Theorem pi1xfrf 25284

Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
pi1xfrval.2	⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrf	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝜑,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrf

Dummy variables ℎ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
2		pi1xfr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
3		pi1xfr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		pi1xfr.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		iitopon 25110	. . . . . . . 8 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
7		pi1xfr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8		cnf2 23477	. . . . . . . 8 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
9	6, 4, 7, 8	mp3an2i 1495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
10		0elunit 13525	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
11		ffvelcdm 7075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
12	9, 10, 11	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
14	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
15	2, 4, 12, 14	pi1eluni 25273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0))))
16	15	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)))
17	16	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
18	16	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
19	16	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
20	2, 3, 5, 13, 17, 18, 19	elpi1i 25277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ 𝐵)
21		pi1xfr.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
22		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
23		1elunit 13526	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
24		ffvelcdm 7075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
25	9, 23, 24	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
27		pi1xfrval.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
29	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
30	17, 29, 19	pcocn 25248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
31	17, 29	pco0 25245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
32		pi1xfrval.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
33	32	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
34	18, 31, 33	3eqtr4rd 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0))
35	28, 30, 34	pcocn 25248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
36	28, 30	pco0 25245	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
37		pi1xfrval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
38	37	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
39	36, 38	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
40	28, 30	pco1 25246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘1))
41	17, 29	pco1 25246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
42	40, 41	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
43	21, 22, 5, 26, 35, 39, 42	elpi1i 25277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝐵) → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝑄))
44		eceq1 8739	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
45		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) = (ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))
46	45	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹)))
47	46	eceq1d 8740	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
48		phtpcer 25226	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
50	18	3ad2antr1 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
51	17	3ad2antr1 1207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
52	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
53	51, 52	pco0 25245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
54	32	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
55	50, 53, 54	3eqtr4rd 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)‘0))
56	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
57	49, 56	erref 8720	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐼( ≃ph‘𝐽)𝐼)
58	19	3ad2antr1 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
59		simpr3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
60	49, 51	erth 8754	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ ↔ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽)))
61	59, 60	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ)
62	49, 52	erref 8720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐹)
63	58, 61, 62	pcohtpy 25251	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃ph‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))
64	55, 57, 63	pcohtpy 25251	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))( ≃ph‘𝐽)(𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹)))
65	49, 64	erthi 8756	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽))
66	1, 20, 43, 44, 47, 65	fliftfund 7315	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
67	1, 20, 43	fliftf 7317	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐺 ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
68	66, 67	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄))
69	2, 4, 12, 14	pi1bas2 25272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)))
70		df-qs 8705	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
71		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
72	71	rnmpt 5941	. . . . 5 ⊢ ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
73	70, 72	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
74	69, 73	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)))
75	74	feq2d 6687	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
76	68, 75	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∃wrex 3086  ⟨cop 4590  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  Fun wfun 6527  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   Er wer 8696  [cec 8697   / cqs 8698  0cc0 11127  1c1 11128  [,]cicc 13404  Basecbs 17304  TopOnctopon 23138   Cn ccn 23452  IIcii 25106   ≃_phcphtpc 25200  *_𝑝cpco 25231   π₁ cpi1 25234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-qus 17598  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-mulg 19194  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-cnfld 21589  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cld 23247  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551  df-ii 25108  df-htpy 25201  df-phtpy 25202  df-phtpc 25223  df-pco 25236  df-om1 25237  df-pi1 25239

This theorem is used by:  pi1xfrval  25285  pi1xfr  25286