Theorem pi1xfrf 24225

Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
pi1xfrval.2	⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrf	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝜑,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrf

Dummy variables ℎ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
2		pi1xfr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
3		pi1xfr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		pi1xfr.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		iitopon 24051	. . . . . . . 8 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
7		pi1xfr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8		cnf2 22409	. . . . . . . 8 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
9	6, 4, 7, 8	mp3an2i 1465	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
10		0elunit 13210	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
11		ffvelrn 6968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
14	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
15	2, 4, 12, 14	pi1eluni 24214	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0))))
16	15	biimpa 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)))
17	16	simp1d 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
18	16	simp2d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
19	16	simp3d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
20	2, 3, 5, 13, 17, 18, 19	elpi1i 24218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ 𝐵)
21		pi1xfr.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
22		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
23		1elunit 13211	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
24		ffvelrn 6968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
25	9, 23, 24	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
26	25	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
27		pi1xfrval.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
28	27	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
29	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
30	17, 29, 19	pcocn 24189	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
31	17, 29	pco0 24186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
32		pi1xfrval.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
34	18, 31, 33	3eqtr4rd 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0))
35	28, 30, 34	pcocn 24189	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
36	28, 30	pco0 24186	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
37		pi1xfrval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
38	37	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
39	36, 38	eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
40	28, 30	pco1 24187	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘1))
41	17, 29	pco1 24187	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
42	40, 41	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
43	21, 22, 5, 26, 35, 39, 42	elpi1i 24218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝑄))
44		eceq1 8545	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
45		oveq1 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) = (ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))
46	45	oveq2d 7300	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹)))
47	46	eceq1d 8546	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
48		phtpcer 24167	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
50	18	3ad2antr1 1187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
51	17	3ad2antr1 1187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
52	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
53	51, 52	pco0 24186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
54	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
55	50, 53, 54	3eqtr4rd 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0))
56	27	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
57	49, 56	erref 8527	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐼( ≃ph‘𝐽)𝐼)
58	19	3ad2antr1 1187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
59		simpr3 1195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
60	49, 51	erth 8556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ ↔ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽)))
61	59, 60	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ)
62	49, 52	erref 8527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐹)
63	58, 61, 62	pcohtpy 24192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃ph‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))
64	55, 57, 63	pcohtpy 24192	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))( ≃ph‘𝐽)(𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹)))
65	49, 64	erthi 8558	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
66	1, 20, 43, 44, 47, 65	fliftfund 7193	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
67	1, 20, 43	fliftf 7195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐺 ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
68	66, 67	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄))
69	2, 4, 12, 14	pi1bas2 24213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)))
70		df-qs 8513	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
71		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
72	71	rnmpt 5867	. . . . 5 ⊢ ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
73	70, 72	eqtr4i 2770	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
74	69, 73	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)))
75	74	feq2d 6595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
76	68, 75	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cab 2716  ∃wrex 3066  ⟨cop 4568  ∪ cuni 4840   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5158  ran crn 5591  Fun wfun 6431  ⟶wf 6433  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   Er wer 8504  [cec 8505   / cqs 8506  0cc0 10880  1c1 10881  [,]cicc 13091  Basecbs 16921  TopOnctopon 22068   Cn ccn 22384  IIcii 24047   ≃_phcphtpc 24141  *_𝑝cpco 24172   π₁ cpi1 24175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-mulf 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-ec 8509  df-qs 8513  df-map 8626  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ioo 13092  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-seq 13731  df-exp 13792  df-hash 14054  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-pt 17164  df-prds 17167  df-xrs 17222  df-qtop 17227  df-imas 17228  df-qus 17229  df-xps 17230  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cld 22179  df-cn 22387  df-cnp 22388  df-tx 22722  df-hmeo 22915  df-xms 23482  df-ms 23483  df-tms 23484  df-ii 24049  df-htpy 24142  df-phtpy 24143  df-phtpc 24164  df-pco 24177  df-om1 24178  df-pi1 24180

This theorem is referenced by:  pi1xfrval  24226  pi1xfr  24227