Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qussub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qussub 18334
 Description: Value of the group subtraction operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusinv.v 𝑉 = (Base‘𝐺)
qussub.p = (-g𝐺)
qussub.a 𝑁 = (-g𝐻)
Assertion
Ref Expression
qussub ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qussub
StepHypRef Expression
1 qusgrp.h . . . . 5 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
2 qusinv.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2821 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
41, 2, 3quseccl 18330 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
543adant3 1128 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
61, 2, 3quseccl 18330 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑉) → [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
7 eqid 2821 . . . 4 (+g𝐻) = (+g𝐻)
8 eqid 2821 . . . 4 (invg𝐻) = (invg𝐻)
9 qussub.a . . . 4 𝑁 = (-g𝐻)
103, 7, 8, 9grpsubval 18143 . . 3 (([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
115, 6, 103imp3i2an 1341 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
12 eqid 2821 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
131, 2, 12, 8qusinv 18333 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑉) → ((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
14133adant2 1127 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
1514oveq2d 7166 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)))
16 nsgsubg 18304 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 subgrcl 18278 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
192, 12grpinvcl 18145 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
2018, 19sylan 582 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑉) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
21203adant2 1127 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
22 eqid 2821 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
231, 2, 22, 7qusadd 18331 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
2421, 23syld3an3 1405 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
25 qussub.p . . . . . 6 = (-g𝐺)
262, 22, 12, 25grpsubval 18143 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
27263adant1 1126 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2827eceq1d 8322 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → [(𝑋 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆) = [(𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
2924, 28eqtr4d 2859 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
3011, 15, 293eqtrd 2860 1 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  [cec 8281  Basecbs 16477  +gcplusg 16559   /s cqus 16772  Grpcgrp 18097  invgcminusg 18098  -gcsg 18099  SubGrpcsubg 18267  NrmSGrpcnsg 18268   ~QG cqg 18269 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-ec 8285  df-qs 8289  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-0g 16709  df-imas 16775  df-qus 16776  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-nsg 18271  df-eqg 18272 This theorem is referenced by:  qustgplem  22723
 Copyright terms: Public domain W3C validator