Theorem eceq1d 8751

Description: Equality theorem for equivalence class (deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
eceq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eceq1d	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eceq1 8750	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  [cec 8708

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ec 8712

This theorem is used by:  brecop  8824  eroveu  8826  erov  8828  ecovcom  8837  ecovass  8838  ecovdi  8839  addsrmo  11151  mulsrmo  11152  addsrpr  11153  mulsrpr  11154  supsrlem  11189  supsr  11190  qus0  19397  qusinv  19398  qussub  19399  sylow2blem2  19828  frgpadd  19970  vrgpval  19974  vrgpinv  19976  frgpup3lem  19984  qusabl  20072  quscrng  21572  pzriprnglem11  21790  pzriprnglem12  21791  qustgplem  24433  pi1addval  25362  pi1xfrf  25367  pi1xfrval  25368  pi1xfrcnvlem  25370  pi1xfrcnv  25371  pi1cof  25373  pi1coval  25374  pi1coghm  25375  vitalilem3  25924  elrlocbasi  33821  rlocaddval  33823  rlocmulval  33824  rloccring  33825  rloc0g  33826  rloc1r  33827  rlocf1  33828  rlocisunit  33830  idomsubr  33864  opprqusmulr  34008  zringfrac  34079  ismntoplly  34650  linedegen  36888  fvline  36889  aks5lem3a  43219  aks5lem5a  43221  aks5lem6  43222