MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1cof 24422
Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pi1co.q 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
pi1co.v 𝑉 = (Base‘𝑃)
pi1co.g 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
pi1co.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1co.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a (𝜑𝐴𝑋)
pi1co.b (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pi1cof (𝜑𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝜑,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1cof
Dummy variables 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
2 fvex 6855 . . . . 5 ( ≃ph𝐽) ∈ V
3 ecexg 8652 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝑉) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
5 pi1co.q . . . . 5 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
6 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
7 pi1co.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
8 cntop2 22592 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Top)
10 toptopon2 22267 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
119, 10sylib 217 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
13 pi1co.b . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
14 pi1co.j . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15 cnf2 22600 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋 𝐾)
1614, 11, 7, 15syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋 𝐾)
17 pi1co.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
1816, 17ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾)
1913, 18eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (𝜑𝐵 𝐾)
2019adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝐵 𝐾)
21 pi1co.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
22 pi1co.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑃)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑃))
2421, 14, 17, 23pi1eluni 24405 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑔 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴)))
2524biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴))
2625simp1d 1142 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
277adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28 cnco 22617 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝐹𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
30 iitopon 24242 . . . . . . . 8 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
31 cnf2 22600 . . . . . . . 8 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝑔:(0[,]1)⟶𝑋)
3230, 14, 26, 31mp3an2ani 1468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝑔:(0[,]1)⟶𝑋)
33 0elunit 13386 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
34 fvco3 6940 . . . . . . 7 ((𝑔:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑔)‘0) = (𝐹‘(𝑔‘0)))
3532, 33, 34sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → ((𝐹𝑔)‘0) = (𝐹‘(𝑔‘0)))
3625simp2d 1143 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝑔‘0) = 𝐴)
3736fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝐹‘(𝑔‘0)) = (𝐹𝐴))
3813adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝐹𝐴) = 𝐵)
3935, 37, 383eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → ((𝐹𝑔)‘0) = 𝐵)
40 1elunit 13387 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
41 fvco3 6940 . . . . . . 7 ((𝑔:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑔)‘1) = (𝐹‘(𝑔‘1)))
4232, 40, 41sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → ((𝐹𝑔)‘1) = (𝐹‘(𝑔‘1)))
4325simp3d 1144 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝑔‘1) = 𝐴)
4443fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝐹‘(𝑔‘1)) = (𝐹𝐴))
4542, 44, 383eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → ((𝐹𝑔)‘1) = 𝐵)
465, 6, 12, 20, 29, 39, 45elpi1i 24409 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝑉) → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) ∈ (Base‘𝑄))
47 eceq1 8686 . . . 4 (𝑔 = → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
48 coeq2 5814 . . . . 5 (𝑔 = → (𝐹𝑔) = (𝐹))
4948eceq1d 8687 . . . 4 (𝑔 = → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) = [(𝐹)]( ≃ph𝐾))
50 phtpcer 24358 . . . . . 6 ( ≃ph𝐾) Er (II Cn 𝐾)
5150a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ( ≃ph𝐾) Er (II Cn 𝐾))
52 simpr3 1196 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
53 phtpcer 24358 . . . . . . . . 9 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
5453a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
55 simpr1 1194 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔 𝑉)
5624adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴)))
5755, 56mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴))
5857simp1d 1142 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
5954, 58erth 8697 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔( ≃ph𝐽) ↔ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽)))
6052, 59mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔( ≃ph𝐽))
617adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6260, 61phtpcco2 24362 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐹𝑔)( ≃ph𝐾)(𝐹))
6351, 62erthi 8699 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) = [(𝐹)]( ≃ph𝐾))
641, 4, 46, 47, 49, 63fliftfund 7258 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐺)
651, 4, 46fliftf 7260 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐺:ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
6664, 65mpbid 231 . 2 (𝜑𝐺:ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄))
6721, 14, 17, 23pi1bas2 24404 . . . 4 (𝜑𝑉 = ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)))
68 df-qs 8654 . . . . 5 ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
69 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7069rnmpt 5910 . . . . 5 ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
7168, 70eqtr4i 2767 . . . 4 ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)) = ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7267, 71eqtrdi 2792 . . 3 (𝜑𝑉 = ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)))
7372feq2d 6654 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
7466, 73mpbird 256 1 (𝜑𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wrex 3073  Vcvv 3445  cop 4592   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  ccom 5637  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357   Er wer 8645  [cec 8646   / cqs 8647  0cc0 11051  1c1 11052  [,]cicc 13267  Basecbs 17083  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575  IIcii 24238  phcphtpc 24332   π1 cpi1 24366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-qus 17391  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-ii 24240  df-htpy 24333  df-phtpy 24334  df-phtpc 24355  df-om1 24369  df-pi1 24371
This theorem is referenced by:  pi1coval  24423  pi1coghm  24424
  Copyright terms: Public domain W3C validator