MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cof Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pi1cof 24567
Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p 𝑃 = (𝐽 Ο€1 𝐴)
pi1co.q 𝑄 = (𝐾 Ο€1 𝐡)
pi1co.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pi1co.g 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃phβ€˜πΎ)⟩)
pi1co.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1co.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
pi1co.b (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 𝐡)
Assertion
Ref Expression
pi1cof (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘„))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   πœ‘,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)
Proof of Theorem pi1cof
Dummy variables 𝑠 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃phβ€˜πΎ)⟩)
2 fvex 6902 . . . . 5 ( ≃phβ€˜π½) ∈ V
3 ecexg 8704 . . . . 5 (( ≃phβ€˜π½) ∈ V β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
5 pi1co.q . . . . 5 𝑄 = (𝐾 Ο€1 𝐡)
6 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
7 pi1co.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
8 cntop2 22737 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
10 toptopon2 22412 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
119, 10sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
1211adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
13 pi1co.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 𝐡)
14 pi1co.j . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15 cnf2 22745 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
1614, 11, 7, 15syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
17 pi1co.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
1816, 17ffvelcdmd 7085 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ βˆͺ 𝐾)
1913, 18eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐾)
2019adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐾)
21 pi1co.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐽 Ο€1 𝐴)
22 pi1co.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
2421, 14, 17, 23pi1eluni 24550 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘”β€˜1) = 𝐴)))
2524biimpa 478 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘”β€˜1) = 𝐴))
2625simp1d 1143 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
277adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28 cnco 22762 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
2926, 27, 28syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
30 iitopon 24387 . . . . . . . 8 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
31 cnf2 22745 . . . . . . . 8 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ 𝑔:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
3230, 14, 26, 31mp3an2ani 1469 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝑔:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
33 0elunit 13443 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
34 fvco3 6988 . . . . . . 7 ((𝑔:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔)β€˜0) = (πΉβ€˜(π‘”β€˜0)))
3532, 33, 34sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔)β€˜0) = (πΉβ€˜(π‘”β€˜0)))
3625simp2d 1144 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (π‘”β€˜0) = 𝐴)
3736fveq2d 6893 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(π‘”β€˜0)) = (πΉβ€˜π΄))
3813adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 𝐡)
3935, 37, 383eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔)β€˜0) = 𝐡)
40 1elunit 13444 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
41 fvco3 6988 . . . . . . 7 ((𝑔:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔)β€˜1) = (πΉβ€˜(π‘”β€˜1)))
4232, 40, 41sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔)β€˜1) = (πΉβ€˜(π‘”β€˜1)))
4325simp3d 1145 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (π‘”β€˜1) = 𝐴)
4443fveq2d 6893 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(π‘”β€˜1)) = (πΉβ€˜π΄))
4542, 44, 383eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔)β€˜1) = 𝐡)
465, 6, 12, 20, 29, 39, 45elpi1i 24554 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃phβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
47 eceq1 8738 . . . 4 (𝑔 = β„Ž β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))
48 coeq2 5857 . . . . 5 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ β„Ž))
4948eceq1d 8739 . . . 4 (𝑔 = β„Ž β†’ [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃phβ€˜πΎ) = [(𝐹 ∘ β„Ž)]( ≃phβ€˜πΎ))
50 phtpcer 24503 . . . . . 6 ( ≃phβ€˜πΎ) Er (II Cn 𝐾)
5150a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ ( ≃phβ€˜πΎ) Er (II Cn 𝐾))
52 simpr3 1197 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))
53 phtpcer 24503 . . . . . . . . 9 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
5453a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
55 simpr1 1195 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉)
5624adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘”β€˜1) = 𝐴)))
5755, 56mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘”β€˜1) = 𝐴))
5857simp1d 1143 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
5954, 58erth 8749 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝑔( ≃phβ€˜π½)β„Ž ↔ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½)))
6052, 59mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝑔( ≃phβ€˜π½)β„Ž)
617adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6260, 61phtpcco2 24507 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔)( ≃phβ€˜πΎ)(𝐹 ∘ β„Ž))
6351, 62erthi 8751 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃phβ€˜πΎ) = [(𝐹 ∘ β„Ž)]( ≃phβ€˜πΎ))
641, 4, 46, 47, 49, 63fliftfund 7307 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐺)
651, 4, 46fliftf 7309 . . 3 (πœ‘ β†’ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„)))
6664, 65mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„))
6721, 14, 17, 23pi1bas2 24549 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½)))
68 df-qs 8706 . . . . 5 (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½)) = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ βˆͺ 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃phβ€˜π½)}
69 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)) = (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))
7069rnmpt 5953 . . . . 5 ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)) = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ βˆͺ 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃phβ€˜π½)}
7168, 70eqtr4i 2764 . . . 4 (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½)) = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))
7267, 71eqtrdi 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)))
7372feq2d 6701 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘„) ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„)))
7466, 73mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6535  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   Er wer 8697  [cec 8698   / cqs 8699  0cc0 11107  1c1 11108  [,]cicc 13324  Basecbs 17141  Topctop 22387  TopOnctopon 22404   Cn ccn 22720  IIcii 24383   ≃phcphtpc 24477   Ο€1 cpi1 24511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-qus 17452  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-ii 24385  df-htpy 24478  df-phtpy 24479  df-phtpc 24500  df-om1 24514  df-pi1 24516
This theorem is referenced by:  pi1coval  24568  pi1coghm  24569
  Copyright terms: Public domain W3C validator