Theorem pi1coghm 23358

Description: The mapping 𝐺 between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1co.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pi1co.q	⊢ 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
pi1co.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑃)
pi1co.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾)⟩)
pi1co.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1co.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
pi1co.b	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pi1coghm	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝜑,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1coghm

Dummy variables ℎ 𝑓 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1co.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		pi1co.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		pi1co.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
4	3	pi1grp 23347	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ Grp)
5	1, 2, 4	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
6		pi1co.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7		cntop2 21543	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
9		toptopon2 21220	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
10	8, 9	sylib 210	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
11		pi1co.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)
12		cnf2 21551	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
13	1, 10, 6, 12	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
14	13, 2	ffvelrnd 6671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ∪ 𝐾)
15	11, 14	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ 𝐾)
16		pi1co.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
17	16	pi1grp 23347	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ 𝐵 ∈ ∪ 𝐾) → 𝑄 ∈ Grp)
18	10, 15, 17	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Grp)
19		pi1co.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑃)
20		pi1co.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾)⟩)
21	3, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11	pi1cof 23356	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))
22	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑃))
23	3, 1, 2, 22	pi1bas2 23338	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)))
24	23	eleq2d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑉 ↔ 𝑦 ∈ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽))))
25	24	biimpa 469	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)))
26		eqid 2772	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)) = (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽))
27		fvoveq1 6993	. . . . . . . 8 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)))
28		fveq2 6493	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽)) = (𝐺‘𝑦))
29	28	oveq1d 6985	. . . . . . . 8 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
30	27, 29	eqeq12d 2787	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧))))
31	30	ralbidv 3141	. . . . . 6 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧))))
32		oveq2 6978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([ℎ]( ≃ph‘𝐽) = 𝑧 → ([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)[ℎ]( ≃ph‘𝐽)) = ([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧))
33	32	fveq2d 6497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([ℎ]( ≃ph‘𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) = (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)))
34		fveq2 6493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([ℎ]( ≃ph‘𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽)) = (𝐺‘𝑧))
35	34	oveq2d 6986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([ℎ]( ≃ph‘𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
36	33, 35	eqeq12d 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ([ℎ]( ≃ph‘𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) ↔ (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧))))
37	3, 1, 2, 22	pi1eluni 23339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ∪ 𝑉 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐴)))
38	37	biimpa 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐴))
39	38	simp1d 1122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
40	39	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
41	1	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
42	2	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑋)
43	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑃))
44	3, 41, 42, 43	pi1eluni 23339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (ℎ ∈ ∪ 𝑉 ↔ (ℎ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (ℎ‘0) = 𝐴 ∧ (ℎ‘1) = 𝐴)))
45	44	biimpa 469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (ℎ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (ℎ‘0) = 𝐴 ∧ (ℎ‘1) = 𝐴))
46	45	simp1d 1122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ℎ ∈ (II Cn 𝐽))
47	38	simp3d 1124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓‘1) = 𝐴)
48	47	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓‘1) = 𝐴)
49	45	simp2d 1123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (ℎ‘0) = 𝐴)
50	48, 49	eqtr4d 2811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓‘1) = (ℎ‘0))
51	6	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
52	40, 46, 50, 51	copco 23315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)) = ((𝐹 ∘ 𝑓)(*𝑝‘𝐾)(𝐹 ∘ ℎ)))
53	52	eceq1d 8120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ))]( ≃ph‘𝐾) = [((𝐹 ∘ 𝑓)(*𝑝‘𝐾)(𝐹 ∘ ℎ))]( ≃ph‘𝐾))
54	40, 46, 50	pcocn 23314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ) ∈ (II Cn 𝐽))
55	40, 46	pco0 23311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)‘0) = (𝑓‘0))
56	38	simp2d 1123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓‘0) = 𝐴)
57	56	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓‘0) = 𝐴)
58	55, 57	eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)‘0) = 𝐴)
59	40, 46	pco1 23312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)‘1) = (ℎ‘1))
60	45	simp3d 1124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (ℎ‘1) = 𝐴)
61	59, 60	eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)‘1) = 𝐴)
62	1	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63	2	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑋)
64	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑃))
65	3, 62, 63, 64	pi1eluni 23339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ) ∈ ∪ 𝑉 ↔ ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)‘0) = 𝐴 ∧ ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)‘1) = 𝐴)))
66	54, 58, 61, 65	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ) ∈ ∪ 𝑉)
67	3, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11	pi1coval 23357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ) ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ))]( ≃ph‘𝐾))
68	67	adantlr 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ) ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ))]( ≃ph‘𝐾))
69	66, 68	syldan 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ))]( ≃ph‘𝐾))
70		eqid 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
71	10	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
72	15	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝐵 ∈ ∪ 𝐾)
73		eqid 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
74	6	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
75		cnco 21568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝐾))
76	39, 74, 75	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝐾))
77		iitopon 23180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
78		cnf2 21551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
79	77, 41, 39, 78	mp3an2i 1445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
80		0elunit 12664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
81		fvco3 6582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘0) = (𝐹‘(𝑓‘0)))
82	79, 80, 81	sylancl 577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘0) = (𝐹‘(𝑓‘0)))
83	56	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(𝑓‘0)) = (𝐹‘𝐴))
84	11	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)
85	82, 83, 84	3eqtrd 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘0) = 𝐵)
86		1elunit 12665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
87		fvco3 6582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘1) = (𝐹‘(𝑓‘1)))
88	79, 86, 87	sylancl 577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘1) = (𝐹‘(𝑓‘1)))
89	47	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(𝑓‘1)) = (𝐹‘𝐴))
90	88, 89, 84	3eqtrd 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘1) = 𝐵)
91	10	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
92	15	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐵 ∈ ∪ 𝐾)
93		eqidd 2773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
94	16, 91, 92, 93	pi1eluni 23339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑓) ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹 ∘ 𝑓)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹 ∘ 𝑓)‘1) = 𝐵)))
95	76, 85, 90, 94	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ ∪ (Base‘𝑄))
96	95	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ ∪ (Base‘𝑄))
97		cnco 21568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℎ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∘ ℎ) ∈ (II Cn 𝐾))
98	46, 51, 97	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ ℎ) ∈ (II Cn 𝐾))
99		cnf2 21551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ ℎ ∈ (II Cn 𝐽)) → ℎ:(0[,]1)⟶𝑋)
100	77, 62, 46, 99	mp3an2i 1445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ℎ:(0[,]1)⟶𝑋)
101		fvco3 6582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ ℎ)‘0) = (𝐹‘(ℎ‘0)))
102	100, 80, 101	sylancl 577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ ℎ)‘0) = (𝐹‘(ℎ‘0)))
103	49	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(ℎ‘0)) = (𝐹‘𝐴))
104	11	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)
105	102, 103, 104	3eqtrd 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ ℎ)‘0) = 𝐵)
106		fvco3 6582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ ℎ)‘1) = (𝐹‘(ℎ‘1)))
107	100, 86, 106	sylancl 577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ ℎ)‘1) = (𝐹‘(ℎ‘1)))
108	60	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(ℎ‘1)) = (𝐹‘𝐴))
109	107, 108, 104	3eqtrd 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ ℎ)‘1) = 𝐵)
110		eqidd 2773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
111	16, 10, 15, 110	pi1eluni 23339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ ℎ) ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹 ∘ ℎ) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹 ∘ ℎ)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹 ∘ ℎ)‘1) = 𝐵)))
112	111	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ ℎ) ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹 ∘ ℎ) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹 ∘ ℎ)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹 ∘ ℎ)‘1) = 𝐵)))
113	98, 105, 109, 112	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ ℎ) ∈ ∪ (Base‘𝑄))
114	16, 70, 71, 72, 73, 96, 113	pi1addval 23345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ([(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃ph‘𝐾)(+g‘𝑄)[(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾)) = [((𝐹 ∘ 𝑓)(*𝑝‘𝐾)(𝐹 ∘ ℎ))]( ≃ph‘𝐾))
115	53, 69, 114	3eqtr4d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)]( ≃ph‘𝐽)) = ([(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃ph‘𝐾)(+g‘𝑄)[(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾)))
116		eqid 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
117		simplr 756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝑓 ∈ ∪ 𝑉)
118		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ℎ ∈ ∪ 𝑉)
119	3, 19, 62, 63, 116, 117, 118	pi1addval 23345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)[ℎ]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)]( ≃ph‘𝐽))
120	119	fveq2d 6497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) = (𝐺‘[(𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)]( ≃ph‘𝐽)))
121	3, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11	pi1coval 23357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃ph‘𝐾))
122	121	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃ph‘𝐾))
123	3, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11	pi1coval 23357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾))
124	123	adantlr 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾))
125	122, 124	oveq12d 6988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) = ([(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃ph‘𝐾)(+g‘𝑄)[(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾)))
126	115, 120, 125	3eqtr4d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽))))
127	26, 36, 126	ectocld 8156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽))) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
128	127	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ∀𝑧 ∈ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽))(𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
129	23	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑉 = (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)))
130	129	raleqdv 3349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽))(𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧))))
131	128, 130	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
132	26, 31, 131	ectocld 8156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽))) → ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
133	25, 132	syldan 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
134	133	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
135	21, 134	jca 504	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧))))
136	19, 70, 116, 73	isghm 18119	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄) ↔ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑄 ∈ Grp) ∧ (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))))
137	5, 18, 135, 136	syl21anbrc 1324	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∀wral 3082  ⟨cop 4441  ∪ cuni 4706   ↦ cmpt 5002  ran crn 5401   ∘ ccom 5404  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  [cec 8079   / cqs 8080  0cc0 10327  1c1 10328  [,]cicc 12550  Basecbs 16329  +_gcplusg 16411  Grpcgrp 17881   GrpHom cghm 18116  Topctop 21195  TopOnctopon 21212   Cn ccn 21526  IIcii 23176   ≃_phcphtpc 23266  *_𝑝cpco 23297   π₁ cpi1 23300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-ec 8083  df-qs 8087  df-map 8200  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-cda 9380  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-hom 16435  df-cco 16436  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-prds 16567  df-xrs 16621  df-qtop 16626  df-imas 16627  df-qus 16628  df-xps 16629  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-grp 17884  df-mulg 18002  df-ghm 18117  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-cnfld 20238  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-cld 21321  df-cn 21529  df-cnp 21530  df-tx 21864  df-hmeo 22057  df-xms 22623  df-ms 22624  df-tms 22625  df-ii 23178  df-htpy 23267  df-phtpy 23268  df-phtpc 23289  df-pco 23302  df-om1 23303  df-pi1 23305

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