Theorem eceq1d 8744

Description: Equality theorem for equivalence class (deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
eceq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eceq1d	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eceq1 8743	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  [cec 8701

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-cnv 5674  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ec 8705

This theorem is used by:  brecop  8817  eroveu  8819  erov  8821  ecovcom  8830  ecovass  8831  ecovdi  8832  addsrmo  11076  mulsrmo  11077  addsrpr  11078  mulsrpr  11079  supsrlem  11114  supsr  11115  qus0  19291  qusinv  19292  qussub  19293  sylow2blem2  19722  frgpadd  19864  vrgpval  19868  vrgpinv  19870  frgpup3lem  19878  qusabl  19966  quscrng  21460  pzriprnglem11  21678  pzriprnglem12  21679  qustgplem  24315  pi1addval  25244  pi1xfrf  25249  pi1xfrval  25250  pi1xfrcnvlem  25252  pi1xfrcnv  25253  pi1cof  25255  pi1coval  25256  pi1coghm  25257  vitalilem3  25806  elrlocbasi  33618  rlocaddval  33620  rlocmulval  33621  rloccring  33622  rloc0g  33623  rloc1r  33624  rlocf1  33625  rlocisunit  33627  idomsubr  33661  opprqusmulr  33804  zringfrac  33875  ismntoplly  34446  linedegen  36656  fvline  36657  aks5lem3a  42997  aks5lem5a  42999  aks5lem6  43000