Theorem qustgplem 23606

Description: Lemma for qustgp 23607. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qustgp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
qustgpopn.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
qustgpopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
qustgpopn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
qustgpopn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
qustgplem.m	⊢ − = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑤 ∈ 𝑋 ↦ [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
qustgplem	⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑧,𝐺   𝑤,𝐽,𝑥,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑧   𝑤,𝐻,𝑥,𝑧   𝑤,𝐾,𝑥,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   − (𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem qustgplem

Dummy variables 𝑡 𝑏 𝑎 𝑐 𝑑 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qustgp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
2	1	qusgrp 19058	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
3	2	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
4	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌)))
5		qustgpopn.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑋 = (Base‘𝐺))
7		qustgpopn.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
8		ovex 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
10		simpl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ TopGrp)
11	4, 6, 7, 9, 10	qusval 17483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 = (𝐹 “s 𝐺))
12	4, 6, 7, 9, 10	quslem 17484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐹:𝑋–onto→(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)))
13		qustgpopn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
14		qustgpopn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
15	11, 6, 12, 10, 13, 14	imastopn 23205	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
16	13, 5	tgptopon 23567	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
17	16	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
18		qtoptopon 23189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))))
19	17, 12, 18	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))))
20	15, 19	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))))
21	4, 6, 9, 10	qusbas 17486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) = (Base‘𝐻))
22	21	fveq2d 6891	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) = (TopOn‘(Base‘𝐻)))
23	20, 22	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
24		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
25	24, 14	istps 22417	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
26	23, 25	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopSp)
27		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐻) = (-g‘𝐻)
28	24, 27	grpsubf 18897	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → (-g‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
29	3, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
30		cnvimass 6076	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ⊆ dom (-g‘𝐻)
31	29	fdmd 6724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → dom (-g‘𝐻) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
32	31	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → dom (-g‘𝐻) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
33	30, 32	sseqtrid 4032	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ⊆ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
34		relxp 5692	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))
35		relss 5778	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ⊆ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (Rel ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → Rel (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
36	33, 34, 35	mpisyl 21	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → Rel (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
37	33	sseld 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
38		vex 3479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑥 ∈ V
39	38	elqs 8758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
40	21	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) = (Base‘𝐻))
41	40	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
42	39, 41	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (∃𝑎 ∈ 𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
43		vex 3479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑦 ∈ V
44	43	elqs 8758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
45	40	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
46	44, 45	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
47	42, 46	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((∃𝑎 ∈ 𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))))
48		reeanv 3227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)))
49		opelxp 5710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
50	47, 48, 49	3bitr4g 314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
51	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝐻 ∈ Grp)
52	51, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (-g‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
53		ffn 6713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-g‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) → (-g‘𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
54		elpreima 7054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-g‘𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
55	52, 53, 54	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
56		df-ov 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) = ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
57		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
58		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑎 ∈ 𝑋)
59		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
60		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
61	1, 5, 60, 27	qussub 19063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
62	57, 58, 59, 61	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
63	56, 62	eqtr3id 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) = [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
64	63	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢 ↔ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
65		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋))
66		qustgplem.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ − = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑤 ∈ 𝑋 ↦ [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌))
67		tgpgrp 23563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
68	67	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
69	5, 60	grpsubf 18897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
70		ffn 6713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 → (-g‘𝐺) Fn (𝑋 × 𝑋))
71	68, 69, 70	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g‘𝐺) Fn (𝑋 × 𝑋))
72		fnov 7534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-g‘𝐺) Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ (-g‘𝐺) = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑧(-g‘𝐺)𝑤)))
73	71, 72	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g‘𝐺) = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑧(-g‘𝐺)𝑤)))
74	13, 60	tgpsubcn 23575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
75	74	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
76	73, 75	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑧(-g‘𝐺)𝑤)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
77		ecexg 8702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
78	8, 77	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
79	78, 7	fnmpti 6689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝐹 Fn 𝑋
80		qtopid 23190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
81	17, 79, 80	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
82	15	oveq2d 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
83	81, 82	eleqtrrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
84	7, 83	eqeltrrid 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
85		eceq1 8736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (𝑧(-g‘𝐺)𝑤) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌))
86	17, 17, 76, 17, 84, 85	cnmpt21 23156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑤 ∈ 𝑋 ↦ [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
87	66, 86	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
88	87	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
89		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑢 ∈ 𝐾)
90		cnima 22750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (( − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (◡ − “ 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
91	88, 89, 90	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (◡ − “ 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
92	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
93		eltx 23053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → ((◡ − “ 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ↔ ∀𝑡 ∈ (◡ − “ 𝑢)∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
94	92, 92, 93	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((◡ − “ 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ↔ ∀𝑡 ∈ (◡ − “ 𝑢)∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
95	91, 94	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ∀𝑡 ∈ (◡ − “ 𝑢)∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))
96		ecexg 8702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
97	8, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
98	66, 97	fnmpoi 8050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ − Fn (𝑋 × 𝑋)
99		elpreima 7054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ( − Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢)))
100	98, 99	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢))
101		opelxp 5710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋))
102	101	anbi1i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢))
103		df-ov 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑎 − 𝑏) = ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
104		oveq12 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 = 𝑎 ∧ 𝑤 = 𝑏) → (𝑧(-g‘𝐺)𝑤) = (𝑎(-g‘𝐺)𝑏))
105	104	eceq1d 8737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 = 𝑎 ∧ 𝑤 = 𝑏) → [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
106		ecexg 8702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
107	8, 106	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
108	105, 66, 107	ovmpoa 7557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑎 − 𝑏) = [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
109	103, 108	eqtr3id 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
110	109	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢 ↔ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
111	110	pm5.32i 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
112	100, 102, 111	3bitri 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
113		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑)))
114		opelxp 5710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑) ↔ (𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑))
115	113, 114	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ↔ (𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑)))
116	115	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
117	116	2rexbidv 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
118	117	rspccv 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑡 ∈ (◡ − “ 𝑢)∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)) → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) → ∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
119	112, 118	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑡 ∈ (◡ − “ 𝑢)∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)) → (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢) → ∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
120	95, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢) → ∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
121	65, 120	mpand 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ([(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢 → ∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
122		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝐺 ∈ TopGrp)
123	57	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
124		simprll 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑐 ∈ 𝐽)
125	1, 5, 13, 14, 7	qustgpopn 23605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑐 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝑐) ∈ 𝐾)
126	122, 123, 124, 125	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝐹 “ 𝑐) ∈ 𝐾)
127		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑑 ∈ 𝐽)
128	1, 5, 13, 14, 7	qustgpopn 23605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝑑) ∈ 𝐾)
129	122, 123, 127, 128	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝐹 “ 𝑑) ∈ 𝐾)
130	58	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑎 ∈ 𝑋)
131		eceq1 8736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
132	131, 7, 78	fvmpt3i 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑎) = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
133	130, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝐹‘𝑎) = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
134	122, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
135		toponss 22410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝐽) → 𝑐 ⊆ 𝑋)
136	134, 124, 135	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑐 ⊆ 𝑋)
137		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑))
138	137	simpld 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑎 ∈ 𝑐)
139		fnfvima 7229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑐) → (𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝑐))
140	79, 136, 138, 139	mp3an2i 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝑐))
141	133, 140	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (𝐹 “ 𝑐))
142	59	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑏 ∈ 𝑋)
143		eceq1 8736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
144	143, 7, 78	fvmpt3i 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑏) = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
145	142, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝐹‘𝑏) = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
146		toponss 22410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) → 𝑑 ⊆ 𝑋)
147	134, 127, 146	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑑 ⊆ 𝑋)
148	137	simprd 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑏 ∈ 𝑑)
149		fnfvima 7229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) → (𝐹‘𝑏) ∈ (𝐹 “ 𝑑))
150	79, 147, 148, 149	mp3an2i 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝐹‘𝑏) ∈ (𝐹 “ 𝑑))
151	145, 150	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (𝐹 “ 𝑑))
152	141, 151	opelxpd 5712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)))
153	136	sselda 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝑝 ∈ 𝑋)
154	147	sselda 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑑) → 𝑞 ∈ 𝑋)
155	153, 154	anim12dan 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋))
156		eceq1 8736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌))
157	156, 7, 78	fvmpt3i 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑝) = [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌))
158		eceq1 8736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌))
159	158, 7, 78	fvmpt3i 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑞) = [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌))
160		opeq12 4873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐹‘𝑝) = [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ (𝐹‘𝑞) = [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ = ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
161	157, 159, 160	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ = ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
162	155, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ = ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
163	123	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
164	1, 5, 24	quseccl 19059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
165	1, 5, 24	quseccl 19059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
166	164, 165	anim12dan 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻)))
167	163, 155, 166	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻)))
168		opelxpi 5711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻)) → ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
170	1, 5, 60, 27	qussub 19063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
171	170	3expb 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
172	163, 155, 171	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
173		oveq12 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑧 = 𝑝 ∧ 𝑤 = 𝑞) → (𝑧(-g‘𝐺)𝑤) = (𝑝(-g‘𝐺)𝑞))
174	173	eceq1d 8737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 = 𝑝 ∧ 𝑤 = 𝑞) → [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
175		ecexg 8702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
176	8, 175	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
177	174, 66, 176	ovmpoa 7557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → (𝑝 − 𝑞) = [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
178	155, 177	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → (𝑝 − 𝑞) = [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
179	172, 178	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = (𝑝 − 𝑞))
180		df-ov 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
181		df-ov 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑝 − 𝑞) = ( − ‘⟨𝑝, 𝑞⟩)
182	179, 180, 181	3eqtr3g 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) = ( − ‘⟨𝑝, 𝑞⟩))
183		opelxpi 5711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑))
184		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))
185	184	sselda 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑)) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢))
186	183, 185	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢))
187		elpreima 7054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ( − Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) ↔ (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢)))
188	98, 187	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) ↔ (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢))
189	188	simprbi 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) → ( − ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢)
190	186, 189	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ( − ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢)
191	182, 190	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)
192	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (-g‘𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
193	192	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → (-g‘𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
194		elpreima 7054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-g‘𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
195	193, 194	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
196	169, 191, 195	mpbir2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
197	162, 196	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
198	197	ralrimivva 3201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → ∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑞 ∈ 𝑑 ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
199		opeq1 4871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑝) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ = ⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩)
200	199	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑝) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
201	200	ralbidv 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑝) → (∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
202	201	ralima 7234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋) → (∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
203	79, 202	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 ⊆ 𝑋 → (∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
204		opeq2 4872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑞) → ⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ = ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩)
205	204	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑞) → (⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
206	205	ralima 7234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑋) → (∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝑑 ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
207	79, 206	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 ⊆ 𝑋 → (∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝑑 ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
208	207	ralbidv 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 ⊆ 𝑋 → (∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑞 ∈ 𝑑 ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
209	203, 208	sylan9bb 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑐 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑋) → (∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑞 ∈ 𝑑 ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
210	136, 147, 209	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑞 ∈ 𝑑 ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
211	198, 210	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → ∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
212		dfss3 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑))𝑦 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
213		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑦 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
214	213	ralxp 5838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑))𝑦 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
215	212, 214	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
216	211, 215	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
217		xpeq1 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = (𝐹 “ 𝑐) → (𝑟 × 𝑠) = ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠))
218	217	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = (𝐹 “ 𝑐) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠)))
219	217	sseq1d 4011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = (𝐹 “ 𝑐) → ((𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
220	218, 219	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = (𝐹 “ 𝑐) → ((⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ∧ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
221		xpeq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑑) → ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) = ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)))
222	221	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑑) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑))))
223	221	sseq1d 4011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑑) → (((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
224	222, 223	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑑) → ((⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ∧ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ∧ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
225	220, 224	rspc2ev 3622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹 “ 𝑐) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹 “ 𝑑) ∈ 𝐾 ∧ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ∧ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
226	126, 129, 152, 216, 225	syl112anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
227	226	expr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽)) → (((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
228	227	rexlimdvva 3212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
229	121, 228	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ([(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢 → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
230	64, 229	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢 → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
231	230	adantld 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
232	55, 231	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
233		opeq12 4873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
234	233	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
235	233	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))} ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))}))
236		opex 5462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ V
237		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ → (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)))
238	237	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ → ((𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
239	238	2rexbidv 3220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ → (∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
240	236, 239	elab 3666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
241	235, 240	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
242	234, 241	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))}) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))))
243	232, 242	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))})))
244	243	rexlimdvva 3212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))})))
245	50, 244	sylbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))})))
246	245	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))})))
247	37, 246	mpdd 43	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))}))
248	36, 247	relssdv 5785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ⊆ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))})
249		ssabral 4057	. . . . . 6 ⊢ ((◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ⊆ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))} ↔ ∀𝑤 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
250	248, 249	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ∀𝑤 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
251		eltx 23053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻))) → ((◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑤 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
252	23, 23, 251	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → ((◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑤 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
253	252	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑤 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
254	250, 253	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))
255	254	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → ∀𝑢 ∈ 𝐾 (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))
256		txtopon 23076	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻))) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
257	23, 23, 256	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
258		iscn 22720	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻))) → ((-g‘𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ↔ ((-g‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))))
259	257, 23, 258	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → ((-g‘𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ↔ ((-g‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))))
260	29, 255, 259	mpbir2and 712	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g‘𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
261	14, 27	istgp2 23576	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ TopGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ TopSp ∧ (-g‘𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)))
262	3, 26, 260, 261	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ⊆ wss 3946  ⟨cop 4632   ↦ cmpt 5229   × cxp 5672  ^◡ccnv 5673  dom cdm 5674   “ cima 5677  Rel wrel 5679   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  –onto→wfo 6537  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403   ∈ cmpo 7405  [cec 8696   / cqs 8697  Basecbs 17139  TopOpenctopn 17362   qTop cqtop 17444   /_s cqus 17446  Grpcgrp 18814  -_gcsg 18816  NrmSGrpcnsg 18994   ~_QG cqg 18995  TopOnctopon 22393  TopSpctps 22415   Cn ccn 22709   ×_t ctx 23045  TopGrpctgp 23556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-ec 8700  df-qs 8704  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-fz 13480  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-rest 17363  df-topn 17364  df-0g 17382  df-topgen 17384  df-qtop 17448  df-imas 17449  df-qus 17450  df-plusf 18555  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-grp 18817  df-minusg 18818  df-sbg 18819  df-subg 18996  df-nsg 18997  df-eqg 18998  df-oppg 19202  df-top 22377  df-topon 22394  df-topsp 22416  df-bases 22430  df-cn 22712  df-cnp 22713  df-tx 23047  df-hmeo 23240  df-tmd 23557  df-tgp 23558

This theorem is referenced by:  qustgp  23607