MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1coghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1coghm 24568
Description: The mapping 𝐺 between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pi1co.q 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
pi1co.v 𝑉 = (Base‘𝑃)
pi1co.g 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
pi1co.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1co.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a (𝜑𝐴𝑋)
pi1co.b (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pi1coghm (𝜑𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝜑,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1coghm
Dummy variables 𝑓 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 pi1co.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
3 pi1co.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
43pi1grp 24557 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑃 ∈ Grp)
51, 2, 4syl2anc 584 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
6 pi1co.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7 cntop2 22736 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Top)
9 toptopon2 22411 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
108, 9sylib 217 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
11 pi1co.b . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
12 cnf2 22744 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋 𝐾)
131, 10, 6, 12syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋 𝐾)
1413, 2ffvelcdmd 7084 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾)
1511, 14eqeltrrd 2834 . . 3 (𝜑𝐵 𝐾)
16 pi1co.q . . . 4 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
1716pi1grp 24557 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝐵 𝐾) → 𝑄 ∈ Grp)
1810, 15, 17syl2anc 584 . 2 (𝜑𝑄 ∈ Grp)
19 pi1co.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑃)
20 pi1co.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
213, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11pi1cof 24566 . . 3 (𝜑𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))
2219a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑃))
233, 1, 2, 22pi1bas2 24548 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)))
2423eleq2d 2819 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝑉𝑦 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))))
2524biimpa 477 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑉) → 𝑦 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)))
26 eqid 2732 . . . . . 6 ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)) = ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))
27 fvoveq1 7428 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)))
28 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = (𝐺𝑦))
2928oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
3027, 29eqeq12d 2748 . . . . . . 7 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
3130ralbidv 3177 . . . . . 6 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (∀𝑧𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ ∀𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
32 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽)) = ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧))
3332fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)))
34 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = (𝐺𝑧))
3534oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
3633, 35eqeq12d 2748 . . . . . . . . 9 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) ↔ (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
373, 1, 2, 22pi1eluni 24549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑓 𝑉 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐴)))
3837biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐴))
3938simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
411adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
422adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐴𝑋)
4319a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑃))
443, 41, 42, 43pi1eluni 24549 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → ( 𝑉 ↔ ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = 𝐴 ∧ (‘1) = 𝐴)))
4544biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = 𝐴 ∧ (‘1) = 𝐴))
4645simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ∈ (II Cn 𝐽))
4738simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝑓‘1) = 𝐴)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓‘1) = 𝐴)
4945simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (‘0) = 𝐴)
5048, 49eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓‘1) = (‘0))
516ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5240, 46, 50, 51copco 24525 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽))) = ((𝐹𝑓)(*𝑝𝐾)(𝐹)))
5352eceq1d 8738 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽)))]( ≃ph𝐾) = [((𝐹𝑓)(*𝑝𝐾)(𝐹))]( ≃ph𝐾))
5440, 46, 50pcocn 24524 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽))
5540, 46pco0 24521 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝑓‘0))
5638simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝑓‘0) = 𝐴)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓‘0) = 𝐴)
5855, 57eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = 𝐴)
5940, 46pco1 24522 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (‘1))
6045simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (‘1) = 𝐴)
6159, 60eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = 𝐴)
621ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
632ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐴𝑋)
6419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑃))
653, 62, 63, 64pi1eluni 24549 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = 𝐴 ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = 𝐴)))
6654, 58, 61, 65mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝑉)
673, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11pi1coval 24567 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽)))]( ≃ph𝐾))
6867adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽)))]( ≃ph𝐾))
6966, 68syldan 591 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝𝐽)))]( ≃ph𝐾))
70 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
7110ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
7215ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝐵 𝐾)
73 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑄) = (+g𝑄)
746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
75 cnco 22761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹𝑓) ∈ (II Cn 𝐾))
7639, 74, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹𝑓) ∈ (II Cn 𝐾))
77 iitopon 24386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
78 cnf2 22744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
7977, 41, 39, 78mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
80 0elunit 13442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ (0[,]1)
81 fvco3 6987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑓)‘0) = (𝐹‘(𝑓‘0)))
8279, 80, 81sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓)‘0) = (𝐹‘(𝑓‘0)))
8356fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹‘(𝑓‘0)) = (𝐹𝐴))
8411adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹𝐴) = 𝐵)
8582, 83, 843eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓)‘0) = 𝐵)
86 1elunit 13443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (0[,]1)
87 fvco3 6987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑓)‘1) = (𝐹‘(𝑓‘1)))
8879, 86, 87sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓)‘1) = (𝐹‘(𝑓‘1)))
8947fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹‘(𝑓‘1)) = (𝐹𝐴))
9088, 89, 843eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓)‘1) = 𝐵)
9110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
9215adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝐵 𝐾)
93 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝑉) → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
9416, 91, 92, 93pi1eluni 24549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝑉) → ((𝐹𝑓) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹𝑓) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹𝑓)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹𝑓)‘1) = 𝐵)))
9576, 85, 90, 94mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐹𝑓) ∈ (Base‘𝑄))
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹𝑓) ∈ (Base‘𝑄))
97 cnco 22761 . . . . . . . . . . . . . 14 (( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
9846, 51, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
99 cnf2 22744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ ∈ (II Cn 𝐽)) → :(0[,]1)⟶𝑋)
10077, 62, 46, 99mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → :(0[,]1)⟶𝑋)
101 fvco3 6987 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹)‘0) = (𝐹‘(‘0)))
102100, 80, 101sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹)‘0) = (𝐹‘(‘0)))
10349fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹‘(‘0)) = (𝐹𝐴))
10411ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹𝐴) = 𝐵)
105102, 103, 1043eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹)‘0) = 𝐵)
106 fvco3 6987 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹)‘1) = (𝐹‘(‘1)))
107100, 86, 106sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹)‘1) = (𝐹‘(‘1)))
10860fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹‘(‘1)) = (𝐹𝐴))
109107, 108, 1043eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹)‘1) = 𝐵)
110 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
11116, 10, 15, 110pi1eluni 24549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹)‘1) = 𝐵)))
112111ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐹) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹)‘1) = 𝐵)))
11398, 105, 109, 112mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐹) ∈ (Base‘𝑄))
11416, 70, 71, 72, 73, 96, 113pi1addval 24555 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ([(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾)(+g𝑄)[(𝐹)]( ≃ph𝐾)) = [((𝐹𝑓)(*𝑝𝐾)(𝐹))]( ≃ph𝐾))
11553, 69, 1143eqtr4d 2782 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = ([(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾)(+g𝑄)[(𝐹)]( ≃ph𝐾)))
116 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑃) = (+g𝑃)
117 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝑓 𝑉)
118 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → 𝑉)
1193, 19, 62, 63, 116, 117, 118pi1addval 24555 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽)) = [(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽))
120119fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)))
1213, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11pi1coval 24567 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝑉) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾))
122121adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾))
1233, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11pi1coval 24567 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 𝑉) → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹)]( ≃ph𝐾))
124123adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹)]( ≃ph𝐾))
125122, 124oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) = ([(𝐹𝑓)]( ≃ph𝐾)(+g𝑄)[(𝐹)]( ≃ph𝐾)))
126115, 120, 1253eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑉) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))))
12726, 36, 126ectocld 8774 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
128127ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 𝑉) → ∀𝑧 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))(𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
12923adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 𝑉) → 𝑉 = ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽)))
130129raleqdv 3325 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 𝑉) → (∀𝑧𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))(𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
131128, 130mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 𝑉) → ∀𝑧𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
13226, 31, 131ectocld 8774 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝑉 / ( ≃ph𝐽))) → ∀𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
13325, 132syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑉) → ∀𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
134133ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
13521, 134jca 512 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
13619, 70, 116, 73isghm 19086 . 2 (𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄) ↔ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑄 ∈ Grp) ∧ (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))))
1375, 18, 135, 136syl21anbrc 1344 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  cop 4633   cuni 4907  cmpt 5230  ran crn 5676  ccom 5679  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  [cec 8697   / cqs 8698  0cc0 11106  1c1 11107  [,]cicc 13323  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Grpcgrp 18815   GrpHom cghm 19083  Topctop 22386  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719  IIcii 24382  phcphtpc 24476  *𝑝cpco 24507   π1 cpi1 24510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-qus 17451  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-mulg 18945  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-ii 24384  df-htpy 24477  df-phtpy 24478  df-phtpc 24499  df-pco 24512  df-om1 24513  df-pi1 24515
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator