Theorem pi1xfrf 25212

Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
pi1xfrval.2	⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrf	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝜑,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrf

Dummy variables ℎ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
2		pi1xfr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
3		pi1xfr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		pi1xfr.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		iitopon 25038	. . . . . . . 8 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
7		pi1xfr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8		cnf2 23406	. . . . . . . 8 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
9	6, 4, 7, 8	mp3an2i 1495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
10		0elunit 13491	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
11		ffvelcdm 7076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
12	9, 10, 11	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
13	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
14	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
15	2, 4, 12, 14	pi1eluni 25201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0))))
16	15	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)))
17	16	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
18	16	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
19	16	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
20	2, 3, 5, 13, 17, 18, 19	elpi1i 25205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ 𝐵)
21		pi1xfr.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
22		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
23		1elunit 13492	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
24		ffvelcdm 7076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
25	9, 23, 24	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
26	25	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
27		pi1xfrval.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
28	27	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
29	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
30	17, 29, 19	pcocn 25176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
31	17, 29	pco0 25173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
32		pi1xfrval.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
33	32	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
34	18, 31, 33	3eqtr4rd 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0))
35	28, 30, 34	pcocn 25176	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
36	28, 30	pco0 25173	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
37		pi1xfrval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
38	37	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
39	36, 38	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
40	28, 30	pco1 25174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘1))
41	17, 29	pco1 25174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
42	40, 41	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
43	21, 22, 5, 26, 35, 39, 42	elpi1i 25205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝑄))
44		eceq1 8730	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
45		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) = (ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))
46	45	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹)))
47	46	eceq1d 8731	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
48		phtpcer 25154	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
50	18	3ad2antr1 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
51	17	3ad2antr1 1207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
52	7	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
53	51, 52	pco0 25173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
54	32	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
55	50, 53, 54	3eqtr4rd 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0))
56	27	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
57	49, 56	erref 8711	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐼( ≃ph‘𝐽)𝐼)
58	19	3ad2antr1 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
59		simpr3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
60	49, 51	erth 8745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ ↔ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽)))
61	59, 60	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ)
62	49, 52	erref 8711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐹)
63	58, 61, 62	pcohtpy 25179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃ph‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))
64	55, 57, 63	pcohtpy 25179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))( ≃ph‘𝐽)(𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹)))
65	49, 64	erthi 8747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
66	1, 20, 43, 44, 47, 65	fliftfund 7311	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
67	1, 20, 43	fliftf 7313	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐺 ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
68	66, 67	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄))
69	2, 4, 12, 14	pi1bas2 25200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)))
70		df-qs 8696	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
71		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
72	71	rnmpt 5947	. . . . 5 ⊢ ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
73	70, 72	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
74	69, 73	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)))
75	74	feq2d 6689	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
76	68, 75	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∃wrex 3089  ⟨cop 4595  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   Er wer 8687  [cec 8688   / cqs 8689  0cc0 11095  1c1 11096  [,]cicc 13370  Basecbs 17264  TopOnctopon 23067   Cn ccn 23381  IIcii 25034   ≃_phcphtpc 25128  *_𝑝cpco 25159   π₁ cpi1 25162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-qus 17558  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-ii 25036  df-htpy 25129  df-phtpy 25130  df-phtpc 25151  df-pco 25164  df-om1 25165  df-pi1 25167

This theorem is referenced by:  pi1xfrval  25213  pi1xfr  25214