Theorem pzriprnglem12 21447

Description: Lemma 12 for pzriprng 21452: 𝑄 has a ring unity. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
pzriprng.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem12	⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))

Proof of Theorem pzriprnglem12

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3		pzriprng.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		pzriprng.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
5		pzriprng.g	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
6		pzriprng.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	pzriprnglem11 21446	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
8	7	eleq2i 2828	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ 𝑋 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})})
9		eliun 4950	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
10	8, 9	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
11		elsni 4597	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → 𝑋 = (ℤ × {𝑦}))
12		1z 12521	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
13	1, 2, 3, 4, 5	pzriprnglem10 21445	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → [⟨1, 𝑦⟩] ∼ = (ℤ × {𝑦}))
14	12, 13	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [⟨1, 𝑦⟩] ∼ = (ℤ × {𝑦}))
15	14	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (ℤ × {𝑦}) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
16	15	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) ↔ 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
17	1	pzriprnglem1 21436	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ Rng)
19	1, 2, 3	pzriprnglem8 21443	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
21	1, 2	pzriprnglem4 21439	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
23	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
24	23, 23	opelxpd 5663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
25		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℤ)
26	23, 25	opelxpd 5663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
27	1	pzriprnglem2 21437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
28	27	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ × ℤ) = (Base‘𝑅)
29		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31	5, 6, 28, 29, 30	qusmulrng 21237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ )
32	18, 20, 22, 24, 26, 31	syl32anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ )
33		zringbas 21408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
34		zringring 21404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤring ∈ Ring
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
36	23, 23	zmulcld 12602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) ∈ ℤ)
37	23, 25	zmulcld 12602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) ∈ ℤ)
38		zringmulr 21412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℤring)
39	1, 33, 33, 35, 35, 23, 23, 23, 25, 36, 37, 38, 38, 29	xpsmul 17496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩)
40		1cnd 11127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
41	40	mulridd 11149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) = 1)
42		zcn 12493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
43	42	mullidd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) = 𝑦)
44	41, 43	opeq12d 4837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
45	39, 44	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
46	45	eceq1d 8675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
47	32, 46	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
48	5, 6, 28, 29, 30	qusmulrng 21237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ )
49	18, 20, 22, 26, 24, 48	syl32anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ )
50	25, 23	zmulcld 12602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) ∈ ℤ)
51	1, 33, 33, 35, 35, 23, 25, 23, 23, 36, 50, 38, 38, 29	xpsmul 17496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩)
52	42	mulridd 11149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
53	41, 52	opeq12d 4837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
54	51, 53	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
55	54	eceq1d 8675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
56	49, 55	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
57	47, 56	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
58	1, 2, 3, 4, 5	pzriprnglem10 21445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → [⟨1, 1⟩] ∼ = (ℤ × {1}))
59	12, 12, 58	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [⟨1, 1⟩] ∼ = (ℤ × {1})
60	59	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼
61	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼ )
62		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
63	61, 62	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
64	63, 62	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
65	62, 61	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ))
66	65, 62	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
67	64, 66	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋) ↔ (([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )))
68	57, 67	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
69	16, 68	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
70	11, 69	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
71	70	rexlimiv 3130	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))
72	10, 71	sylbi 217	1 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {csn 4580  ⟨cop 4586  ∪ ciun 4946   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  [cec 8633  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031  ℤcz 12488  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  ._rcmulr 17178   /_s cqus 17426   ×_s cxps 17427  SubGrpcsubg 19050   ~_QG cqg 19052  Rngcrng 20087  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  2Idealc2idl 21204  ℤ_ringczring 21401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-imas 17429  df-qus 17430  df-xps 17431  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-eqg 19055  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-2idl 21205  df-cnfld 21310  df-zring 21402

This theorem is referenced by:  pzriprnglem13  21448  pzriprnglem14  21449