MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1cof 23804
Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pi1co.q 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
pi1co.v 𝑉 = (Base‘𝑃)
pi1co.g 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
pi1co.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1co.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a (𝜑𝐴𝑋)
pi1co.b (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pi1cof (𝜑𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝜑,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1cof
Dummy variables 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
2 fvex 6681 . . . . 5 ( ≃ph𝐽) ∈ V
3 ecexg 8317 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝑉) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
5 pi1co.q . . . . 5 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
6 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
7 pi1co.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
8 cntop2 21985 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Top)
10 toptopon2 21662 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
119, 10sylib 221 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
1211adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
13 pi1co.b . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
14 pi1co.j . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15 cnf2 21993 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋 𝐾)
1614, 11, 7, 15syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋 𝐾)
17 pi1co.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
1816, 17ffvelrnd 6856 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾)
1913, 18eqeltrrd 2834 . . . . . 6 (𝜑𝐵 𝐾)
2019adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝐵 𝐾)
21 pi1co.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
22 pi1co.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑃)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑃))
2421, 14, 17, 23pi1eluni 23787 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑔 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴)))
2524biimpa 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴))
2625simp1d 1143 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
277adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28 cnco 22010 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
2926, 27, 28syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝐹𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
30 iitopon 23624 . . . . . . . 8 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
31 cnf2 21993 . . . . . . . 8 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝑔:(0[,]1)⟶𝑋)
3230, 14, 26, 31mp3an2ani 1469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝑉) → 𝑔:(0[,]1)⟶𝑋)
33 0elunit 12936 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
34 fvco3 6761 . . . . . . 7 ((𝑔:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑔)‘0) = (𝐹‘(𝑔‘0)))
3532, 33, 34sylancl 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → ((𝐹𝑔)‘0) = (𝐹‘(𝑔‘0)))
3625simp2d 1144 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝑔‘0) = 𝐴)
3736fveq2d 6672 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝐹‘(𝑔‘0)) = (𝐹𝐴))
3813adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝐹𝐴) = 𝐵)
3935, 37, 383eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → ((𝐹𝑔)‘0) = 𝐵)
40 1elunit 12937 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
41 fvco3 6761 . . . . . . 7 ((𝑔:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑔)‘1) = (𝐹‘(𝑔‘1)))
4232, 40, 41sylancl 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → ((𝐹𝑔)‘1) = (𝐹‘(𝑔‘1)))
4325simp3d 1145 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝑔‘1) = 𝐴)
4443fveq2d 6672 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝑉) → (𝐹‘(𝑔‘1)) = (𝐹𝐴))
4542, 44, 383eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝑉) → ((𝐹𝑔)‘1) = 𝐵)
465, 6, 12, 20, 29, 39, 45elpi1i 23791 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝑉) → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) ∈ (Base‘𝑄))
47 eceq1 8351 . . . 4 (𝑔 = → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
48 coeq2 5695 . . . . 5 (𝑔 = → (𝐹𝑔) = (𝐹))
4948eceq1d 8352 . . . 4 (𝑔 = → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) = [(𝐹)]( ≃ph𝐾))
50 phtpcer 23740 . . . . . 6 ( ≃ph𝐾) Er (II Cn 𝐾)
5150a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ( ≃ph𝐾) Er (II Cn 𝐾))
52 simpr3 1197 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
53 phtpcer 23740 . . . . . . . . 9 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
5453a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
55 simpr1 1195 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔 𝑉)
5624adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴)))
5755, 56mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴))
5857simp1d 1143 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
5954, 58erth 8362 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔( ≃ph𝐽) ↔ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽)))
6052, 59mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔( ≃ph𝐽))
617adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6260, 61phtpcco2 23744 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐹𝑔)( ≃ph𝐾)(𝐹))
6351, 62erthi 8364 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝑉 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) = [(𝐹)]( ≃ph𝐾))
641, 4, 46, 47, 49, 63fliftfund 7073 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐺)
651, 4, 46fliftf 7075 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐺:ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
6664, 65mpbid 235 . 2 (𝜑𝐺:ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄))
6721, 14, 17, 23pi1bas2 23786 . . . 4 (𝜑𝑉 = ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)))
68 df-qs 8319 . . . . 5 ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
69 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7069rnmpt 5792 . . . . 5 ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
7168, 70eqtr4i 2764 . . . 4 ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)) = ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7267, 71eqtrdi 2789 . . 3 (𝜑𝑉 = ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)))
7372feq2d 6484 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
7466, 73mpbird 260 1 (𝜑𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  {cab 2716  wrex 3054  Vcvv 3397  cop 4519   cuni 4793   class class class wbr 5027  cmpt 5107  ran crn 5520  ccom 5523  Fun wfun 6327  wf 6329  cfv 6333  (class class class)co 7164   Er wer 8310  [cec 8311   / cqs 8312  0cc0 10608  1c1 10609  [,]cicc 12817  Basecbs 16579  Topctop 21637  TopOnctopon 21654   Cn ccn 21968  IIcii 23620  phcphtpc 23714   π1 cpi1 23748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-ec 8315  df-qs 8319  df-map 8432  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-qus 16878  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-ii 23622  df-htpy 23715  df-phtpy 23716  df-phtpc 23737  df-om1 23751  df-pi1 23753
This theorem is referenced by:  pi1coval  23805  pi1coghm  23806
  Copyright terms: Public domain W3C validator