MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrf 23649
Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
pi1xfrval.2 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
Assertion
Ref Expression
pi1xfrf (𝜑𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝜑,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrf
Dummy variables 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
2 pi1xfr.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
3 pi1xfr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 pi1xfr.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
54adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 iitopon 23479 . . . . . . . 8 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
7 pi1xfr.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8 cnf2 21849 . . . . . . . 8 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
96, 4, 7, 8mp3an2i 1459 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
10 0elunit 12847 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
11 ffvelrn 6842 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
129, 10, 11sylancl 588 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
1312adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
143a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
152, 4, 12, 14pi1eluni 23638 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0))))
1615biimpa 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)))
1716simp1d 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
1816simp2d 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
1916simp3d 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
202, 3, 5, 13, 17, 18, 19elpi1i 23642 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ 𝐵)
21 pi1xfr.q . . . . 5 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
22 eqid 2819 . . . . 5 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
23 1elunit 12848 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
24 ffvelrn 6842 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
259, 23, 24sylancl 588 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
2625adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
27 pi1xfrval.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
2827adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
297adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3017, 29, 19pcocn 23613 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
3117, 29pco0 23610 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
32 pi1xfrval.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3332adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3418, 31, 333eqtr4rd 2865 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
3528, 30, 34pcocn 23613 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
3628, 30pco0 23610 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
37 pi1xfrval.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
3837adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
3936, 38eqtr4d 2857 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
4028, 30pco1 23611 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
4117, 29pco1 23611 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
4240, 41eqtrd 2854 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
4321, 22, 5, 26, 35, 39, 42elpi1i 23642 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘𝑄))
44 eceq1 8319 . . . 4 (𝑔 = → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
45 oveq1 7155 . . . . . 6 (𝑔 = → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) = ((*𝑝𝐽)𝐹))
4645oveq2d 7164 . . . . 5 (𝑔 = → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
4746eceq1d 8320 . . . 4 (𝑔 = → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
48 phtpcer 23591 . . . . . 6 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
4948a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
50183ad2antr1 1182 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
51173ad2antr1 1182 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
527adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5351, 52pco0 23610 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
5432adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
5550, 53, 543eqtr4rd 2865 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
5627adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
5749, 56erref 8301 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐼( ≃ph𝐽)𝐼)
58193ad2antr1 1182 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
59 simpr3 1190 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
6049, 51erth 8330 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔( ≃ph𝐽) ↔ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽)))
6159, 60mpbird 259 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔( ≃ph𝐽))
6249, 52erref 8301 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐹)
6358, 61, 62pcohtpy 23616 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
6455, 57, 63pcohtpy 23616 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
6549, 64erthi 8332 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
661, 20, 43, 44, 47, 65fliftfund 7058 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐺)
671, 20, 43fliftf 7060 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐺:ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
6866, 67mpbid 234 . 2 (𝜑𝐺:ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄))
692, 4, 12, 14pi1bas2 23637 . . . 4 (𝜑𝐵 = ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
70 df-qs 8287 . . . . 5 ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
71 eqid 2819 . . . . . 6 (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7271rnmpt 5820 . . . . 5 ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
7370, 72eqtr4i 2845 . . . 4 ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)) = ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7469, 73syl6eq 2870 . . 3 (𝜑𝐵 = ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)))
7574feq2d 6493 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
7668, 75mpbird 259 1 (𝜑𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  {cab 2797  wrex 3137  cop 4565   cuni 4830   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  Fun wfun 6342  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148   Er wer 8278  [cec 8279   / cqs 8280  0cc0 10529  1c1 10530  [,]cicc 12733  Basecbs 16475  TopOnctopon 21510   Cn ccn 21824  IIcii 23475  phcphtpc 23565  *𝑝cpco 23596   π1 cpi1 23599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-ec 8283  df-qs 8287  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-qus 16774  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-ii 23477  df-htpy 23566  df-phtpy 23567  df-phtpc 23588  df-pco 23601  df-om1 23602  df-pi1 23604
This theorem is referenced by:  pi1xfrval  23650  pi1xfr  23651
  Copyright terms: Public domain W3C validator