Theorem qussub 19110

Description: Value of the group subtraction operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusinv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
qussub.p	⊢ − = (-g‘𝐺)
qussub.a	⊢ 𝑁 = (-g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qussub	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qussub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusgrp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
2		qusinv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
4	1, 2, 3	quseccl 19106	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
5	4	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
6	1, 2, 3	quseccl 19106	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
9		qussub.a	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝐻)
10	3, 7, 8, 9	grpsubval 18910	. . 3 ⊢ (([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
11	5, 6, 10	3imp3i2an 1344	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
12		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	1, 2, 12, 8	qusinv 19109	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
14	13	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
15	14	oveq2d 7428	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)))
16		nsgsubg 19078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		subgrcl 19051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
19	2, 12	grpinvcl 18912	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
20	18, 19	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
21	20	3adant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
22		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
23	1, 2, 22, 7	qusadd 19107	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
24	21, 23	syld3an3 1408	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
25		qussub.p	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
26	2, 22, 12, 25	grpsubval 18910	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
27	26	3adant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	27	eceq1d 8748	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
29	24, 28	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
30	11, 15, 29	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  [cec 8707  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204   /_s cqus 17458  Grpcgrp 18858  inv_gcminusg 18859  -_gcsg 18860  SubGrpcsubg 19040  NrmSGrpcnsg 19041   ~_QG cqg 19042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-subg 19043  df-nsg 19044  df-eqg 19045

This theorem is referenced by:  qustgplem  23858