Theorem pi1cof 24986

Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1co.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pi1co.q	⊢ 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
pi1co.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑃)
pi1co.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾)⟩)
pi1co.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1co.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
pi1co.b	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pi1cof	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝜑,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1cof

Dummy variables 𝑠 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1co.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾)⟩)
2		fvex 6835	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
3		ecexg 8626	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
4	2, 3	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
5		pi1co.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
7		pi1co.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
8		cntop2 23156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
10		toptopon2 22833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
11	9, 10	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
13		pi1co.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)
14		pi1co.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15		cnf2 23164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
16	14, 11, 7, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
17		pi1co.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
18	16, 17	ffvelcdmd 7018	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ∪ 𝐾)
19	13, 18	eqeltrrd 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ 𝐾)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐵 ∈ ∪ 𝐾)
21		pi1co.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
22		pi1co.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑃)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑃))
24	21, 14, 17, 23	pi1eluni 24969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴)))
25	24	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴))
26	25	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
27	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28		cnco 23181	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
30		iitopon 24799	. . . . . . . 8 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
31		cnf2 23164	. . . . . . . 8 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝑔:(0[,]1)⟶𝑋)
32	30, 14, 26, 31	mp3an2ani 1470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑔:(0[,]1)⟶𝑋)
33		0elunit 13369	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
34		fvco3 6921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘0) = (𝐹‘(𝑔‘0)))
35	32, 33, 34	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘0) = (𝐹‘(𝑔‘0)))
36	25	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑔‘0) = 𝐴)
37	36	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(𝑔‘0)) = (𝐹‘𝐴))
38	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)
39	35, 37, 38	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘0) = 𝐵)
40		1elunit 13370	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
41		fvco3 6921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘1) = (𝐹‘(𝑔‘1)))
42	32, 40, 41	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘1) = (𝐹‘(𝑔‘1)))
43	25	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑔‘1) = 𝐴)
44	43	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(𝑔‘1)) = (𝐹‘𝐴))
45	42, 44, 38	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘1) = 𝐵)
46	5, 6, 12, 20, 29, 39, 45	elpi1i 24973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾) ∈ (Base‘𝑄))
47		eceq1 8661	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
48		coeq2 5797	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ℎ))
49	48	eceq1d 8662	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾) = [(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾))
50		phtpcer 24921	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐾) Er (II Cn 𝐾)
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ( ≃ph‘𝐾) Er (II Cn 𝐾))
52		simpr3 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
53		phtpcer 24921	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
54	53	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
55		simpr1 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔 ∈ ∪ 𝑉)
56	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴)))
57	55, 56	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴))
58	57	simp1d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
59	54, 58	erth 8676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ ↔ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽)))
60	52, 59	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ)
61	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
62	60, 61	phtpcco2 24926	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐹 ∘ 𝑔)( ≃ph‘𝐾)(𝐹 ∘ ℎ))
63	51, 62	erthi 8678	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾) = [(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾))
64	1, 4, 46, 47, 49, 63	fliftfund 7247	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
65	1, 4, 46	fliftf 7249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐺 ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
66	64, 65	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄))
67	21, 14, 17, 23	pi1bas2 24968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)))
68		df-qs 8628	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
69		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
70	69	rnmpt 5896	. . . . 5 ⊢ ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
71	68, 70	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)) = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
72	67, 71	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)))
73	72	feq2d 6635	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
74	66, 73	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∃wrex 3056  Vcvv 3436  ⟨cop 4579  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ran crn 5615   ∘ ccom 5618  Fun wfun 6475  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   Er wer 8619  [cec 8620   / cqs 8621  0cc0 11006  1c1 11007  [,]cicc 13248  Basecbs 17120  Topctop 22808  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23139  IIcii 24795   ≃_phcphtpc 24895   π₁ cpi1 24930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-qus 17413  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-ii 24797  df-htpy 24896  df-phtpy 24897  df-phtpc 24918  df-om1 24933  df-pi1 24935

This theorem is referenced by:  pi1coval  24987  pi1coghm  24988