Theorem qussub 18332

Description: Value of the group subtraction operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusinv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
qussub.p	⊢ − = (-g‘𝐺)
qussub.a	⊢ 𝑁 = (-g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qussub	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qussub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusgrp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
2		qusinv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
4	1, 2, 3	quseccl 18328	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
5	4	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
6	1, 2, 3	quseccl 18328	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
7		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
8		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
9		qussub.a	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝐻)
10	3, 7, 8, 9	grpsubval 18141	. . 3 ⊢ (([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
11	5, 6, 10	3imp3i2an 1342	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
12		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	1, 2, 12, 8	qusinv 18331	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
14	13	3adant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
15	14	oveq2d 7151	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)))
16		nsgsubg 18302	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		subgrcl 18276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
19	2, 12	grpinvcl 18143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
20	18, 19	sylan 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
21	20	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
22		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
23	1, 2, 22, 7	qusadd 18329	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
24	21, 23	syld3an3 1406	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
25		qussub.p	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
26	2, 22, 12, 25	grpsubval 18141	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
27	26	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	27	eceq1d 8311	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
29	24, 28	eqtr4d 2836	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
30	11, 15, 29	3eqtrd 2837	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  [cec 8270  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557   /_s cqus 16770  Grpcgrp 18095  inv_gcminusg 18096  -_gcsg 18097  SubGrpcsubg 18265  NrmSGrpcnsg 18266   ~_QG cqg 18267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-0g 16707  df-imas 16773  df-qus 16774  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-nsg 18269  df-eqg 18270

This theorem is referenced by:  qustgplem  22726