((-g𝐻) “ 𝑢) ⊆ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (Rel ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → Rel ((-g𝐻) “ 𝑢)))
3633, 34, 35mpisyl 21 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → Rel ((-g𝐻) “ 𝑢))
3733sseld 3808 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
38 vex 3405 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ V
3938elqs 8044 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ ∃𝑎𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
4021adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) = (Base‘𝐻))
4140eleq2d 2882 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (𝑥 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
4239, 41syl5bbr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (∃𝑎𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
43 vex 3405 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
4443elqs 8044 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ ∃𝑏𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
4540eleq2d 2882 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (𝑦 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
4644, 45syl5bbr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (∃𝑏𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
4742, 46anbi12d 618 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → ((∃𝑎𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ ∃𝑏𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))))
48 reeanv 3306 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ (∃𝑎𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ ∃𝑏𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)))
49 opelxp 5359 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
5047, 48, 493bitr4g 305 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
513ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → 𝐻 ∈ Grp)
5251, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (-g𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
53 ffn 6266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-g𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) → (-g𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
54 elpreima 6569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-g𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
5552, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
56 df-ov 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) = ((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
57 simpllr 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
58 simprl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → 𝑎𝑋)
59 simprr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → 𝑏𝑋)
60 eqid 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-g𝐺) = (-g𝐺)
611, 5, 60, 27qussub 17876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑎𝑋𝑏𝑋) → ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
6257, 58, 59, 61syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
6356, 62syl5eqr 2865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) = [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
6463eleq1d 2881 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢 ↔ [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
65 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (𝑎𝑋𝑏𝑋))
66 qustgplem.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 = (𝑧𝑋, 𝑤𝑋 ↦ [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌))
67 tgpgrp 22116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
6867adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
695, 60grpsubf 17719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐺 ∈ Grp → (-g𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
70 ffn 6266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-g𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 → (-g𝐺) Fn (𝑋 × 𝑋))
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g𝐺) Fn (𝑋 × 𝑋))
72 fnov 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-g𝐺) Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ (-g𝐺) = (𝑧𝑋, 𝑤𝑋 ↦ (𝑧(-g𝐺)𝑤)))
7371, 72sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g𝐺) = (𝑧𝑋, 𝑤𝑋 ↦ (𝑧(-g𝐺)𝑤)))
7413, 60tgpsubcn 22128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐺 ∈ TopGrp → (-g𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
7574adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
7673, 75eqeltrrd 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑧𝑋, 𝑤𝑋 ↦ (𝑧(-g𝐺)𝑤)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
77 ecexg 7993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
788, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
7978, 7fnmpti 6243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝐹 Fn 𝑋
80 qtopid 21743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
8117, 79, 80sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
8215oveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
8381, 82eleqtrrd 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
847, 83syl5eqelr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
85 eceq1 8027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (𝑧(-g𝐺)𝑤) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌))
8617, 17, 76, 17, 84, 85cnmpt21 21709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑧𝑋, 𝑤𝑋 ↦ [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
8766, 86syl5eqel 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
8887ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
89 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → 𝑢𝐾)
90 cnima 21304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (( ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ∧ 𝑢𝐾) → ( 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
9188, 89, 90syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ( 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
9217ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
93 eltx 21606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (( 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ↔ ∀𝑡 ∈ ( 𝑢)∃𝑐𝐽𝑑𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
9492, 92, 93syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (( 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ↔ ∀𝑡 ∈ ( 𝑢)∃𝑐𝐽𝑑𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
9591, 94mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ∀𝑡 ∈ ( 𝑢)∃𝑐𝐽𝑑𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))
96 ecexg 7993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
978, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
9866, 97fnmpt2i 7482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Fn (𝑋 × 𝑋)
99 elpreima 6569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( 𝑢) ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢)))
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( 𝑢) ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢))
101 opelxp 5359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑎𝑋𝑏𝑋))
102101anbi1i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢))
103 df-ov 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 𝑏) = ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
104 oveq12 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 = 𝑎𝑤 = 𝑏) → (𝑧(-g𝐺)𝑤) = (𝑎(-g𝐺)𝑏))
105104eceq1d 8028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 = 𝑎𝑤 = 𝑏) → [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
106 ecexg 7993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
1078, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
108105, 66, 107ovmpt2a 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎𝑋𝑏𝑋) → (𝑎 𝑏) = [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
109103, 108syl5eqr 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎𝑋𝑏𝑋) → ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
110109eleq1d 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎𝑋𝑏𝑋) → (( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢 ↔ [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
111110pm5.32i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
112100, 102, 1113bitri 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( 𝑢) ↔ ((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
113 eleq1 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑)))
114 opelxp 5359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑) ↔ (𝑎𝑐𝑏𝑑))
115113, 114syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ↔ (𝑎𝑐𝑏𝑑)))
116115anbi1d 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)) ↔ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
1171162rexbidv 3256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (∃𝑐𝐽𝑑𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)) ↔ ∃𝑐𝐽𝑑𝐽 ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
118117rspccv 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑡 ∈ ( 𝑢)∃𝑐𝐽𝑑𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)) → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( 𝑢) → ∃𝑐𝐽𝑑𝐽 ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
119112, 118syl5bir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑡 ∈ ( 𝑢)∃𝑐𝐽𝑑𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)) → (((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢) → ∃𝑐𝐽𝑑𝐽 ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
12095, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢) → ∃𝑐𝐽𝑑𝐽 ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
12165, 120mpand 678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ([(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢 → ∃𝑐𝐽𝑑𝐽 ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
122 simp-4l 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝐺 ∈ TopGrp)
12357adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
124 simprll 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑐𝐽)
1251, 5, 13, 14, 7qustgpopn 22157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑐𝐽) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐾)
126122, 123, 124, 125syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐾)
127 simprlr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑑𝐽)
1281, 5, 13, 14, 7qustgpopn 22157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑑𝐽) → (𝐹𝑑) ∈ 𝐾)
129122, 123, 127, 128syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝐹𝑑) ∈ 𝐾)
13058adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑎𝑋)
131 eceq1 8027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑎 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
132131, 7, 78fvmpt3i 6518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎𝑋 → (𝐹𝑎) = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
133130, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝐹𝑎) = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
134122, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
135 toponss 20966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑐𝐽) → 𝑐𝑋)
136134, 124, 135syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑐𝑋)
137 simprrl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝑎𝑐𝑏𝑑))
138137simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑎𝑐)
139 fnfvima 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 Fn 𝑋𝑐𝑋𝑎𝑐) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝑐))
14079, 139mp3an1 1565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐𝑋𝑎𝑐) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝑐))
141136, 138, 140syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝑐))
142133, 141eqeltrrd 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (𝐹𝑐))
14359adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑏𝑋)
144 eceq1 8027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑏 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
145144, 7, 78fvmpt3i 6518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏𝑋 → (𝐹𝑏) = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
146143, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝐹𝑏) = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
147 toponss 20966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑑𝐽) → 𝑑𝑋)
148134, 127, 147syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑑𝑋)
149137simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑏𝑑)
150 fnfvima 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 Fn 𝑋𝑑𝑋𝑏𝑑) → (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝑑))
15179, 150mp3an1 1565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑑𝑋𝑏𝑑) → (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝑑))
152148, 149, 151syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝑑))
153146, 152eqeltrrd 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (𝐹𝑑))
154 opelxpi 5360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (([𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (𝐹𝑐) ∧ [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (𝐹𝑑)) → ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)))
155142, 153, 154syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)))
156136sselda 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑝𝑋)
157148sselda 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ 𝑞𝑑) → 𝑞𝑋)
158156, 157anim12dan 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → (𝑝𝑋𝑞𝑋))
159 eceq1 8027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑝 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌))
160159, 7, 78fvmpt3i 6518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝𝑋 → (𝐹𝑝) = [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌))
161 eceq1 8027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑞 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌))
162161, 7, 78fvmpt3i 6518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑞𝑋 → (𝐹𝑞) = [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌))
163 opeq12 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹𝑝) = [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ (𝐹𝑞) = [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) → ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ = ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
164160, 162, 163syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝𝑋𝑞𝑋) → ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ = ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
165158, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ = ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
166123adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1671, 5, 24quseccl 17872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑝𝑋) → [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
1681, 5, 24quseccl 17872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑞𝑋) → [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
169167, 168anim12dan 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻)))
170166, 158, 169syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻)))
171 opelxpi 5360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻)) → ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
1731, 5, 60, 27qussub 17876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑝𝑋𝑞𝑋) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
1741733expb 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
175166, 158, 174syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
176 oveq12 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧 = 𝑝𝑤 = 𝑞) → (𝑧(-g𝐺)𝑤) = (𝑝(-g𝐺)𝑞))
177176eceq1d 8028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 = 𝑝𝑤 = 𝑞) → [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
178 ecexg 7993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
1798, 178ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
180177, 66, 179ovmpt2a 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑝𝑋𝑞𝑋) → (𝑝 𝑞) = [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
181158, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → (𝑝 𝑞) = [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
182175, 181eqtr4d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = (𝑝 𝑞))
183 df-ov 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = ((-g𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
184 df-ov 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑝 𝑞) = ( ‘⟨𝑝, 𝑞⟩)
185182, 183, 1843eqtr3g 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ((-g𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) = ( ‘⟨𝑝, 𝑞⟩))
186 opelxpi 5360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑝𝑐𝑞𝑑) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑))
187 simprrr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))
188187sselda 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑)) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( 𝑢))
189186, 188sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( 𝑢))
190 elpreima 6569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ( Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( 𝑢) ↔ (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢)))
19198, 190ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( 𝑢) ↔ (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢))
192191simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( 𝑢) → ( ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢)
193189, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ( ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢)
194185, 193eqeltrd 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ((-g𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)
19552, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (-g𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
196195ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → (-g𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
197 elpreima 6569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-g𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
198196, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
199172, 194, 198mpbir2and 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
200165, 199eqeltrd 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
201200ralrimivva 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → ∀𝑝𝑐𝑞𝑑 ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
202 opeq1 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = (𝐹𝑝) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ = ⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩)
203202eleq1d 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = (𝐹𝑝) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
204203ralbidv 3185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = (𝐹𝑝) → (∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
205204ralima 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 Fn 𝑋𝑐𝑋) → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝𝑐𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
20679, 205mpan 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐𝑋 → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝𝑐𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
207 opeq2 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = (𝐹𝑞) → ⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ = ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩)
208207eleq1d 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = (𝐹𝑞) → (⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
209208ralima 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹 Fn 𝑋𝑑𝑋) → (∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑞𝑑 ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
21079, 209mpan 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑𝑋 → (∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑞𝑑 ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
211210ralbidv 3185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑𝑋 → (∀𝑝𝑐𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝𝑐𝑞𝑑 ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
212206, 211sylan9bb 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐𝑋𝑑𝑋) → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝𝑐𝑞𝑑 ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
213136, 148, 212syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝𝑐𝑞𝑑 ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
214201, 213mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
215 dfss3 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑))𝑦 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
216 eleq1 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑦 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
217216ralxp 5479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑦 ∈ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑))𝑦 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
218215, 217bitri 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
219214, 218sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))
220 xpeq1 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = (𝐹𝑐) → (𝑟 × 𝑠) = ((𝐹𝑐) × 𝑠))
221220eleq2d 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = (𝐹𝑐) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × 𝑠)))
222220sseq1d 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = (𝐹𝑐) → ((𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ((𝐹𝑐) × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
223221, 222anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = (𝐹𝑐) → ((⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × 𝑠) ∧ ((𝐹𝑐) × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
224 xpeq2 5344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = (𝐹𝑑) → ((𝐹𝑐) × 𝑠) = ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)))
225224eleq2d 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑑) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × 𝑠) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑))))
226224sseq1d 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑑) → (((𝐹𝑐) × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
227225, 226anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = (𝐹𝑑) → ((⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × 𝑠) ∧ ((𝐹𝑐) × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ∧ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
228223, 227rspc2ev 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑐) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑑) ∈ 𝐾 ∧ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ∧ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
229126, 129, 155, 219, 228syl112anc 1486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
230229expr 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ (𝑐𝐽𝑑𝐽)) → (((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
231230rexlimdvva 3237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (∃𝑐𝐽𝑑𝐽 ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
232121, 231syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ([(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢 → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
23364, 232sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢 → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
234233adantld 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ((⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
23555, 234sylbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
236 opeq12 4608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
237236eleq1d 2881 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
238236eleq1d 2881 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))} ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))}))
239 opex 5135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ V
240 eleq1 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ → (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)))
241240anbi1d 617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ → ((𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
2422412rexbidv 3256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ → (∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)) ↔ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
243239, 242elab 3556 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))} ↔ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
244238, 243syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))} ↔ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
245237, 244imbi12d 335 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))}) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))))
246235, 245syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))})))
247246rexlimdvva 3237 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))})))
24850, 247sylbird 251 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))})))
249248com23 86 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))})))
25037, 249mpdd 43 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))}))
25136, 250relssdv 5428 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → ((-g𝐻) “ 𝑢) ⊆ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))})
252 ssabral 3881 . . . . . 6 (((-g𝐻) “ 𝑢) ⊆ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))} ↔ ∀𝑤 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
253251, 252sylib 209 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → ∀𝑤 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
254 eltx 21606 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻))) → (((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑤 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
25523, 23, 254syl2anc 575 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑤 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
256255adantr 468 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑤 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
257253, 256mpbird 248 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → ((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))
258257ralrimiva 3165 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → ∀𝑢𝐾 ((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))
259 txtopon 21629 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻))) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
26023, 23, 259syl2anc 575 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
261 iscn 21274 . . . 4 (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻))) → ((-g𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ↔ ((-g𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) ∧ ∀𝑢𝐾 ((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))))
262260, 23, 261syl2anc 575 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → ((-g𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ↔ ((-g𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) ∧ ∀𝑢𝐾 ((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))))
26329, 258, 262mpbir2and 695 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
26414, 27istgp2 22129 . 2 (𝐻 ∈ TopGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ TopSp ∧ (-g𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)))
2653, 26, 263, 264syl3anbrc 1436 1 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  {cab 2803  wral 3107  wrex 3108  Vcvv 3402  wss 3780  cop 4387  cmpt 4934   × cxp 5322  ccnv 5323  dom cdm 5324  cima 5327  Rel wrel 5329   Fn wfn 6106  wf 6107  ontowfo 6109  cfv 6111  (class class class)co 6884  cmpt2 6886  [cec 7987   / cqs 7988  Basecbs 16088  TopOpenctopn 16307   qTop cqtop 16388   /s cqus 16390  Grpcgrp 17647  -gcsg 17649  NrmSGrpcnsg 17811   ~QG cqg 17812  TopOnctopon 20949  TopSpctps 20971   Cn ccn 21263   ×t ctx 21598  TopGrpctgp 22109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-tpos 7597  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-oadd 7810  df-er 7989  df-ec 7991  df-qs 7995  df-map 8104  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-inf 8598  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-fz 12570  df-struct 16090  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-sets 16095  df-ress 16096  df-plusg 16186  df-mulr 16187  df-sca 16189  df-vsca 16190  df-ip 16191  df-tset 16192  df-ple 16193  df-ds 16195  df-rest 16308  df-topn 16309  df-0g 16327  df-topgen 16329  df-qtop 16392  df-imas 16393  df-qus 16394  df-plusf 17466  df-mgm 17467  df-sgrp 17509  df-mnd 17520  df-grp 17650  df-minusg 17651  df-sbg 17652  df-subg 17813  df-nsg 17814  df-eqg 17815  df-oppg 17997  df-top 20933  df-topon 20950  df-topsp 20972  df-bases 20985  df-cn 21266  df-cnp 21267  df-tx 21600  df-hmeo 21793  df-tmd 22110  df-tgp 22111
This theorem is referenced by:  qustgp  22159
  Copyright terms: Public domain W3C validator