MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znzrhval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znzrhval 20365
Description: The ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znzrh2.s 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znzrh2.r = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
znzrh2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrh2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znzrhval ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) = [𝐴] )

Proof of Theorem znzrhval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znzrh2.s . . . 4 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2 znzrh2.r . . . 4 = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
3 znzrh2.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 znzrh2.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
51, 2, 3, 4znzrh2 20364 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ))
65fveq1d 6676 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] )‘𝐴))
7 eceq1 8358 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → [𝑥] = [𝐴] )
8 eqid 2738 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] )
92ovexi 7204 . . . 4 ∈ V
10 ecexg 8324 . . . 4 ( ∈ V → [𝐴] ∈ V)
119, 10ax-mp 5 . . 3 [𝐴] ∈ V
127, 8, 11fvmpt 6775 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] )‘𝐴) = [𝐴] )
136, 12sylan9eq 2793 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) = [𝐴] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  {csn 4516  cmpt 5110  cfv 6339  (class class class)co 7170  [cec 8318  0cn0 11976  cz 12062   ~QG cqg 18393  RSpancrsp 20062  ringzring 20289  ℤRHomczrh 20320  ℤ/nczn 20323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-ec 8322  df-qs 8326  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-seq 13461  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-imas 16884  df-qus 16885  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-nsg 18395  df-eqg 18396  df-ghm 18474  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-oppr 19495  df-rnghom 19589  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-lidl 20065  df-rsp 20066  df-2idl 20124  df-cnfld 20218  df-zring 20290  df-zrh 20324  df-zn 20327
This theorem is referenced by:  zndvds  20368
  Copyright terms: Public domain W3C validator