Theorem qustgplem 24440

Description: Lemma for qustgp 24441. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qustgp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
qustgpopn.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
qustgpopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
qustgpopn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
qustgpopn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
qustgplem.m	⊢ − = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑤 ∈ 𝑋 ↦ [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
qustgplem	⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑧,𝐺   𝑤,𝐽,𝑥,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑧   𝑤,𝐻,𝑥,𝑧   𝑤,𝐾,𝑥,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   − (𝑥, 𝑧, 𝑤)

Proof of Theorem qustgplem

Dummy variables 𝑡 𝑏 𝑎 𝑐 𝑑 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qustgp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
2	1	qusgrp 19401	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
4	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌)))
5		qustgpopn.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑋 = (Base‘𝐺))
7		qustgpopn.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
8		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
10		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ TopGrp)
11	4, 6, 7, 9, 10	qusval 17714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 = (𝐹 “s 𝐺))
12	4, 6, 7, 9, 10	quslem 17715	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐹:𝑋–onto→(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)))
13		qustgpopn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
14		qustgpopn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
15	11, 6, 12, 10, 13, 14	imastopn 24039	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
16	13, 5	tgptopon 24401	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
18		qtoptopon 24023	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))))
19	17, 12, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))))
20	15, 19	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))))
21	4, 6, 9, 10	qusbas 17717	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) = (Base‘𝐻))
22	21	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (TopOn‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌))) = (TopOn‘(Base‘𝐻)))
23	20, 22	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
24		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
25	24, 14	istps 23252	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
26	23, 25	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopSp)
27		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐻) = (-g‘𝐻)
28	24, 27	grpsubf 19229	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → (-g‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
29	3, 28	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
30		cnvimass 6198	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ⊆ dom (-g‘𝐻)
31	29	fdmd 6720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → dom (-g‘𝐻) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → dom (-g‘𝐻) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
33	30, 32	sseqtrid 3950	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ⊆ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
34		relxp 5668	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))
35		relss 5757	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ⊆ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (Rel ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → Rel (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
36	33, 34, 35	mpisyl 22	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → Rel (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
37	33	sseld 3907	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
38		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑥 ∈ V
39	38	elqs 8785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
40	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) = (Base‘𝐻))
41	40	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
42	39, 41	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (∃𝑎 ∈ 𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
43		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑦 ∈ V
44	43	elqs 8785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
45	40	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
46	44, 45	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
47	42, 46	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((∃𝑎 ∈ 𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))))
48		reeanv 3234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑋 𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)))
49		opelxp 5686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)))
50	47, 48, 49	3bitr4g 317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
51	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝐻 ∈ Grp)
52	51, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (-g‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
53		ffn 6709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-g‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) → (-g‘𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
54		elpreima 7057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-g‘𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
55	52, 53, 54	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
56		df-ov 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) = ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
57		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
58		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑎 ∈ 𝑋)
59		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
60		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
61	1, 5, 60, 27	qussub 19406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
62	57, 58, 59, 61	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
63	56, 62	eqtr3id 2809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) = [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
64	63	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢 ↔ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
65		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋))
66		qustgplem.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ − = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑤 ∈ 𝑋 ↦ [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌))
67		tgpgrp 24397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
68	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
69	5, 60	grpsubf 19229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
70		ffn 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 → (-g‘𝐺) Fn (𝑋 × 𝑋))
71	68, 69, 70	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g‘𝐺) Fn (𝑋 × 𝑋))
72		fnov 7551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-g‘𝐺) Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ (-g‘𝐺) = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑧(-g‘𝐺)𝑤)))
73	71, 72	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g‘𝐺) = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑧(-g‘𝐺)𝑤)))
74	13, 60	tgpsubcn 24409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
76	73, 75	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (𝑧(-g‘𝐺)𝑤)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
77		ecexg 8721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
78	8, 77	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
79	78, 7	fnmpti 6682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝐹 Fn 𝑋
80		qtopid 24024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
81	17, 79, 80	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
82	15	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹)))
83	81, 82	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
84	7, 83	eqeltrrid 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
85		eceq1 8757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (𝑧(-g‘𝐺)𝑤) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌))
86	17, 17, 76, 17, 84, 85	cnmpt21 23990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑤 ∈ 𝑋 ↦ [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
87	66, 86	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
88	87	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
89		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑢 ∈ 𝐾)
90		cnima 23583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (( − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (◡ − “ 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
91	88, 89, 90	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (◡ − “ 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
92	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
93		eltx 23887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → ((◡ − “ 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ↔ ∀𝑡 ∈ (◡ − “ 𝑢)∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
94	92, 92, 93	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((◡ − “ 𝑢) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ↔ ∀𝑡 ∈ (◡ − “ 𝑢)∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
95	91, 94	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ∀𝑡 ∈ (◡ − “ 𝑢)∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))
96		ecexg 8721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
97	8, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
98	66, 97	fnmpoi 8081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ − Fn (𝑋 × 𝑋)
99		elpreima 7057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ( − Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢)))
100	98, 99	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢))
101		opelxp 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋))
102	101	anbi1i 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢))
103		df-ov 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑎 − 𝑏) = ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
104		oveq12 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 = 𝑎 ∧ 𝑤 = 𝑏) → (𝑧(-g‘𝐺)𝑤) = (𝑎(-g‘𝐺)𝑏))
105	104	eceq1d 8758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 = 𝑎 ∧ 𝑤 = 𝑏) → [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
106		ecexg 8721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
107	8, 106	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
108	105, 66, 107	ovmpoa 7575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑎 − 𝑏) = [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
109	103, 108	eqtr3id 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌))
110	109	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢 ↔ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
111	110	pm5.32i 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝑢) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
112	100, 102, 111	3bitri 300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢))
113		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑)))
114		opelxp 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑) ↔ (𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑))
115	113, 114	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ↔ (𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑)))
116	115	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
117	116	2rexbidv 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
118	117	rspccv 3573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑡 ∈ (◡ − “ 𝑢)∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)) → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) → ∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
119	112, 118	biimtrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑡 ∈ (◡ − “ 𝑢)∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 (𝑡 ∈ (𝑐 × 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)) → (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢) → ∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
120	95, 119	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ [(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢) → ∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
121	65, 120	mpand 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ([(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢 → ∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))))
122		simp-4l 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝐺 ∈ TopGrp)
123	57	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
124		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑐 ∈ 𝐽)
125	1, 5, 13, 14, 7	qustgpopn 24439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑐 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝑐) ∈ 𝐾)
126	122, 123, 124, 125	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝐹 “ 𝑐) ∈ 𝐾)
127		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑑 ∈ 𝐽)
128	1, 5, 13, 14, 7	qustgpopn 24439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝑑) ∈ 𝐾)
129	122, 123, 127, 128	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝐹 “ 𝑑) ∈ 𝐾)
130	58	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑎 ∈ 𝑋)
131		eceq1 8757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
132	131, 7, 78	fvmpt3i 6999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑎) = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
133	130, 132	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝐹‘𝑎) = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌))
134	122, 16	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
135		toponss 23245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝐽) → 𝑐 ⊆ 𝑋)
136	134, 124, 135	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑐 ⊆ 𝑋)
137		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑))
138	137	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑎 ∈ 𝑐)
139		fnfvima 7239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑐) → (𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝑐))
140	79, 136, 138, 139	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝑐))
141	133, 140	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (𝐹 “ 𝑐))
142	59	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑏 ∈ 𝑋)
143		eceq1 8757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
144	143, 7, 78	fvmpt3i 6999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑏) = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
145	142, 144	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝐹‘𝑏) = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌))
146		toponss 23245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) → 𝑑 ⊆ 𝑋)
147	134, 127, 146	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑑 ⊆ 𝑋)
148	137	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → 𝑏 ∈ 𝑑)
149		fnfvima 7239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) → (𝐹‘𝑏) ∈ (𝐹 “ 𝑑))
150	79, 147, 148, 149	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝐹‘𝑏) ∈ (𝐹 “ 𝑑))
151	145, 150	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (𝐹 “ 𝑑))
152	141, 151	opelxpd 5689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)))
153	136	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝑝 ∈ 𝑋)
154	147	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑑) → 𝑞 ∈ 𝑋)
155	153, 154	anim12dan 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋))
156		eceq1 8757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌))
157	156, 7, 78	fvmpt3i 6999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑝) = [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌))
158		eceq1 8757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌))
159	158, 7, 78	fvmpt3i 6999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑞) = [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌))
160		opeq12 4834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐹‘𝑝) = [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ (𝐹‘𝑞) = [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ = ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
161	157, 159, 160	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ = ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
162	155, 161	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ = ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
163	123	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
164	1, 5, 24	quseccl 19402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → [𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
165	1, 5, 24	quseccl 19402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
166	164, 165	anim12dan 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻)))
167	163, 155, 166	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻)))
168		opelxpi 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻)) → ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
169	167, 168	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
170	1, 5, 60, 27	qussub 19406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
171	170	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
172	163, 155, 171	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
173		oveq12 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑧 = 𝑝 ∧ 𝑤 = 𝑞) → (𝑧(-g‘𝐺)𝑤) = (𝑝(-g‘𝐺)𝑞))
174	173	eceq1d 8758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 = 𝑝 ∧ 𝑤 = 𝑞) → [(𝑧(-g‘𝐺)𝑤)](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
175		ecexg 8721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
176	8, 175	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
177	174, 66, 176	ovmpoa 7575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑋) → (𝑝 − 𝑞) = [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
178	155, 177	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → (𝑝 − 𝑞) = [(𝑝(-g‘𝐺)𝑞)](𝐺 ~QG 𝑌))
179	172, 178	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = (𝑝 − 𝑞))
180		df-ov 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([𝑝](𝐺 ~QG 𝑌)(-g‘𝐻)[𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)) = ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
181		df-ov 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑝 − 𝑞) = ( − ‘⟨𝑝, 𝑞⟩)
182	179, 180, 181	3eqtr3g 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) = ( − ‘⟨𝑝, 𝑞⟩))
183		opelxpi 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑))
184		simprrr 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢))
185	184	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑐 × 𝑑)) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢))
186	183, 185	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢))
187		elpreima 7057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ( − Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) ↔ (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢)))
188	98, 187	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) ↔ (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ ( − ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢))
189	188	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (◡ − “ 𝑢) → ( − ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢)
190	186, 189	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ( − ‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ 𝑢)
191	182, 190	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)
192	52, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (-g‘𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
193	192	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → (-g‘𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
194		elpreima 7057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-g‘𝐻) Fn ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
195	193, 194	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ (⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢)))
196	169, 191, 195	mpbir2and 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ⟨[𝑝](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑞](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
197	162, 196	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) ∧ (𝑝 ∈ 𝑐 ∧ 𝑞 ∈ 𝑑)) → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
198	197	ralrimivva 3205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → ∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑞 ∈ 𝑑 ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
199		opeq1 4832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑝) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ = ⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩)
200	199	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑝) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
201	200	ralbidv 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑝) → (∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
202	201	ralima 7243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑐 ⊆ 𝑋) → (∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
203	79, 202	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 ⊆ 𝑋 → (∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
204		opeq2 4833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑞) → ⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ = ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩)
205	204	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑞) → (⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
206	205	ralima 7243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑋) → (∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝑑 ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
207	79, 206	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 ⊆ 𝑋 → (∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝑑 ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
208	207	ralbidv 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 ⊆ 𝑋 → (∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨(𝐹‘𝑝), 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑞 ∈ 𝑑 ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
209	203, 208	sylan9bb 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑐 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑋) → (∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑞 ∈ 𝑑 ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
210	136, 147, 209	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → (∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑐 ∀𝑞 ∈ 𝑑 ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
211	198, 210	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → ∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
212		dfss3 3897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑))𝑦 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
213		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑦 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
214	213	ralxp 5817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑))𝑦 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
215	212, 214	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝑐)∀𝑤 ∈ (𝐹 “ 𝑑)⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
216	211, 215	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))
217		xpeq1 5664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = (𝐹 “ 𝑐) → (𝑟 × 𝑠) = ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠))
218	217	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = (𝐹 “ 𝑐) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠)))
219	217	sseq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = (𝐹 “ 𝑐) → ((𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
220	218, 219	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = (𝐹 “ 𝑐) → ((⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ∧ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
221		xpeq2 5671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑑) → ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) = ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)))
222	221	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑑) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑))))
223	221	sseq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑑) → (((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
224	222, 223	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑑) → ((⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ∧ ((𝐹 “ 𝑐) × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ∧ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
225	220, 224	rspc2ev 3588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹 “ 𝑐) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹 “ 𝑑) ∈ 𝐾 ∧ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ∧ ((𝐹 “ 𝑐) × (𝐹 “ 𝑑)) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
226	126, 129, 152, 216, 225	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)))) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
227	226	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽)) → (((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
228	227	rexlimdvva 3219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (∃𝑐 ∈ 𝐽 ∃𝑑 ∈ 𝐽 ((𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) ∧ (𝑐 × 𝑑) ⊆ (◡ − “ 𝑢)) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
229	121, 228	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ([(𝑎(-g‘𝐺)𝑏)](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ 𝑢 → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
230	64, 229	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢 → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
231	230	adantld 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) ∧ ((-g‘𝐻)‘⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩) ∈ 𝑢) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
232	55, 231	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
233		opeq12 4834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩)
234	233	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
235	233	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))} ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))}))
236		opex 5431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ V
237		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ → (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)))
238	237	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ → ((𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
239	238	2rexbidv 3227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = ⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ → (∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
240	236, 239	elab 3632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
241	235, 240	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
242	234, 241	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))}) ↔ (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (⟨[𝑎](𝐺 ~QG 𝑌), [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))))
243	232, 242	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))})))
244	243	rexlimdvva 3219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑥 = [𝑎](𝐺 ~QG 𝑌) ∧ 𝑦 = [𝑏](𝐺 ~QG 𝑌)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))})))
245	50, 244	sylbird 263	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))})))
246	245	com23 87	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))})))
247	37, 246	mpdd 44	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))}))
248	36, 247	relssdv 5763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ⊆ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))})
249		ssabral 3989	. . . . . 6 ⊢ ((◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ⊆ {𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))} ↔ ∀𝑤 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
250	248, 249	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ∀𝑤 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)))
251		eltx 23887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻))) → ((◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑤 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
252	23, 23, 251	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → ((◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑤 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
253	252	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾) ↔ ∀𝑤 ∈ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢)∃𝑟 ∈ 𝐾 ∃𝑠 ∈ 𝐾 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢))))
254	250, 253	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))
255	254	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → ∀𝑢 ∈ 𝐾 (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))
256		txtopon 23910	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻))) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
257	23, 23, 256	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))))
258		iscn 23553	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻))) → ((-g‘𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ↔ ((-g‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))))
259	257, 23, 258	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → ((-g‘𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ↔ ((-g‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (◡(-g‘𝐻) “ 𝑢) ∈ (𝐾 ×t 𝐾))))
260	29, 255, 259	mpbir2and 726	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (-g‘𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
261	14, 27	istgp2 24410	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ TopGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ TopSp ∧ (-g‘𝐻) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)))
262	3, 26, 260, 261	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   “ cima 5653  Rel wrel 5655   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  [cec 8715   / cqs 8716  Basecbs 17387  TopOpenctopn 17592   qTop cqtop 17675   /_s cqus 17677  Grpcgrp 19144  -_gcsg 19146  NrmSGrpcnsg 19331   ~_QG cqg 19332  TopOnctopon 23228  TopSpctps 23250   Cn ccn 23542   ×_t ctx 23879  TopGrpctgp 24390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-topgen 17614  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-qus 17681  df-plusf 18815  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-oppg 19560  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-tmd 24391  df-tgp 24392

This theorem is used by:  qustgp  24441