MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qussub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qussub 18038
Description: Value of the group subtraction operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusinv.v 𝑉 = (Base‘𝐺)
qussub.p = (-g𝐺)
qussub.a 𝑁 = (-g𝐻)
Assertion
Ref Expression
qussub ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qussub
StepHypRef Expression
1 qusgrp.h . . . . 5 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
2 qusinv.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2777 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
41, 2, 3quseccl 18034 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
543adant3 1123 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
61, 2, 3quseccl 18034 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑉) → [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
763adant2 1122 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
8 eqid 2777 . . . 4 (+g𝐻) = (+g𝐻)
9 eqid 2777 . . . 4 (invg𝐻) = (invg𝐻)
10 qussub.a . . . 4 𝑁 = (-g𝐻)
113, 8, 9, 10grpsubval 17852 . . 3 (([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
125, 7, 11syl2anc 579 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
13 eqid 2777 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
141, 2, 13, 9qusinv 18037 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑉) → ((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
15143adant2 1122 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
1615oveq2d 6938 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)))
17 nsgsubg 18010 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18 subgrcl 17983 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
202, 13grpinvcl 17854 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
2119, 20sylan 575 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑉) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
22213adant2 1122 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
23 eqid 2777 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
241, 2, 23, 8qusadd 18035 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
2522, 24syld3an3 1477 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
26 qussub.p . . . . . 6 = (-g𝐺)
272, 23, 13, 26grpsubval 17852 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
28273adant1 1121 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2928eceq1d 8065 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → [(𝑋 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆) = [(𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
3025, 29eqtr4d 2816 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
3112, 16, 303eqtrd 2817 1 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  cfv 6135  (class class class)co 6922  [cec 8024  Basecbs 16255  +gcplusg 16338   /s cqus 16551  Grpcgrp 17809  invgcminusg 17810  -gcsg 17811  SubGrpcsubg 17972  NrmSGrpcnsg 17973   ~QG cqg 17974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-0g 16488  df-imas 16554  df-qus 16555  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-nsg 17976  df-eqg 17977
This theorem is referenced by:  qustgplem  22332
  Copyright terms: Public domain W3C validator