MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1cof 25106
Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pi1co.q 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
pi1co.v 𝑉 = (Base‘𝑃)
pi1co.g 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
pi1co.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1co.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a (𝜑𝐴𝑋)
pi1co.b (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pi1cof (𝜑𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝜑,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1cof
Dummy variables 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
2 fvex 6920 . . . . 5 ( ≃ph𝐽) ∈ V
3 ecexg 8748 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝑉) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
5 pi1co.q . . . . 5 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
6 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
7 pi1co.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
8 cntop2 23265 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Top)
10 toptopon2 22940 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
119, 10sylib 218 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
13 pi1co.b . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
14 pi1co.j . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15 cnf2 23273 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋 𝐾)
1614, 11, 7, 15syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋 𝐾)
17 pi1co.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
1816, 17ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾)
1913, 18eqeltrrd 2840 . . . . . 6 (𝜑𝐵 𝐾)
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝐵 𝐾)
21 pi1co.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
22 pi1co.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑃)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑃))
2421, 14, 17, 23pi1eluni 25089 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑔 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴)))
2524biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴))
2625simp1d 1141 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
277adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28 cnco 23290 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝐹𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
30 iitopon 24919 . . . . . . . 8 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
31 cnf2 23273 . . . . . . . 8 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝑔:(0[,]1)⟶𝑋)
3230, 14, 26, 31mp3an2ani 1467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝑔:(0[,]1)⟶𝑋)
33 0elunit 13506 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
34 fvco3 7008 . . . . . . 7 ((𝑔:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑔)‘0) = (𝐹‘(𝑔‘0)))
3532, 33, 34sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → ((𝐹𝑔)‘0) = (𝐹‘(𝑔‘0)))
3625simp2d 1142 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝑔‘0) = 𝐴)
3736fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝐹‘(𝑔‘0)) = (𝐹𝐴))
3813adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝐹𝐴) = 𝐵)
3935, 37, 383eqtrd 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → ((𝐹𝑔)‘0) = 𝐵)
40 1elunit 13507 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
41 fvco3 7008 . . . . . . 7 ((𝑔:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑔)‘1) = (𝐹‘(𝑔‘1)))
4232, 40, 41sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → ((𝐹𝑔)‘1) = (𝐹‘(𝑔‘1)))
4325simp3d 1143 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝑔‘1) = 𝐴)
4443fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝐹‘(𝑔‘1)) = (𝐹𝐴))
4542, 44, 383eqtrd 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → ((𝐹𝑔)‘1) = 𝐵)
465, 6, 12, 20, 29, 39, 45elpi1i 25093 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝑉) → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) ∈ (Base‘𝑄))
47 eceq1 8783 . . . 4 (𝑔 = → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
48 coeq2 5872 . . . . 5 (𝑔 = → (𝐹𝑔) = (𝐹))
4948eceq1d 8784 . . . 4 (𝑔 = → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) = [(𝐹)]( ≃ph𝐾))
50 phtpcer 25041 . . . . . 6 ( ≃ph𝐾) Er (II Cn 𝐾)
5150a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ( ≃ph𝐾) Er (II Cn 𝐾))
52 simpr3 1195 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
53 phtpcer 25041 . . . . . . . . 9 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
5453a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
55 simpr1 1193 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔 𝑉)
5624adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴)))
5755, 56mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴))
5857simp1d 1141 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
5954, 58erth 8795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔( ≃ph𝐽) ↔ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽)))
6052, 59mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔( ≃ph𝐽))
617adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6260, 61phtpcco2 25046 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐹𝑔)( ≃ph𝐾)(𝐹))
6351, 62erthi 8797 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) = [(𝐹)]( ≃ph𝐾))
641, 4, 46, 47, 49, 63fliftfund 7333 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐺)
651, 4, 46fliftf 7335 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐺:ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
6664, 65mpbid 232 . 2 (𝜑𝐺:ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄))
6721, 14, 17, 23pi1bas2 25088 . . . 4 (𝜑𝑉 = ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)))
68 df-qs 8750 . . . . 5 ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
69 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7069rnmpt 5971 . . . . 5 ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
7168, 70eqtr4i 2766 . . . 4 ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)) = ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7267, 71eqtrdi 2791 . . 3 (𝜑𝑉 = ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)))
7372feq2d 6723 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
7466, 73mpbird 257 1 (𝜑𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wrex 3068  Vcvv 3478  cop 4637   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  ccom 5693  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  [cec 8742   / cqs 8743  0cc0 11153  1c1 11154  [,]cicc 13387  Basecbs 17245  Topctop 22915  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248  IIcii 24915  phcphtpc 25015   π1 cpi1 25050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-qus 17556  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-ii 24917  df-htpy 25016  df-phtpy 25017  df-phtpc 25038  df-om1 25053  df-pi1 25055
This theorem is referenced by:  pi1coval  25107  pi1coghm  25108
  Copyright terms: Public domain W3C validator