MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pi1xfrf 24800
Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
pi1xfr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
pi1xfr.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1xfr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΌβ€˜0))
pi1xfrval.2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
Assertion
Ref Expression
pi1xfrf (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘„))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   πœ‘,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)
Proof of Theorem pi1xfrf
Dummy variables β„Ž 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
2 pi1xfr.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
3 pi1xfr.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 pi1xfr.j . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
54adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6 iitopon 24619 . . . . . . . 8 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
7 pi1xfr.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8 cnf2 22973 . . . . . . . 8 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ 𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
96, 4, 7, 8mp3an2i 1464 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
10 0elunit 13450 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
11 ffvelcdm 7082 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝑋)
129, 10, 11sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝑋)
1312adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝑋)
143a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
152, 4, 12, 14pi1eluni 24789 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0) ∧ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0))))
1615biimpa 475 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0) ∧ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0)))
1716simp1d 1140 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
1816simp2d 1141 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0))
1916simp3d 1142 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0))
202, 3, 5, 13, 17, 18, 19elpi1i 24793 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) ∈ 𝐡)
21 pi1xfr.q . . . . 5 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
22 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
23 1elunit 13451 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
24 ffvelcdm 7082 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑋)
259, 23, 24sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑋)
2625adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑋)
27 pi1xfrval.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
2827adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
297adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3017, 29, 19pcocn 24764 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
3117, 29pco0 24761 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0) = (π‘”β€˜0))
32 pi1xfrval.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
3332adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
3418, 31, 333eqtr4rd 2781 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜1) = ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0))
3528, 30, 34pcocn 24764 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
3628, 30pco0 24761 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΌβ€˜0))
37 pi1xfrval.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΌβ€˜0))
3837adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜1) = (πΌβ€˜0))
3936, 38eqtr4d 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΉβ€˜1))
4028, 30pco1 24762 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜1))
4117, 29pco1 24762 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
4240, 41eqtrd 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = (πΉβ€˜1))
4321, 22, 5, 26, 35, 39, 42elpi1i 24793 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
44 eceq1 8743 . . . 4 (𝑔 = β„Ž β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))
45 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹) = (β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹))
4645oveq2d 7427 . . . . 5 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) = (𝐼(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹)))
4746eceq1d 8744 . . . 4 (𝑔 = β„Ž β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) = [(𝐼(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½))
48 phtpcer 24741 . . . . . 6 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
4948a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
50183ad2antr1 1186 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0))
51173ad2antr1 1186 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
527adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5351, 52pco0 24761 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0) = (π‘”β€˜0))
5432adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
5550, 53, 543eqtr4rd 2781 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (πΌβ€˜1) = ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0))
5627adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
5749, 56erref 8725 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐼( ≃phβ€˜π½)𝐼)
58193ad2antr1 1186 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0))
59 simpr3 1194 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))
6049, 51erth 8754 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝑔( ≃phβ€˜π½)β„Ž ↔ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½)))
6159, 60mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝑔( ≃phβ€˜π½)β„Ž)
6249, 52erref 8725 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐹( ≃phβ€˜π½)𝐹)
6358, 61, 62pcohtpy 24767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)( ≃phβ€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹))
6455, 57, 63pcohtpy 24767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))( ≃phβ€˜π½)(𝐼(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹)))
6549, 64erthi 8756 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) = [(𝐼(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½))
661, 20, 43, 44, 47, 65fliftfund 7312 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐺)
671, 20, 43fliftf 7314 . . 3 (πœ‘ β†’ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„)))
6866, 67mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„))
692, 4, 12, 14pi1bas2 24788 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (βˆͺ 𝐡 / ( ≃phβ€˜π½)))
70 df-qs 8711 . . . . 5 (βˆͺ 𝐡 / ( ≃phβ€˜π½)) = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ βˆͺ 𝐡𝑠 = [𝑔]( ≃phβ€˜π½)}
71 eqid 2730 . . . . . 6 (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)) = (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))
7271rnmpt 5953 . . . . 5 ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)) = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ βˆͺ 𝐡𝑠 = [𝑔]( ≃phβ€˜π½)}
7370, 72eqtr4i 2761 . . . 4 (βˆͺ 𝐡 / ( ≃phβ€˜π½)) = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))
7469, 73eqtrdi 2786 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)))
7574feq2d 6702 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘„) ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„)))
7668, 75mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2707  βˆƒwrex 3068  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   Er wer 8702  [cec 8703   / cqs 8704  0cc0 11112  1c1 11113  [,]cicc 13331  Basecbs 17148  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948  IIcii 24615   ≃phcphtpc 24715  *𝑝cpco 24747   Ο€1 cpi1 24750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-qus 17459  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-ii 24617  df-htpy 24716  df-phtpy 24717  df-phtpc 24738  df-pco 24752  df-om1 24753  df-pi1 24755
This theorem is referenced by:  pi1xfrval  24801  pi1xfr  24802
  Copyright terms: Public domain W3C validator