MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1coghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1coghm 24577
Description: The mapping 𝐺 between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p 𝑃 = (𝐽 Ο€1 𝐴)
pi1co.q 𝑄 = (𝐾 Ο€1 𝐡)
pi1co.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pi1co.g 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃phβ€˜πΎ)⟩)
pi1co.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1co.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
pi1co.b (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 𝐡)
Assertion
Ref Expression
pi1coghm (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   πœ‘,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1coghm
Dummy variables β„Ž 𝑓 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 pi1co.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 pi1co.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 Ο€1 𝐴)
43pi1grp 24566 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
51, 2, 4syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Grp)
6 pi1co.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7 cntop2 22745 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
86, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
9 toptopon2 22420 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
108, 9sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
11 pi1co.b . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 𝐡)
12 cnf2 22753 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
131, 10, 6, 12syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
1413, 2ffvelcdmd 7088 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ βˆͺ 𝐾)
1511, 14eqeltrrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐾)
16 pi1co.q . . . 4 𝑄 = (𝐾 Ο€1 𝐡)
1716pi1grp 24566 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐾) β†’ 𝑄 ∈ Grp)
1810, 15, 17syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ Grp)
19 pi1co.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
20 pi1co.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃phβ€˜πΎ)⟩)
213, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11pi1cof 24575 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘„))
2219a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
233, 1, 2, 22pi1bas2 24557 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½)))
2423eleq2d 2820 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↔ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½))))
2524biimpa 478 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½)))
26 eqid 2733 . . . . . 6 (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½)) = (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½))
27 fvoveq1 7432 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃phβ€˜π½) = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)))
28 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 ([𝑓]( ≃phβ€˜π½) = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½)) = (πΊβ€˜π‘¦))
2928oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃phβ€˜π½) = 𝑦 β†’ ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§)) = ((πΊβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§)))
3027, 29eqeq12d 2749 . . . . . . 7 ([𝑓]( ≃phβ€˜π½) = 𝑦 β†’ ((πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§)) ↔ (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§))))
3130ralbidv 3178 . . . . . 6 ([𝑓]( ≃phβ€˜π½) = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§))))
32 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 ([β„Ž]( ≃phβ€˜π½) = 𝑧 β†’ ([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)[β„Ž]( ≃phβ€˜π½)) = ([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧))
3332fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ([β„Ž]( ≃phβ€˜π½) = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)[β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) = (πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)))
34 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 ([β„Ž]( ≃phβ€˜π½) = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜[β„Ž]( ≃phβ€˜π½)) = (πΊβ€˜π‘§))
3534oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ([β„Ž]( ≃phβ€˜π½) = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜[β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) = ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§)))
3633, 35eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 ([β„Ž]( ≃phβ€˜π½) = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)[β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) = ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜[β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) ↔ (πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§))))
373, 1, 2, 22pi1eluni 24558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐴)))
3837biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐴))
3938simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
411adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
422adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
4319a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
443, 41, 42, 43pi1eluni 24558 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉 ↔ (β„Ž ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (β„Žβ€˜0) = 𝐴 ∧ (β„Žβ€˜1) = 𝐴)))
4544biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (β„Ž ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (β„Žβ€˜0) = 𝐴 ∧ (β„Žβ€˜1) = 𝐴))
4645simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ β„Ž ∈ (II Cn 𝐽))
4738simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (π‘“β€˜1) = 𝐴)
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (π‘“β€˜1) = 𝐴)
4945simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (β„Žβ€˜0) = 𝐴)
5048, 49eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (π‘“β€˜1) = (β„Žβ€˜0))
516ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5240, 46, 50, 51copco 24534 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ (𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž)) = ((𝐹 ∘ 𝑓)(*π‘β€˜πΎ)(𝐹 ∘ β„Ž)))
5352eceq1d 8742 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ [(𝐹 ∘ (𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž))]( ≃phβ€˜πΎ) = [((𝐹 ∘ 𝑓)(*π‘β€˜πΎ)(𝐹 ∘ β„Ž))]( ≃phβ€˜πΎ))
5440, 46, 50pcocn 24533 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž) ∈ (II Cn 𝐽))
5540, 46pco0 24530 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž)β€˜0) = (π‘“β€˜0))
5638simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (π‘“β€˜0) = 𝐴)
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (π‘“β€˜0) = 𝐴)
5855, 57eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž)β€˜0) = 𝐴)
5940, 46pco1 24531 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž)β€˜1) = (β„Žβ€˜1))
6045simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (β„Žβ€˜1) = 𝐴)
6159, 60eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž)β€˜1) = 𝐴)
621ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
632ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
6419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
653, 62, 63, 64pi1eluni 24558 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž) ∈ βˆͺ 𝑉 ↔ ((𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž)β€˜0) = 𝐴 ∧ ((𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž)β€˜1) = 𝐴)))
6654, 58, 61, 65mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž) ∈ βˆͺ 𝑉)
673, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11pi1coval 24576 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž) ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜[(𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž)]( ≃phβ€˜π½)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž))]( ≃phβ€˜πΎ))
6867adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ (𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž) ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜[(𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž)]( ≃phβ€˜π½)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž))]( ≃phβ€˜πΎ))
6966, 68syldan 592 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜[(𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž)]( ≃phβ€˜π½)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž))]( ≃phβ€˜πΎ))
70 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
7110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
7215ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐾)
73 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘„) = (+gβ€˜π‘„)
746adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
75 cnco 22770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝐾))
7639, 74, 75syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝐾))
77 iitopon 24395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
78 cnf2 22753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ 𝑓:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
7977, 41, 39, 78mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝑓:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
80 0elunit 13446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ (0[,]1)
81 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜0) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜0)))
8279, 80, 81sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜0) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜0)))
8356fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜0)) = (πΉβ€˜π΄))
8411adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 𝐡)
8582, 83, 843eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜0) = 𝐡)
86 1elunit 13447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (0[,]1)
87 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜1) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜1)))
8879, 86, 87sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜1) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜1)))
8947fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜1)) = (πΉβ€˜π΄))
9088, 89, 843eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜1) = 𝐡)
9110adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
9215adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐾)
93 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„))
9416, 91, 92, 93pi1eluni 24558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓) ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜0) = 𝐡 ∧ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜1) = 𝐡)))
9576, 85, 90, 94mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„))
9695adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„))
97 cnco 22770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„Ž ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹 ∘ β„Ž) ∈ (II Cn 𝐾))
9846, 51, 97syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ β„Ž) ∈ (II Cn 𝐾))
99 cnf2 22753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ β„Ž ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ β„Ž:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
10077, 62, 46, 99mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ β„Ž:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
101 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β„Ž:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ β„Ž)β€˜0) = (πΉβ€˜(β„Žβ€˜0)))
102100, 80, 101sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ β„Ž)β€˜0) = (πΉβ€˜(β„Žβ€˜0)))
10349fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(β„Žβ€˜0)) = (πΉβ€˜π΄))
10411ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 𝐡)
105102, 103, 1043eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ β„Ž)β€˜0) = 𝐡)
106 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β„Ž:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ β„Ž)β€˜1) = (πΉβ€˜(β„Žβ€˜1)))
107100, 86, 106sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ β„Ž)β€˜1) = (πΉβ€˜(β„Žβ€˜1)))
10860fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(β„Žβ€˜1)) = (πΉβ€˜π΄))
109107, 108, 1043eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ β„Ž)β€˜1) = 𝐡)
110 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„))
11116, 10, 15, 110pi1eluni 24558 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ β„Ž) ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↔ ((𝐹 ∘ β„Ž) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹 ∘ β„Ž)β€˜0) = 𝐡 ∧ ((𝐹 ∘ β„Ž)β€˜1) = 𝐡)))
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ β„Ž) ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↔ ((𝐹 ∘ β„Ž) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹 ∘ β„Ž)β€˜0) = 𝐡 ∧ ((𝐹 ∘ β„Ž)β€˜1) = 𝐡)))
11398, 105, 109, 112mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ β„Ž) ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„))
11416, 70, 71, 72, 73, 96, 113pi1addval 24564 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ([(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃phβ€˜πΎ)(+gβ€˜π‘„)[(𝐹 ∘ β„Ž)]( ≃phβ€˜πΎ)) = [((𝐹 ∘ 𝑓)(*π‘β€˜πΎ)(𝐹 ∘ β„Ž))]( ≃phβ€˜πΎ))
11553, 69, 1143eqtr4d 2783 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜[(𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž)]( ≃phβ€˜π½)) = ([(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃phβ€˜πΎ)(+gβ€˜π‘„)[(𝐹 ∘ β„Ž)]( ≃phβ€˜πΎ)))
116 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
117 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉)
118 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉)
1193, 19, 62, 63, 116, 117, 118pi1addval 24564 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)[β„Ž]( ≃phβ€˜π½)) = [(𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž)]( ≃phβ€˜π½))
120119fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)[β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) = (πΊβ€˜[(𝑓(*π‘β€˜π½)β„Ž)]( ≃phβ€˜π½)))
1213, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11pi1coval 24576 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½)) = [(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃phβ€˜πΎ))
122121adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½)) = [(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃phβ€˜πΎ))
1233, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11pi1coval 24576 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜[β„Ž]( ≃phβ€˜π½)) = [(𝐹 ∘ β„Ž)]( ≃phβ€˜πΎ))
124123adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜[β„Ž]( ≃phβ€˜π½)) = [(𝐹 ∘ β„Ž)]( ≃phβ€˜πΎ))
125122, 124oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜[β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) = ([(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃phβ€˜πΎ)(+gβ€˜π‘„)[(𝐹 ∘ β„Ž)]( ≃phβ€˜πΎ)))
126115, 120, 1253eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ β„Ž ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)[β„Ž]( ≃phβ€˜π½))) = ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜[β„Ž]( ≃phβ€˜π½))))
12726, 36, 126ectocld 8778 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½))) β†’ (πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§)))
128127ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½))(πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§)))
12923adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ 𝑉 = (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½)))
130129raleqdv 3326 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½))(πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§))))
131128, 130mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ βˆͺ 𝑉) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜([𝑓]( ≃phβ€˜π½)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜[𝑓]( ≃phβ€˜π½))(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§)))
13226, 31, 131ectocld 8778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝑉 / ( ≃phβ€˜π½))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§)))
13325, 132syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§)))
134133ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§)))
13521, 134jca 513 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘„) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§))))
13619, 70, 116, 73isghm 19092 . 2 (𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄) ↔ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑄 ∈ Grp) ∧ (𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘„) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘„)(πΊβ€˜π‘§)))))
1375, 18, 135, 136syl21anbrc 1345 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  [cec 8701   / cqs 8702  0cc0 11110  1c1 11111  [,]cicc 13327  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Grpcgrp 18819   GrpHom cghm 19089  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  IIcii 24391   ≃phcphtpc 24485  *𝑝cpco 24516   Ο€1 cpi1 24519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-qus 17455  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-mulg 18951  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-ii 24393  df-htpy 24486  df-phtpy 24487  df-phtpc 24508  df-pco 24521  df-om1 24522  df-pi1 24524
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator