Theorem pi1xfrf 25105

Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
pi1xfrval.2	⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrf	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝜑,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrf

Dummy variables ℎ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
2		pi1xfr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
3		pi1xfr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		pi1xfr.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		iitopon 24924	. . . . . . . 8 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
7		pi1xfr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8		cnf2 23278	. . . . . . . 8 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
9	6, 4, 7, 8	mp3an2i 1466	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
10		0elunit 13529	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
11		ffvelcdm 7115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
12	9, 10, 11	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
14	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
15	2, 4, 12, 14	pi1eluni 25094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0))))
16	15	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)))
17	16	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
18	16	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
19	16	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
20	2, 3, 5, 13, 17, 18, 19	elpi1i 25098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ 𝐵)
21		pi1xfr.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
22		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
23		1elunit 13530	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
24		ffvelcdm 7115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
25	9, 23, 24	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
27		pi1xfrval.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
29	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
30	17, 29, 19	pcocn 25069	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
31	17, 29	pco0 25066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
32		pi1xfrval.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
34	18, 31, 33	3eqtr4rd 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0))
35	28, 30, 34	pcocn 25069	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
36	28, 30	pco0 25066	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
37		pi1xfrval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
39	36, 38	eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
40	28, 30	pco1 25067	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘1))
41	17, 29	pco1 25067	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
42	40, 41	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
43	21, 22, 5, 26, 35, 39, 42	elpi1i 25098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝑄))
44		eceq1 8802	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
45		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) = (ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))
46	45	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹)))
47	46	eceq1d 8803	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
48		phtpcer 25046	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
50	18	3ad2antr1 1188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
51	17	3ad2antr1 1188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
52	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
53	51, 52	pco0 25066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
54	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
55	50, 53, 54	3eqtr4rd 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0))
56	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
57	49, 56	erref 8783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐼( ≃ph‘𝐽)𝐼)
58	19	3ad2antr1 1188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
59		simpr3 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
60	49, 51	erth 8814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ ↔ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽)))
61	59, 60	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ)
62	49, 52	erref 8783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐹)
63	58, 61, 62	pcohtpy 25072	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃ph‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))
64	55, 57, 63	pcohtpy 25072	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))( ≃ph‘𝐽)(𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹)))
65	49, 64	erthi 8816	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
66	1, 20, 43, 44, 47, 65	fliftfund 7349	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
67	1, 20, 43	fliftf 7351	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐺 ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
68	66, 67	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄))
69	2, 4, 12, 14	pi1bas2 25093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)))
70		df-qs 8769	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
71		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
72	71	rnmpt 5980	. . . . 5 ⊢ ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
73	70, 72	eqtr4i 2771	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
74	69, 73	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)))
75	74	feq2d 6733	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
76	68, 75	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∃wrex 3076  ⟨cop 4654  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   Er wer 8760  [cec 8761   / cqs 8762  0cc0 11184  1c1 11185  [,]cicc 13410  Basecbs 17258  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253  IIcii 24920   ≃_phcphtpc 25020  *_𝑝cpco 25052   π₁ cpi1 25055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-qus 17569  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-ii 24922  df-htpy 25021  df-phtpy 25022  df-phtpc 25043  df-pco 25057  df-om1 25058  df-pi1 25060

This theorem is referenced by:  pi1xfrval  25106  pi1xfr  25107