Theorem qussub 18816

Description: Value of the group subtraction operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusinv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
qussub.p	⊢ − = (-g‘𝐺)
qussub.a	⊢ 𝑁 = (-g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qussub	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qussub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusgrp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
2		qusinv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
4	1, 2, 3	quseccl 18812	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
5	4	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
6	1, 2, 3	quseccl 18812	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
9		qussub.a	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝐻)
10	3, 7, 8, 9	grpsubval 18625	. . 3 ⊢ (([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
11	5, 6, 10	3imp3i2an 1344	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
12		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	1, 2, 12, 8	qusinv 18815	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
14	13	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
15	14	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)))
16		nsgsubg 18786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		subgrcl 18760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
19	2, 12	grpinvcl 18627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
20	18, 19	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
21	20	3adant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
22		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
23	1, 2, 22, 7	qusadd 18813	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
24	21, 23	syld3an3 1408	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
25		qussub.p	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
26	2, 22, 12, 25	grpsubval 18625	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
27	26	3adant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	27	eceq1d 8537	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
29	24, 28	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
30	11, 15, 29	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  [cec 8496  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962   /_s cqus 17216  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  -_gcsg 18579  SubGrpcsubg 18749  NrmSGrpcnsg 18750   ~_QG cqg 18751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-0g 17152  df-imas 17219  df-qus 17220  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754

This theorem is referenced by:  qustgplem  23272