MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pi1xfrf 24930
Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
pi1xfr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
pi1xfr.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1xfr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΌβ€˜0))
pi1xfrval.2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
Assertion
Ref Expression
pi1xfrf (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘„))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   πœ‘,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)
Proof of Theorem pi1xfrf
Dummy variables β„Ž 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
2 pi1xfr.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
3 pi1xfr.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 pi1xfr.j . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
54adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6 iitopon 24749 . . . . . . . 8 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
7 pi1xfr.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8 cnf2 23103 . . . . . . . 8 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ 𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
96, 4, 7, 8mp3an2i 1462 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
10 0elunit 13449 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
11 ffvelcdm 7076 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝑋)
129, 10, 11sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝑋)
1312adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝑋)
143a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
152, 4, 12, 14pi1eluni 24919 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0) ∧ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0))))
1615biimpa 476 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0) ∧ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0)))
1716simp1d 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
1816simp2d 1140 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0))
1916simp3d 1141 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0))
202, 3, 5, 13, 17, 18, 19elpi1i 24923 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) ∈ 𝐡)
21 pi1xfr.q . . . . 5 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
22 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
23 1elunit 13450 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
24 ffvelcdm 7076 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑋)
259, 23, 24sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑋)
2625adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑋)
27 pi1xfrval.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
2827adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
297adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3017, 29, 19pcocn 24894 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
3117, 29pco0 24891 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0) = (π‘”β€˜0))
32 pi1xfrval.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
3332adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
3418, 31, 333eqtr4rd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜1) = ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0))
3528, 30, 34pcocn 24894 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
3628, 30pco0 24891 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΌβ€˜0))
37 pi1xfrval.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΌβ€˜0))
3837adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜1) = (πΌβ€˜0))
3936, 38eqtr4d 2769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΉβ€˜1))
4028, 30pco1 24892 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜1))
4117, 29pco1 24892 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
4240, 41eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = (πΉβ€˜1))
4321, 22, 5, 26, 35, 39, 42elpi1i 24923 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
44 eceq1 8740 . . . 4 (𝑔 = β„Ž β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))
45 oveq1 7411 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹) = (β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹))
4645oveq2d 7420 . . . . 5 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) = (𝐼(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹)))
4746eceq1d 8741 . . . 4 (𝑔 = β„Ž β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) = [(𝐼(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½))
48 phtpcer 24871 . . . . . 6 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
4948a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
50183ad2antr1 1185 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0))
51173ad2antr1 1185 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
527adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5351, 52pco0 24891 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0) = (π‘”β€˜0))
5432adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
5550, 53, 543eqtr4rd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (πΌβ€˜1) = ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0))
5627adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
5749, 56erref 8722 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐼( ≃phβ€˜π½)𝐼)
58193ad2antr1 1185 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0))
59 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))
6049, 51erth 8751 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝑔( ≃phβ€˜π½)β„Ž ↔ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½)))
6159, 60mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝑔( ≃phβ€˜π½)β„Ž)
6249, 52erref 8722 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐹( ≃phβ€˜π½)𝐹)
6358, 61, 62pcohtpy 24897 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)( ≃phβ€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹))
6455, 57, 63pcohtpy 24897 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))( ≃phβ€˜π½)(𝐼(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹)))
6549, 64erthi 8753 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) = [(𝐼(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½))
661, 20, 43, 44, 47, 65fliftfund 7305 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐺)
671, 20, 43fliftf 7307 . . 3 (πœ‘ β†’ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„)))
6866, 67mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„))
692, 4, 12, 14pi1bas2 24918 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (βˆͺ 𝐡 / ( ≃phβ€˜π½)))
70 df-qs 8708 . . . . 5 (βˆͺ 𝐡 / ( ≃phβ€˜π½)) = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ βˆͺ 𝐡𝑠 = [𝑔]( ≃phβ€˜π½)}
71 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)) = (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))
7271rnmpt 5947 . . . . 5 ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)) = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ βˆͺ 𝐡𝑠 = [𝑔]( ≃phβ€˜π½)}
7370, 72eqtr4i 2757 . . . 4 (βˆͺ 𝐡 / ( ≃phβ€˜π½)) = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))
7469, 73eqtrdi 2782 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)))
7574feq2d 6696 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘„) ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„)))
7668, 75mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆƒwrex 3064  βŸ¨cop 4629  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  Fun wfun 6530  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   Er wer 8699  [cec 8700   / cqs 8701  0cc0 11109  1c1 11110  [,]cicc 13330  Basecbs 17150  TopOnctopon 22762   Cn ccn 23078  IIcii 24745   ≃phcphtpc 24845  *𝑝cpco 24877   Ο€1 cpi1 24880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-qus 17461  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-ii 24747  df-htpy 24846  df-phtpy 24847  df-phtpc 24868  df-pco 24882  df-om1 24883  df-pi1 24885
This theorem is referenced by:  pi1xfrval  24931  pi1xfr  24932
  Copyright terms: Public domain W3C validator