Theorem pi1cof 24422

Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1co.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pi1co.q	⊢ 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
pi1co.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑃)
pi1co.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾)⟩)
pi1co.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1co.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
pi1co.b	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pi1cof	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝜑,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1cof

Dummy variables 𝑠 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1co.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾)⟩)
2		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
3		ecexg 8652	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
4	2, 3	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
5		pi1co.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
7		pi1co.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
8		cntop2 22592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
10		toptopon2 22267	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
11	9, 10	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
12	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
13		pi1co.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)
14		pi1co.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15		cnf2 22600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
16	14, 11, 7, 15	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
17		pi1co.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
18	16, 17	ffvelcdmd 7036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ∪ 𝐾)
19	13, 18	eqeltrrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ 𝐾)
20	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐵 ∈ ∪ 𝐾)
21		pi1co.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
22		pi1co.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑃)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑃))
24	21, 14, 17, 23	pi1eluni 24405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴)))
25	24	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴))
26	25	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
27	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28		cnco 22617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
30		iitopon 24242	. . . . . . . 8 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
31		cnf2 22600	. . . . . . . 8 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝑔:(0[,]1)⟶𝑋)
32	30, 14, 26, 31	mp3an2ani 1468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑔:(0[,]1)⟶𝑋)
33		0elunit 13386	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
34		fvco3 6940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘0) = (𝐹‘(𝑔‘0)))
35	32, 33, 34	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘0) = (𝐹‘(𝑔‘0)))
36	25	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑔‘0) = 𝐴)
37	36	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(𝑔‘0)) = (𝐹‘𝐴))
38	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)
39	35, 37, 38	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘0) = 𝐵)
40		1elunit 13387	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
41		fvco3 6940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘1) = (𝐹‘(𝑔‘1)))
42	32, 40, 41	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘1) = (𝐹‘(𝑔‘1)))
43	25	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑔‘1) = 𝐴)
44	43	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(𝑔‘1)) = (𝐹‘𝐴))
45	42, 44, 38	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘1) = 𝐵)
46	5, 6, 12, 20, 29, 39, 45	elpi1i 24409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾) ∈ (Base‘𝑄))
47		eceq1 8686	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
48		coeq2 5814	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ℎ))
49	48	eceq1d 8687	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾) = [(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾))
50		phtpcer 24358	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐾) Er (II Cn 𝐾)
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ( ≃ph‘𝐾) Er (II Cn 𝐾))
52		simpr3 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
53		phtpcer 24358	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
54	53	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
55		simpr1 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔 ∈ ∪ 𝑉)
56	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴)))
57	55, 56	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴))
58	57	simp1d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
59	54, 58	erth 8697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ ↔ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽)))
60	52, 59	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ)
61	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
62	60, 61	phtpcco2 24362	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐹 ∘ 𝑔)( ≃ph‘𝐾)(𝐹 ∘ ℎ))
63	51, 62	erthi 8699	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾) = [(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾))
64	1, 4, 46, 47, 49, 63	fliftfund 7258	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
65	1, 4, 46	fliftf 7260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐺 ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
66	64, 65	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄))
67	21, 14, 17, 23	pi1bas2 24404	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)))
68		df-qs 8654	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
69		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
70	69	rnmpt 5910	. . . . 5 ⊢ ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
71	68, 70	eqtr4i 2767	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)) = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
72	67, 71	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)))
73	72	feq2d 6654	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
74	66, 73	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2713  ∃wrex 3073  Vcvv 3445  ⟨cop 4592  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634   ∘ ccom 5637  Fun wfun 6490  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   Er wer 8645  [cec 8646   / cqs 8647  0cc0 11051  1c1 11052  [,]cicc 13267  Basecbs 17083  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575  IIcii 24238   ≃_phcphtpc 24332   π₁ cpi1 24366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-qus 17391  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-ii 24240  df-htpy 24333  df-phtpy 24334  df-phtpc 24355  df-om1 24369  df-pi1 24371

This theorem is referenced by:  pi1coval  24423  pi1coghm  24424