MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cof Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pi1cof 24906
Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p 𝑃 = (𝐽 Ο€1 𝐴)
pi1co.q 𝑄 = (𝐾 Ο€1 𝐡)
pi1co.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pi1co.g 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃phβ€˜πΎ)⟩)
pi1co.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1co.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
pi1co.b (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 𝐡)
Assertion
Ref Expression
pi1cof (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘„))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   πœ‘,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)
Proof of Theorem pi1cof
Dummy variables 𝑠 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃phβ€˜πΎ)⟩)
2 fvex 6904 . . . . 5 ( ≃phβ€˜π½) ∈ V
3 ecexg 8713 . . . . 5 (( ≃phβ€˜π½) ∈ V β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
5 pi1co.q . . . . 5 𝑄 = (𝐾 Ο€1 𝐡)
6 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
7 pi1co.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
8 cntop2 23065 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
10 toptopon2 22740 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
119, 10sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
1211adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
13 pi1co.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 𝐡)
14 pi1co.j . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15 cnf2 23073 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
1614, 11, 7, 15syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
17 pi1co.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
1816, 17ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ βˆͺ 𝐾)
1913, 18eqeltrrd 2833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐾)
2019adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐾)
21 pi1co.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐽 Ο€1 𝐴)
22 pi1co.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
2421, 14, 17, 23pi1eluni 24889 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘”β€˜1) = 𝐴)))
2524biimpa 476 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘”β€˜1) = 𝐴))
2625simp1d 1141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
277adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28 cnco 23090 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
2926, 27, 28syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (II Cn 𝐾))
30 iitopon 24719 . . . . . . . 8 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
31 cnf2 23073 . . . . . . . 8 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ 𝑔:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
3230, 14, 26, 31mp3an2ani 1467 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝑔:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
33 0elunit 13453 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
34 fvco3 6990 . . . . . . 7 ((𝑔:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔)β€˜0) = (πΉβ€˜(π‘”β€˜0)))
3532, 33, 34sylancl 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔)β€˜0) = (πΉβ€˜(π‘”β€˜0)))
3625simp2d 1142 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (π‘”β€˜0) = 𝐴)
3736fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(π‘”β€˜0)) = (πΉβ€˜π΄))
3813adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 𝐡)
3935, 37, 383eqtrd 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔)β€˜0) = 𝐡)
40 1elunit 13454 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
41 fvco3 6990 . . . . . . 7 ((𝑔:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔)β€˜1) = (πΉβ€˜(π‘”β€˜1)))
4232, 40, 41sylancl 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔)β€˜1) = (πΉβ€˜(π‘”β€˜1)))
4325simp3d 1143 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (π‘”β€˜1) = 𝐴)
4443fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(π‘”β€˜1)) = (πΉβ€˜π΄))
4542, 44, 383eqtrd 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔)β€˜1) = 𝐡)
465, 6, 12, 20, 29, 39, 45elpi1i 24893 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃phβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
47 eceq1 8747 . . . 4 (𝑔 = β„Ž β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))
48 coeq2 5858 . . . . 5 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ β„Ž))
4948eceq1d 8748 . . . 4 (𝑔 = β„Ž β†’ [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃phβ€˜πΎ) = [(𝐹 ∘ β„Ž)]( ≃phβ€˜πΎ))
50 phtpcer 24841 . . . . . 6 ( ≃phβ€˜πΎ) Er (II Cn 𝐾)
5150a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ ( ≃phβ€˜πΎ) Er (II Cn 𝐾))
52 simpr3 1195 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))
53 phtpcer 24841 . . . . . . . . 9 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
5453a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
55 simpr1 1193 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉)
5624adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘”β€˜1) = 𝐴)))
5755, 56mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘”β€˜1) = 𝐴))
5857simp1d 1141 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
5954, 58erth 8758 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝑔( ≃phβ€˜π½)β„Ž ↔ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½)))
6052, 59mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝑔( ≃phβ€˜π½)β„Ž)
617adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6260, 61phtpcco2 24846 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔)( ≃phβ€˜πΎ)(𝐹 ∘ β„Ž))
6351, 62erthi 8760 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ∧ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) = [β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) β†’ [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃phβ€˜πΎ) = [(𝐹 ∘ β„Ž)]( ≃phβ€˜πΎ))
641, 4, 46, 47, 49, 63fliftfund 7313 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐺)
651, 4, 46fliftf 7315 . . 3 (πœ‘ β†’ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„)))
6664, 65mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„))
6721, 14, 17, 23pi1bas2 24888 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½)))
68 df-qs 8715 . . . . 5 (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½)) = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ βˆͺ 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃phβ€˜π½)}
69 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)) = (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))
7069rnmpt 5954 . . . . 5 ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)) = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ βˆͺ 𝑉𝑠 = [𝑔]( ≃phβ€˜π½)}
7168, 70eqtr4i 2762 . . . 4 (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½)) = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))
7267, 71eqtrdi 2787 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½)))
7372feq2d 6703 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘„) ↔ 𝐺:ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ [𝑔]( ≃phβ€˜π½))⟢(Baseβ€˜π‘„)))
7466, 73mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   Er wer 8706  [cec 8707   / cqs 8708  0cc0 11116  1c1 11117  [,]cicc 13334  Basecbs 17151  Topctop 22715  TopOnctopon 22732   Cn ccn 23048  IIcii 24715   ≃phcphtpc 24815   Ο€1 cpi1 24850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-qus 17462  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cld 22843  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-tx 23386  df-hmeo 23579  df-xms 24146  df-ms 24147  df-tms 24148  df-ii 24717  df-htpy 24816  df-phtpy 24817  df-phtpc 24838  df-om1 24853  df-pi1 24855
This theorem is referenced by:  pi1coval  24907  pi1coghm  24908
  Copyright terms: Public domain W3C validator