MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrf 23131
Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
pi1xfrval.2 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
Assertion
Ref Expression
pi1xfrf (𝜑𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝜑,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrf
Dummy variables 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
2 pi1xfr.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
3 pi1xfr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 pi1xfr.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
54adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 iitopon 22961 . . . . . . . . 9 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
8 pi1xfr.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9 cnf2 21333 . . . . . . . 8 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
107, 4, 8, 9syl3anc 1490 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
11 0elunit 12495 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
12 ffvelrn 6547 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
1310, 11, 12sylancl 580 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
1413adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
153a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
162, 4, 13, 15pi1eluni 23120 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0))))
1716biimpa 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)))
1817simp1d 1172 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
1917simp2d 1173 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
2017simp3d 1174 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
212, 3, 5, 14, 18, 19, 20elpi1i 23124 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ 𝐵)
22 pi1xfr.q . . . . 5 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
23 eqid 2765 . . . . 5 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
24 1elunit 12496 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
25 ffvelrn 6547 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
2610, 24, 25sylancl 580 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
2726adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
28 pi1xfrval.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
2928adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
308adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3118, 30, 20pcocn 23095 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
3218, 30pco0 23092 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
33 pi1xfrval.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3433adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3519, 32, 343eqtr4rd 2810 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
3629, 31, 35pcocn 23095 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
3729, 31pco0 23092 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
38 pi1xfrval.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
3938adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
4037, 39eqtr4d 2802 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
4129, 31pco1 23093 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
4218, 30pco1 23093 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
4341, 42eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
4422, 23, 5, 27, 36, 40, 43elpi1i 23124 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘𝑄))
45 eceq1 7985 . . . 4 (𝑔 = → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
46 oveq1 6849 . . . . . 6 (𝑔 = → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) = ((*𝑝𝐽)𝐹))
4746oveq2d 6858 . . . . 5 (𝑔 = → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
4847eceq1d 7986 . . . 4 (𝑔 = → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
49 phtpcer 23073 . . . . . 6 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
5049a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
51193ad2antr1 1239 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
52183ad2antr1 1239 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
538adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5452, 53pco0 23092 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
5533adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
5651, 54, 553eqtr4rd 2810 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
5728adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
5850, 57erref 7967 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐼( ≃ph𝐽)𝐼)
59203ad2antr1 1239 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
60 simpr3 1252 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
6150, 52erth 7994 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔( ≃ph𝐽) ↔ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽)))
6260, 61mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔( ≃ph𝐽))
6350, 53erref 7967 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐹)
6459, 62, 63pcohtpy 23098 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
6556, 58, 64pcohtpy 23098 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
6650, 65erthi 7996 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
671, 21, 44, 45, 48, 66fliftfund 6755 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐺)
681, 21, 44fliftf 6757 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐺:ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
6967, 68mpbid 223 . 2 (𝜑𝐺:ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄))
702, 4, 13, 15pi1bas2 23119 . . . 4 (𝜑𝐵 = ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
71 df-qs 7953 . . . . 5 ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
72 eqid 2765 . . . . . 6 (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7372rnmpt 5540 . . . . 5 ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
7471, 73eqtr4i 2790 . . . 4 ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)) = ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7570, 74syl6eq 2815 . . 3 (𝜑𝐵 = ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)))
7675feq2d 6209 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
7769, 76mpbird 248 1 (𝜑𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  {cab 2751  wrex 3056  cop 4340   cuni 4594   class class class wbr 4809  cmpt 4888  ran crn 5278  Fun wfun 6062  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842   Er wer 7944  [cec 7945   / cqs 7946  0cc0 10189  1c1 10190  [,]cicc 12380  Basecbs 16130  TopOnctopon 20994   Cn ccn 21308  IIcii 22957  phcphtpc 23047  *𝑝cpco 23078   π1 cpi1 23081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-qus 16435  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-ii 22959  df-htpy 23048  df-phtpy 23049  df-phtpc 23070  df-pco 23083  df-om1 23084  df-pi1 23086
This theorem is referenced by:  pi1xfrval  23132  pi1xfr  23133
  Copyright terms: Public domain W3C validator