MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pi1xfrf 25000
Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
pi1xfr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
pi1xfr.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1xfr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΌβ€˜0))
pi1xfrval.2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
Assertion
Ref Expression
pi1xfrf (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘„))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   πœ‘,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)
Proof of Theorem pi1xfrf
Dummy variables β„Ž 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
2 pi1xfr.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
3 pi1xfr.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 pi1xfr.j . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
54adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6 iitopon 24819 . . . . . . . 8 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
7 pi1xfr.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8 cnf2 23173 . . . . . . . 8 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ 𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
96, 4, 7, 8mp3an2i 1462 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
10 0elunit 13486 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
11 ffvelcdm 7096 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝑋)
129, 10, 11sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝑋)
1312adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝑋)
143a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
152, 4, 12, 14pi1eluni 24989 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0) ∧ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0))))
1615biimpa 475 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0) ∧ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0)))
1716simp1d 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
1816simp2d 1140 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0))
1916simp3d 1141 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0))
202, 3, 5, 13, 17, 18, 19elpi1i 24993 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) ∈ 𝐡)
21 pi1xfr.q . . . . 5 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
22 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
23 1elunit 13487 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
24 ffvelcdm 7096 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑋)
259, 23, 24sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑋)
2625adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑋)
27 pi1xfrval.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
2827adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
297adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3017, 29, 19pcocn 24964 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
3117, 29pco0 24961 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0) = (π‘”β€˜0))
32 pi1xfrval.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
3332adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
3418, 31, 333eqtr4rd 2779 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜1) = ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0))
3528, 30, 34pcocn 24964 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
3628, 30pco0 24961 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΌβ€˜0))
37 pi1xfrval.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΌβ€˜0))
3837adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜1) = (πΌβ€˜0))
3936, 38eqtr4d 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΉβ€˜1))
4028, 30pco1 24962 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜1))
4117, 29pco1 24962 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
4240, 41eqtrd 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = (πΉβ€˜1))
4321, 22, 5, 26, 35, 39, 42elpi1i 24993 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
44 eceq1 8769 . . . 4 (𝑔 = β„Ž β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))
45 oveq1 7433 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹) = (β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹))
4645oveq2d 7442 . . . . 5 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) = (𝐼(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹)))
4746eceq1d 8770 . . . 4 (𝑔 = β„Ž β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) = [(𝐼(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½))
48 phtpcer 24941 . . . . . 6 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
4948a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
50183ad2antr1 1185 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0))
51173ad2antr1 1185 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
527adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5351, 52pco0 24961 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0) = (π‘”β€˜0))
5432adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
5550, 53, 543eqtr4rd 2779 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (πΌβ€˜1) = ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0))
5627adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
5749, 56erref 8751 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐼( ≃phβ€˜π½)𝐼)
58193ad2antr1 1185 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0))
59 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))
6049, 51erth 8781 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝑔( ≃phβ€˜π½)β„Ž ↔ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½)))
6159, 60mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝑔( ≃phβ€˜π½)β„Ž)
6249, 52erref 8751 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐹( ≃phβ€˜π½)𝐹)
6358, 61, 62pcohtpy 24967 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)( ≃phβ€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹))
6455, 57, 63pcohtpy 24967 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))( ≃phβ€˜π½)(𝐼(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹)))
6549, 64erthi 8783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) = [(𝐼(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½))
661, 20, 43, 44, 47, 65fliftfund 7327 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐺)
671, 20, 43fliftf 7329 . . 3 (πœ‘ β†’ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„)))
6866, 67mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„))
692, 4, 12, 14pi1bas2 24988 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (βˆͺ 𝐡 / ( ≃phβ€˜π½)))
70 df-qs 8737 . . . . 5 (βˆͺ 𝐡 / ( ≃phβ€˜π½)) = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ βˆͺ 𝐡𝑠 = [𝑔]( ≃phβ€˜π½)}
71 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)) = (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))
7271rnmpt 5961 . . . . 5 ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)) = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ βˆͺ 𝐡𝑠 = [𝑔]( ≃phβ€˜π½)}
7370, 72eqtr4i 2759 . . . 4 (βˆͺ 𝐡 / ( ≃phβ€˜π½)) = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))
7469, 73eqtrdi 2784 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)))
7574feq2d 6713 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘„) ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„)))
7668, 75mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2705  βˆƒwrex 3067  βŸ¨cop 4638  βˆͺ cuni 4912   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  ran crn 5683  Fun wfun 6547  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   Er wer 8728  [cec 8729   / cqs 8730  0cc0 11146  1c1 11147  [,]cicc 13367  Basecbs 17187  TopOnctopon 22832   Cn ccn 23148  IIcii 24815   ≃phcphtpc 24915  *𝑝cpco 24947   Ο€1 cpi1 24950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-qus 17498  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-ii 24817  df-htpy 24916  df-phtpy 24917  df-phtpc 24938  df-pco 24952  df-om1 24953  df-pi1 24955
This theorem is referenced by:  pi1xfrval  25001  pi1xfr  25002
  Copyright terms: Public domain W3C validator