Theorem pi1cof 25092

Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1co.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pi1co.q	⊢ 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
pi1co.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑃)
pi1co.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾)⟩)
pi1co.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1co.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
pi1co.b	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pi1cof	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝜑,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1cof

Dummy variables 𝑠 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1co.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾)⟩)
2		fvex 6919	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
3		ecexg 8749	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
4	2, 3	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
5		pi1co.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
7		pi1co.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
8		cntop2 23249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
10		toptopon2 22924	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
11	9, 10	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
13		pi1co.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)
14		pi1co.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15		cnf2 23257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
16	14, 11, 7, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
17		pi1co.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
18	16, 17	ffvelcdmd 7105	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ∪ 𝐾)
19	13, 18	eqeltrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ 𝐾)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐵 ∈ ∪ 𝐾)
21		pi1co.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
22		pi1co.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑃)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑃))
24	21, 14, 17, 23	pi1eluni 25075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴)))
25	24	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴))
26	25	simp1d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
27	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28		cnco 23274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
30		iitopon 24905	. . . . . . . 8 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
31		cnf2 23257	. . . . . . . 8 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝑔:(0[,]1)⟶𝑋)
32	30, 14, 26, 31	mp3an2ani 1470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑔:(0[,]1)⟶𝑋)
33		0elunit 13509	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
34		fvco3 7008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘0) = (𝐹‘(𝑔‘0)))
35	32, 33, 34	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘0) = (𝐹‘(𝑔‘0)))
36	25	simp2d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑔‘0) = 𝐴)
37	36	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(𝑔‘0)) = (𝐹‘𝐴))
38	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)
39	35, 37, 38	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘0) = 𝐵)
40		1elunit 13510	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
41		fvco3 7008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘1) = (𝐹‘(𝑔‘1)))
42	32, 40, 41	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘1) = (𝐹‘(𝑔‘1)))
43	25	simp3d 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑔‘1) = 𝐴)
44	43	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(𝑔‘1)) = (𝐹‘𝐴))
45	42, 44, 38	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔)‘1) = 𝐵)
46	5, 6, 12, 20, 29, 39, 45	elpi1i 25079	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ∪ 𝑉) → [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾) ∈ (Base‘𝑄))
47		eceq1 8784	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
48		coeq2 5869	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ℎ))
49	48	eceq1d 8785	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾) = [(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾))
50		phtpcer 25027	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐾) Er (II Cn 𝐾)
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ( ≃ph‘𝐾) Er (II Cn 𝐾))
52		simpr3 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))
53		phtpcer 25027	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
54	53	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
55		simpr1 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔 ∈ ∪ 𝑉)
56	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴)))
57	55, 56	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = 𝐴 ∧ (𝑔‘1) = 𝐴))
58	57	simp1d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
59	54, 58	erth 8796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ ↔ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽)))
60	52, 59	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝑔( ≃ph‘𝐽)ℎ)
61	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
62	60, 61	phtpcco2 25032	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → (𝐹 ∘ 𝑔)( ≃ph‘𝐾)(𝐹 ∘ ℎ))
63	51, 62	erthi 8798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃ph‘𝐽) = [ℎ]( ≃ph‘𝐽))) → [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾) = [(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾))
64	1, 4, 46, 47, 49, 63	fliftfund 7333	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
65	1, 4, 46	fliftf 7335	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐺 ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
66	64, 65	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄))
67	21, 14, 17, 23	pi1bas2 25074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)))
68		df-qs 8751	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
69		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
70	69	rnmpt 5968	. . . . 5 ⊢ ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ ∪ 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃ph‘𝐽)}
71	68, 70	eqtr4i 2768	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)) = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))
72	67, 71	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽)))
73	72	feq2d 6722	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃ph‘𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
74	66, 73	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2714  ∃wrex 3070  Vcvv 3480  ⟨cop 4632  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686   ∘ ccom 5689  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   Er wer 8742  [cec 8743   / cqs 8744  0cc0 11155  1c1 11156  [,]cicc 13390  Basecbs 17247  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232  IIcii 24901   ≃_phcphtpc 25001   π₁ cpi1 25036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-ii 24903  df-htpy 25002  df-phtpy 25003  df-phtpc 25024  df-om1 25039  df-pi1 25041

This theorem is referenced by:  pi1coval  25093  pi1coghm  25094