MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrf 25024
Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
pi1xfrval.2 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
Assertion
Ref Expression
pi1xfrf (𝜑𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝜑,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrf
Dummy variables 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
2 pi1xfr.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
3 pi1xfr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 pi1xfr.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
54adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 iitopon 24843 . . . . . . . 8 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
7 pi1xfr.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
8 cnf2 23197 . . . . . . . 8 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
96, 4, 7, 8mp3an2i 1462 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
10 0elunit 13481 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
11 ffvelcdm 7090 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
129, 10, 11sylancl 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
1312adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
143a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
152, 4, 12, 14pi1eluni 25013 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0))))
1615biimpa 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)))
1716simp1d 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
1816simp2d 1140 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
1916simp3d 1141 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
202, 3, 5, 13, 17, 18, 19elpi1i 25017 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ 𝐵)
21 pi1xfr.q . . . . 5 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
22 eqid 2725 . . . . 5 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
23 1elunit 13482 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
24 ffvelcdm 7090 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
259, 23, 24sylancl 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
2625adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
27 pi1xfrval.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
2827adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
297adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3017, 29, 19pcocn 24988 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
3117, 29pco0 24985 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
32 pi1xfrval.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3332adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3418, 31, 333eqtr4rd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
3528, 30, 34pcocn 24988 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
3628, 30pco0 24985 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
37 pi1xfrval.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
3837adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
3936, 38eqtr4d 2768 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
4028, 30pco1 24986 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
4117, 29pco1 24986 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
4240, 41eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
4321, 22, 5, 26, 35, 39, 42elpi1i 25017 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘𝑄))
44 eceq1 8763 . . . 4 (𝑔 = → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
45 oveq1 7426 . . . . . 6 (𝑔 = → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) = ((*𝑝𝐽)𝐹))
4645oveq2d 7435 . . . . 5 (𝑔 = → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
4746eceq1d 8764 . . . 4 (𝑔 = → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
48 phtpcer 24965 . . . . . 6 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
4948a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
50183ad2antr1 1185 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
51173ad2antr1 1185 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
527adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5351, 52pco0 24985 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
5432adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
5550, 53, 543eqtr4rd 2776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
5627adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
5749, 56erref 8745 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐼( ≃ph𝐽)𝐼)
58193ad2antr1 1185 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
59 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
6049, 51erth 8775 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔( ≃ph𝐽) ↔ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽)))
6159, 60mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔( ≃ph𝐽))
6249, 52erref 8745 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐹)
6358, 61, 62pcohtpy 24991 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
6455, 57, 63pcohtpy 24991 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
6549, 64erthi 8777 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
661, 20, 43, 44, 47, 65fliftfund 7320 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐺)
671, 20, 43fliftf 7322 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐺:ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
6866, 67mpbid 231 . 2 (𝜑𝐺:ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄))
692, 4, 12, 14pi1bas2 25012 . . . 4 (𝜑𝐵 = ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
70 df-qs 8731 . . . . 5 ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
71 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7271rnmpt 5957 . . . . 5 ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
7370, 72eqtr4i 2756 . . . 4 ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)) = ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7469, 73eqtrdi 2781 . . 3 (𝜑𝐵 = ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)))
7574feq2d 6709 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
7668, 75mpbird 256 1 (𝜑𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wrex 3059  cop 4636   cuni 4909   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ran crn 5679  Fun wfun 6543  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419   Er wer 8722  [cec 8723   / cqs 8724  0cc0 11140  1c1 11141  [,]cicc 13362  Basecbs 17183  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23172  IIcii 24839  phcphtpc 24939  *𝑝cpco 24971   π1 cpi1 24974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-qus 17494  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-ii 24841  df-htpy 24940  df-phtpy 24941  df-phtpc 24962  df-pco 24976  df-om1 24977  df-pi1 24979
This theorem is referenced by:  pi1xfrval  25025  pi1xfr  25026
  Copyright terms: Public domain W3C validator