Theorem eceq1d 8762

Description: Equality theorem for equivalence class (deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
eceq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eceq1d	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eceq1 8761	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  [cec 8719

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ec 8723

This theorem is used by:  brecop  8835  eroveu  8837  erov  8839  ecovcom  8848  ecovass  8849  ecovdi  8850  addsrmo  11162  mulsrmo  11163  addsrpr  11164  mulsrpr  11165  supsrlem  11200  supsr  11201  qus0  19410  qusinv  19411  qussub  19412  sylow2blem2  19841  frgpadd  19983  vrgpval  19987  vrgpinv  19989  frgpup3lem  19997  qusabl  20085  quscrng  21585  pzriprnglem11  21803  pzriprnglem12  21804  qustgplem  24446  pi1addval  25375  pi1xfrf  25380  pi1xfrval  25381  pi1xfrcnvlem  25383  pi1xfrcnv  25384  pi1cof  25386  pi1coval  25387  pi1coghm  25388  vitalilem3  25937  elrlocbasi  33875  rlocaddval  33877  rlocmulval  33878  rloccring  33879  rloc0g  33880  rloc1r  33881  rlocf1  33882  rlocisunit  33884  idomsubr  33918  opprqusmulr  34062  zringfrac  34133  ismntoplly  34704  linedegen  37001  fvline  37002  aks5lem3a  43333  aks5lem5a  43335  aks5lem6  43336