Theorem pi1coghm 24568

Description: The mapping 𝐺 between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1co.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pi1co.q	⊢ 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
pi1co.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑃)
pi1co.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾)⟩)
pi1co.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1co.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
pi1co.b	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pi1coghm	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝜑,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1coghm

Dummy variables ℎ 𝑓 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1co.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		pi1co.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		pi1co.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
4	3	pi1grp 24557	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ Grp)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
6		pi1co.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7		cntop2 22736	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
9		toptopon2 22411	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
10	8, 9	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
11		pi1co.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)
12		cnf2 22744	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
13	1, 10, 6, 12	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
14	13, 2	ffvelcdmd 7084	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ∪ 𝐾)
15	11, 14	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ 𝐾)
16		pi1co.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
17	16	pi1grp 24557	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ 𝐵 ∈ ∪ 𝐾) → 𝑄 ∈ Grp)
18	10, 15, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Grp)
19		pi1co.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑃)
20		pi1co.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹 ∘ 𝑔)]( ≃ph‘𝐾)⟩)
21	3, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11	pi1cof 24566	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))
22	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑃))
23	3, 1, 2, 22	pi1bas2 24548	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)))
24	23	eleq2d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑉 ↔ 𝑦 ∈ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽))))
25	24	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)))
26		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)) = (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽))
27		fvoveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)))
28		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽)) = (𝐺‘𝑦))
29	28	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
30	27, 29	eqeq12d 2748	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧))))
31	30	ralbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧))))
32		oveq2 7413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([ℎ]( ≃ph‘𝐽) = 𝑧 → ([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)[ℎ]( ≃ph‘𝐽)) = ([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧))
33	32	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([ℎ]( ≃ph‘𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) = (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)))
34		fveq2 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([ℎ]( ≃ph‘𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽)) = (𝐺‘𝑧))
35	34	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([ℎ]( ≃ph‘𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
36	33, 35	eqeq12d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ ([ℎ]( ≃ph‘𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) ↔ (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧))))
37	3, 1, 2, 22	pi1eluni 24549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ∪ 𝑉 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐴)))
38	37	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐴))
39	38	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
41	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
42	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑋)
43	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑃))
44	3, 41, 42, 43	pi1eluni 24549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (ℎ ∈ ∪ 𝑉 ↔ (ℎ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (ℎ‘0) = 𝐴 ∧ (ℎ‘1) = 𝐴)))
45	44	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (ℎ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (ℎ‘0) = 𝐴 ∧ (ℎ‘1) = 𝐴))
46	45	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ℎ ∈ (II Cn 𝐽))
47	38	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓‘1) = 𝐴)
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓‘1) = 𝐴)
49	45	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (ℎ‘0) = 𝐴)
50	48, 49	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓‘1) = (ℎ‘0))
51	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
52	40, 46, 50, 51	copco 24525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)) = ((𝐹 ∘ 𝑓)(*𝑝‘𝐾)(𝐹 ∘ ℎ)))
53	52	eceq1d 8738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ))]( ≃ph‘𝐾) = [((𝐹 ∘ 𝑓)(*𝑝‘𝐾)(𝐹 ∘ ℎ))]( ≃ph‘𝐾))
54	40, 46, 50	pcocn 24524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ) ∈ (II Cn 𝐽))
55	40, 46	pco0 24521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)‘0) = (𝑓‘0))
56	38	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓‘0) = 𝐴)
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓‘0) = 𝐴)
58	55, 57	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)‘0) = 𝐴)
59	40, 46	pco1 24522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)‘1) = (ℎ‘1))
60	45	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (ℎ‘1) = 𝐴)
61	59, 60	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)‘1) = 𝐴)
62	1	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑋)
64	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑃))
65	3, 62, 63, 64	pi1eluni 24549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ) ∈ ∪ 𝑉 ↔ ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)‘0) = 𝐴 ∧ ((𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)‘1) = 𝐴)))
66	54, 58, 61, 65	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ) ∈ ∪ 𝑉)
67	3, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11	pi1coval 24567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ) ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ))]( ≃ph‘𝐾))
68	67	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ) ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ))]( ≃ph‘𝐾))
69	66, 68	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ (𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ))]( ≃ph‘𝐾))
70		eqid 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
71	10	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
72	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝐵 ∈ ∪ 𝐾)
73		eqid 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
74	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
75		cnco 22761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝐾))
76	39, 74, 75	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝐾))
77		iitopon 24386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
78		cnf2 22744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
79	77, 41, 39, 78	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
80		0elunit 13442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
81		fvco3 6987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘0) = (𝐹‘(𝑓‘0)))
82	79, 80, 81	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘0) = (𝐹‘(𝑓‘0)))
83	56	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(𝑓‘0)) = (𝐹‘𝐴))
84	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)
85	82, 83, 84	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘0) = 𝐵)
86		1elunit 13443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
87		fvco3 6987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘1) = (𝐹‘(𝑓‘1)))
88	79, 86, 87	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘1) = (𝐹‘(𝑓‘1)))
89	47	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(𝑓‘1)) = (𝐹‘𝐴))
90	88, 89, 84	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘1) = 𝐵)
91	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
92	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝐵 ∈ ∪ 𝐾)
93		eqidd 2733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
94	16, 91, 92, 93	pi1eluni 24549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑓) ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹 ∘ 𝑓)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹 ∘ 𝑓)‘1) = 𝐵)))
95	76, 85, 90, 94	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ ∪ (Base‘𝑄))
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ ∪ (Base‘𝑄))
97		cnco 22761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℎ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∘ ℎ) ∈ (II Cn 𝐾))
98	46, 51, 97	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ ℎ) ∈ (II Cn 𝐾))
99		cnf2 22744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ ℎ ∈ (II Cn 𝐽)) → ℎ:(0[,]1)⟶𝑋)
100	77, 62, 46, 99	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ℎ:(0[,]1)⟶𝑋)
101		fvco3 6987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ ℎ)‘0) = (𝐹‘(ℎ‘0)))
102	100, 80, 101	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ ℎ)‘0) = (𝐹‘(ℎ‘0)))
103	49	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(ℎ‘0)) = (𝐹‘𝐴))
104	11	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐵)
105	102, 103, 104	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ ℎ)‘0) = 𝐵)
106		fvco3 6987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ ℎ)‘1) = (𝐹‘(ℎ‘1)))
107	100, 86, 106	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ ℎ)‘1) = (𝐹‘(ℎ‘1)))
108	60	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹‘(ℎ‘1)) = (𝐹‘𝐴))
109	107, 108, 104	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ ℎ)‘1) = 𝐵)
110		eqidd 2733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
111	16, 10, 15, 110	pi1eluni 24549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ ℎ) ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹 ∘ ℎ) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹 ∘ ℎ)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹 ∘ ℎ)‘1) = 𝐵)))
112	111	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐹 ∘ ℎ) ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐹 ∘ ℎ) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝐹 ∘ ℎ)‘0) = 𝐵 ∧ ((𝐹 ∘ ℎ)‘1) = 𝐵)))
113	98, 105, 109, 112	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐹 ∘ ℎ) ∈ ∪ (Base‘𝑄))
114	16, 70, 71, 72, 73, 96, 113	pi1addval 24555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ([(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃ph‘𝐾)(+g‘𝑄)[(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾)) = [((𝐹 ∘ 𝑓)(*𝑝‘𝐾)(𝐹 ∘ ℎ))]( ≃ph‘𝐾))
115	53, 69, 114	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)]( ≃ph‘𝐽)) = ([(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃ph‘𝐾)(+g‘𝑄)[(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾)))
116		eqid 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
117		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → 𝑓 ∈ ∪ 𝑉)
118		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ℎ ∈ ∪ 𝑉)
119	3, 19, 62, 63, 116, 117, 118	pi1addval 24555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)[ℎ]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)]( ≃ph‘𝐽))
120	119	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) = (𝐺‘[(𝑓(*𝑝‘𝐽)ℎ)]( ≃ph‘𝐽)))
121	3, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11	pi1coval 24567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃ph‘𝐾))
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃ph‘𝐾))
123	3, 16, 19, 20, 1, 6, 2, 11	pi1coval 24567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾))
124	123	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾))
125	122, 124	oveq12d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) = ([(𝐹 ∘ 𝑓)]( ≃ph‘𝐾)(+g‘𝑄)[(𝐹 ∘ ℎ)]( ≃ph‘𝐾)))
126	115, 120, 125	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ ℎ ∈ ∪ 𝑉) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)[ℎ]( ≃ph‘𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘[ℎ]( ≃ph‘𝐽))))
127	26, 36, 126	ectocld 8774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽))) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
128	127	ralrimiva 3146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ∀𝑧 ∈ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽))(𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
129	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → 𝑉 = (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽)))
130	129	raleqdv 3325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽))(𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧))))
131	128, 130	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∪ 𝑉) → ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph‘𝐽))(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
132	26, 31, 131	ectocld 8774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ 𝑉 / ( ≃ph‘𝐽))) → ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
133	25, 132	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
134	133	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))
135	21, 134	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧))))
136	19, 70, 116, 73	isghm 19086	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄) ↔ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑄 ∈ Grp) ∧ (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦)(+g‘𝑄)(𝐺‘𝑧)))))
137	5, 18, 135, 136	syl21anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ⟨cop 4633  ∪ cuni 4907   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   ∘ ccom 5679  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  [cec 8697   / cqs 8698  0cc0 11106  1c1 11107  [,]cicc 13323  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Grpcgrp 18815   GrpHom cghm 19083  Topctop 22386  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719  IIcii 24382   ≃_phcphtpc 24476  *_𝑝cpco 24507   π₁ cpi1 24510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-qus 17451  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-mulg 18945  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-ii 24384  df-htpy 24477  df-phtpy 24478  df-phtpc 24499  df-pco 24512  df-om1 24513  df-pi1 24515

This theorem is referenced by: (None)