MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qustgplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qustgplem 22721
Description: Lemma for qustgp 22722. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qustgp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
qustgpopn.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
qustgpopn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
qustgpopn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
qustgpopn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
qustgplem.m = (𝑧𝑋, 𝑤𝑋 ↦ [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌))
Assertion
Ref Expression
qustgplem ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑧,𝐺   𝑤,𝐽,𝑥,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑧   𝑤,𝐻,𝑥,𝑧   𝑤,𝐾,𝑥,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   (𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem qustgplem
Dummy variables 𝑡 𝑏 𝑎 𝑐 𝑑 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qustgp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
21qusgrp 18327 . . 3 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
32adantl 484 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
41a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌)))
5 qustgpopn.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑋 = (Base‘𝐺))
7 qustgpopn.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
8 ovex 7181 . . . . . . . 8 (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
10 simpl 485 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ TopGrp)
114, 6, 7, 9, 10qusval 16807 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 = (𝐹s 𝐺))
124, 6, 7, 9, 10quslem 16808 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐹:𝑋onto→(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)))
13 qustgpopn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
14 qustgpopn.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
1511, 6, 12, 10, 13, 14imastopn 22320 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
1613, 5tgptopon 22682 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1716adantr 483 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
18 qtoptopon 22304 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto→(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))))
1917, 12, 18syl2anc 586 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))))
2015, 19eqeltrd 2911 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))))
214, 6, 9, 10qusbas 16810 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) = (Base‘𝐻))
2221fveq2d 6667 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) = (TopOn‘(Base‘𝐻)))
2320, 22eleqtrd 2913 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
24 eqid 2819 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2524, 14istps 21534 . . 3 (𝐻 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
2623, 25sylibr 236 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopSp)
27 eqid 2819 . . . . 5 (-g𝐻) = (-g𝐻)
2824, 27grpsubf 18170 . . . 4 (𝐻 ∈ Grp → (-g𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
293, 28syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
30 cnvimass 5942 . . . . . . . . 9 ((-g𝐻) “ 𝑢) ⊆ dom (-g𝐻)
3129fdmd 6516 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → dom (-g𝐻) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
3231adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → dom (-g𝐻) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
3330, 32sseqtrid 4017 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → ((-g𝐻) “ 𝑢) ⊆ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
34 relxp 5566 . . . . . . . 8 Rel ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))
35 relss 5649 . . . . . . . 8 (((-g𝐻) “ 𝑢) ⊆ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (Rel ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → Rel ((-g𝐻) “ 𝑢)))
3633, 34, 35mpisyl 21 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → Rel ((-g𝐻) “ 𝑢))
3733sseld 3964 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
38 vex 3496 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ V
3938elqs 8341 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ ∃𝑎𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
4021adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) = (Base‘𝐻))
4140eleq2d 2896 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (𝑥 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
4239, 41syl5bbr 287 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (∃𝑎𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
43 vex 3496 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
4443elqs 8341 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ ∃𝑏𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
4540eleq2d 2896 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (𝑦 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
4644, 45syl5bbr 287 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (∃𝑏𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
4742, 46anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → ((∃𝑎𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ ∃𝑏𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))))
48 reeanv 3366 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ (∃𝑎𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ ∃𝑏𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)))
49 opelxp 5584 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
5047, 48, 493bitr4g 316 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
513ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → 𝐻 ∈ Grp)
5251, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (-g𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
53 ffn 6507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-g𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) → (-g𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
54 elpreima 6821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-g𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
5552, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
56 df-ov 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) = ((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
57 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
58 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → 𝑎𝑋)
59 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → 𝑏𝑋)
60 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-g𝐺) = (-g𝐺)
611, 5, 60, 27qussub 18332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑎𝑋𝑏𝑋) → ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
6257, 58, 59, 61syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
6356, 62syl5eqr 2868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) = [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
6463eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢 ↔ [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
65 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (𝑎𝑋𝑏𝑋))
66 qustgplem.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 = (𝑧𝑋, 𝑤𝑋 ↦ [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌))
67 tgpgrp 22678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
6867adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
695, 60grpsubf 18170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐺 ∈ Grp → (-g𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
70 ffn 6507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-g𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 → (-g𝐺) Fn (𝑋 × 𝑋))
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g𝐺) Fn (𝑋 × 𝑋))
72 fnov 7274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-g𝐺) Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ (-g𝐺) = (𝑧𝑋, 𝑤𝑋 ↦ (𝑧(-g𝐺)𝑤)))
7371, 72sylib 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g𝐺) = (𝑧𝑋, 𝑤𝑋 ↦ (𝑧(-g𝐺)𝑤)))
7413, 60tgpsubcn 22690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐺 ∈ TopGrp → (-g𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
7574adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
7673, 75eqeltrrd 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑧𝑋, 𝑤𝑋 ↦ (𝑧(-g𝐺)𝑤)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
77 ecexg 8285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
788, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
7978, 7fnmpti 6484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝐹 Fn 𝑋
80 qtopid 22305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
8117, 79, 80sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
8215oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
8381, 82eleqtrrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
847, 83eqeltrrid 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
85 eceq1 8319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (𝑧(-g𝐺)𝑤) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌))
8617, 17, 76, 17, 84, 85cnmpt21 22271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑧𝑋, 𝑤𝑋 ↦ [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
8766, 86eqeltrid 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
8887ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
89 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → 𝑢𝐾)
90 cnima 21865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (( ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ∧ 𝑢𝐾) → ( 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
9188, 89, 90syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ( 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
9217ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
93 eltx 22168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (( 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ↔ ∀𝑡 ∈ ( 𝑢)∃𝑐𝐽𝑑𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
9492, 92, 93syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (( 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ↔ ∀𝑡 ∈ ( 𝑢)∃𝑐𝐽𝑑𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
9591, 94mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ∀𝑡 ∈ ( 𝑢)∃𝑐𝐽𝑑𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))
96 ecexg 8285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
978, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
9866, 97fnmpoi 7760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Fn (𝑋 × 𝑋)
99 elpreima 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( 𝑢) ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢)))
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( 𝑢) ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢))
101 opelxp 5584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑎𝑋𝑏𝑋))
102101anbi1i 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢))
103 df-ov 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 𝑏) = ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
104 oveq12 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 = 𝑎𝑤 = 𝑏) → (𝑧(-g𝐺)𝑤) = (𝑎(-g𝐺)𝑏))
105104eceq1d 8320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 = 𝑎𝑤 = 𝑏) → [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
106 ecexg 8285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
1078, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
108105, 66, 107ovmpoa 7297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎𝑋𝑏𝑋) → (𝑎 𝑏) = [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
109103, 108syl5eqr 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎𝑋𝑏𝑋) → ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
110109eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎𝑋𝑏𝑋) → (( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢 ↔ [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
111110pm5.32i 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
112100, 102, 1113bitri 299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( 𝑢) ↔ ((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
113 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑)))
114 opelxp 5584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑) ↔ (𝑎𝑐𝑏𝑑))
115113, 114syl6bb 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ↔ (𝑎𝑐𝑏𝑑)))
116115anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)) ↔ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
1171162rexbidv 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (∃𝑐𝐽𝑑𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)) ↔ ∃𝑐𝐽𝑑𝐽 ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
118117rspccv 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑡 ∈ ( 𝑢)∃𝑐𝐽𝑑𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)) → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( 𝑢) → ∃𝑐𝐽𝑑𝐽 ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
119112, 118syl5bir 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑡 ∈ ( 𝑢)∃𝑐𝐽𝑑𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)) → (((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢) → ∃𝑐𝐽𝑑𝐽 ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
12095, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ [(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢) → ∃𝑐𝐽𝑑𝐽 ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
12165, 120mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ([(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢 → ∃𝑐𝐽𝑑𝐽 ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))))
122 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝐺 ∈ TopGrp)
12357adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
124 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑐𝐽)
1251, 5, 13, 14, 7qustgpopn 22720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑐𝐽) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐾)
126122, 123, 124, 125syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐾)
127 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑑𝐽)
1281, 5, 13, 14, 7qustgpopn 22720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑑𝐽) → (𝐹𝑑) ∈ 𝐾)
129122, 123, 127, 128syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝐹𝑑) ∈ 𝐾)
13058adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑎𝑋)
131 eceq1 8319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑎 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
132131, 7, 78fvmpt3i 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎𝑋 → (𝐹𝑎) = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
133130, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝐹𝑎) = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
134122, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
135 toponss 21527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑐𝐽) → 𝑐𝑋)
136134, 124, 135syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑐𝑋)
137 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝑎𝑐𝑏𝑑))
138137simpld 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑎𝑐)
139 fnfvima 6987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 Fn 𝑋𝑐𝑋𝑎𝑐) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝑐))
14079, 136, 138, 139mp3an2i 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝑐))
141133, 140eqeltrrd 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (𝐹𝑐))
14259adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑏𝑋)
143 eceq1 8319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑏 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
144143, 7, 78fvmpt3i 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏𝑋 → (𝐹𝑏) = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
145142, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝐹𝑏) = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
146 toponss 21527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑑𝐽) → 𝑑𝑋)
147134, 127, 146syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑑𝑋)
148137simprd 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → 𝑏𝑑)
149 fnfvima 6987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 Fn 𝑋𝑑𝑋𝑏𝑑) → (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝑑))
15079, 147, 148, 149mp3an2i 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝑑))
151145, 150eqeltrrd 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (𝐹𝑑))
152141, 151opelxpd 5586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)))
153136sselda 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑝𝑋)
154147sselda 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ 𝑞𝑑) → 𝑞𝑋)
155153, 154anim12dan 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → (𝑝𝑋𝑞𝑋))
156 eceq1 8319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑝 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌))
157156, 7, 78fvmpt3i 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝𝑋 → (𝐹𝑝) = [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌))
158 eceq1 8319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑞 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌))
159158, 7, 78fvmpt3i 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑞𝑋 → (𝐹𝑞) = [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌))
160 opeq12 4797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹𝑝) = [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ (𝐹𝑞) = [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) → ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ = ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
161157, 159, 160syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝𝑋𝑞𝑋) → ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ = ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
162155, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ = ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
163123adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1641, 5, 24quseccl 18328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑝𝑋) → [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
1651, 5, 24quseccl 18328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑞𝑋) → [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
166164, 165anim12dan 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻)))
167163, 155, 166syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻)))
168 opelxpi 5585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻)) → ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
169167, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
1701, 5, 60, 27qussub 18332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑝𝑋𝑞𝑋) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
1711703expb 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
172163, 155, 171syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
173 oveq12 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧 = 𝑝𝑤 = 𝑞) → (𝑧(-g𝐺)𝑤) = (𝑝(-g𝐺)𝑞))
174173eceq1d 8320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 = 𝑝𝑤 = 𝑞) → [(𝑧(-g𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
175 ecexg 8285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
1768, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
177174, 66, 176ovmpoa 7297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑝𝑋𝑞𝑋) → (𝑝 𝑞) = [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
178155, 177syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → (𝑝 𝑞) = [(𝑝(-g𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
179172, 178eqtr4d 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = (𝑝 𝑞))
180 df-ov 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = ((-g𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
181 df-ov 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑝 𝑞) = ( ‘⟨𝑝, 𝑞⟩)
182179, 180, 1813eqtr3g 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ((-g𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) = ( ‘⟨𝑝, 𝑞⟩))
183 opelxpi 5585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑝𝑐𝑞𝑑) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑))
184 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢))
185184sselda 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑)) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( 𝑢))
186183, 185sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( 𝑢))
187 elpreima 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ( Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( 𝑢) ↔ (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢)))
18898, 187ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( 𝑢) ↔ (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢))
189188simprbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( 𝑢) → ( ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢)
190186, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ( ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢)
191182, 190eqeltrd 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ((-g𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)
19252, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (-g𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
193192ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → (-g𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
194 elpreima 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-g𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
195193, 194syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
196169, 191, 195mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
197162, 196eqeltrd 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) ∧ (𝑝𝑐𝑞𝑑)) → ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
198197ralrimivva 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → ∀𝑝𝑐𝑞𝑑 ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
199 opeq1 4795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = (𝐹𝑝) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ = ⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩)
200199eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = (𝐹𝑝) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
201200ralbidv 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = (𝐹𝑝) → (∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
202201ralima 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 Fn 𝑋𝑐𝑋) → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝𝑐𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
20379, 202mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐𝑋 → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝𝑐𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
204 opeq2 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = (𝐹𝑞) → ⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ = ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩)
205204eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = (𝐹𝑞) → (⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
206205ralima 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹 Fn 𝑋𝑑𝑋) → (∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑞𝑑 ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
20779, 206mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑𝑋 → (∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑞𝑑 ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
208207ralbidv 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑𝑋 → (∀𝑝𝑐𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨(𝐹𝑝), 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝𝑐𝑞𝑑 ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
209203, 208sylan9bb 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐𝑋𝑑𝑋) → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝𝑐𝑞𝑑 ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
210136, 147, 209syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝𝑐𝑞𝑑 ⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
211198, 210mpbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
212 dfss3 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑))𝑦 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
213 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑦 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
214213ralxp 5705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑦 ∈ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑))𝑦 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
215212, 214bitri 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢))
216211, 215sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))
217 xpeq1 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = (𝐹𝑐) → (𝑟 × 𝑠) = ((𝐹𝑐) × 𝑠))
218217eleq2d 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = (𝐹𝑐) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × 𝑠)))
219217sseq1d 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = (𝐹𝑐) → ((𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ((𝐹𝑐) × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
220218, 219anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = (𝐹𝑐) → ((⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × 𝑠) ∧ ((𝐹𝑐) × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
221 xpeq2 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = (𝐹𝑑) → ((𝐹𝑐) × 𝑠) = ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)))
222221eleq2d 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑑) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × 𝑠) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑))))
223221sseq1d 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑑) → (((𝐹𝑐) × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
224222, 223anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = (𝐹𝑑) → ((⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × 𝑠) ∧ ((𝐹𝑐) × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ∧ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
225220, 224rspc2ev 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑐) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑑) ∈ 𝐾 ∧ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ∧ ((𝐹𝑐) × (𝐹𝑑)) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
226126, 129, 152, 216, 225syl112anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ ((𝑐𝐽𝑑𝐽) ∧ ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)))) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
227226expr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) ∧ (𝑐𝐽𝑑𝐽)) → (((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
228227rexlimdvva 3292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (∃𝑐𝐽𝑑𝐽 ((𝑎𝑐𝑏𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ ( 𝑢)) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
229121, 228syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ([(𝑎(-g𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢 → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
23064, 229sylbid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢 → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
231230adantld 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ((⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
23255, 231sylbid 242 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
233 opeq12 4797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
234233eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
235233eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))} ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))}))
236 opex 5347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ V
237 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ → (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)))
238237anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ → ((𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
2392382rexbidv 3298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ → (∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)) ↔ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
240236, 239elab 3665 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))} ↔ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
241235, 240syl6bb 289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))} ↔ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
242234, 241imbi12d 347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))}) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))))
243232, 242syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋)) → ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))})))
244243rexlimdvva 3292 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))})))
24550, 244sylbird 262 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))})))
246245com23 86 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))})))
24737, 246mpdd 43 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))}))
24836, 247relssdv 5654 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → ((-g𝐻) “ 𝑢) ⊆ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))})
249 ssabral 4040 . . . . . 6 (((-g𝐻) “ 𝑢) ⊆ {𝑤 ∣ ∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))} ↔ ∀𝑤 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
250248, 249sylib 220 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → ∀𝑤 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢)))
251 eltx 22168 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻))) → (((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑤 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
25223, 23, 251syl2anc 586 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑤 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
253252adantr 483 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → (((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑤 ∈ ((-g𝐻) “ 𝑢)∃𝑟𝐾𝑠𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ ((-g𝐻) “ 𝑢))))
254250, 253mpbird 259 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐾) → ((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))
255254ralrimiva 3180 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → ∀𝑢𝐾 ((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))
256 txtopon 22191 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻))) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
25723, 23, 256syl2anc 586 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
258 iscn 21835 . . . 4 (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻))) → ((-g𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ↔ ((-g𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) ∧ ∀𝑢𝐾 ((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))))
259257, 23, 258syl2anc 586 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → ((-g𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ↔ ((-g𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) ∧ ∀𝑢𝐾 ((-g𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))))
26029, 255, 259mpbir2and 711 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
26114, 27istgp2 22691 . 2 (𝐻 ∈ TopGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ TopSp ∧ (-g𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)))
2623, 26, 260, 261syl3anbrc 1338 1 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  {cab 2797  wral 3136  wrex 3137  Vcvv 3493  wss 3934  cop 4565  cmpt 5137   × cxp 5546  ccnv 5547  dom cdm 5548  cima 5551  Rel wrel 5553   Fn wfn 6343  wf 6344  ontowfo 6346  cfv 6348  (class class class)co 7148  cmpo 7150  [cec 8279   / cqs 8280  Basecbs 16475  TopOpenctopn 16687   qTop cqtop 16768   /s cqus 16770  Grpcgrp 18095  -gcsg 18097  NrmSGrpcnsg 18266   ~QG cqg 18267  TopOnctopon 21510  TopSpctps 21532   Cn ccn 21824   ×t ctx 22160  TopGrpctgp 22671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-ec 8283  df-qs 8287  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-topgen 16709  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-qus 16774  df-plusf 17843  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-nsg 18269  df-eqg 18270  df-oppg 18466  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-tmd 22672  df-tgp 22673
This theorem is referenced by:  qustgp  22722
  Copyright terms: Public domain W3C validator