MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprnglem12 21503
Description: Lemma 12 for pzriprng 21508: 𝑄 has a ring unity. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r 𝑅 = (ℤring ×sring)
pzriprng.i 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
pzriprng.1 1 = (1r𝐽)
pzriprng.g = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q 𝑄 = (𝑅 /s )
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem12 (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))

Proof of Theorem pzriprnglem12
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pzriprng.r . . . . 5 𝑅 = (ℤring ×sring)
2 pzriprng.i . . . . 5 𝐼 = (ℤ × {0})
3 pzriprng.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
4 pzriprng.1 . . . . 5 1 = (1r𝐽)
5 pzriprng.g . . . . 5 = (𝑅 ~QG 𝐼)
6 pzriprng.q . . . . 5 𝑄 = (𝑅 /s )
71, 2, 3, 4, 5, 6pzriprnglem11 21502 . . . 4 (Base‘𝑄) = 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
87eleq2i 2833 . . 3 (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ 𝑋 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})})
9 eliun 4995 . . 3 (𝑋 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
108, 9bitri 275 . 2 (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
11 elsni 4643 . . . 4 (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → 𝑋 = (ℤ × {𝑦}))
12 1z 12647 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
131, 2, 3, 4, 5pzriprnglem10 21501 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → [⟨1, 𝑦⟩] = (ℤ × {𝑦}))
1412, 13mpan 690 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → [⟨1, 𝑦⟩] = (ℤ × {𝑦}))
1514eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (ℤ × {𝑦}) = [⟨1, 𝑦⟩] )
1615eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) ↔ 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ))
171pzriprnglem1 21492 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ Rng
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ Rng)
191, 2, 3pzriprnglem8 21499 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
211, 2pzriprnglem4 21495 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
2423, 23opelxpd 5724 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℤ)
2623, 25opelxpd 5724 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
271pzriprnglem2 21493 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
2827eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 (ℤ × ℤ) = (Base‘𝑅)
29 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
30 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (.r𝑄) = (.r𝑄)
315, 6, 28, 29, 30qusmulrng 21292 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ) = [(⟨1, 1⟩(.r𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] )
3218, 20, 22, 24, 26, 31syl32anc 1380 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ) = [(⟨1, 1⟩(.r𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] )
33 zringbas 21464 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
34 zringring 21460 . . . . . . . . . . . 12 ring ∈ Ring
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
3623, 23zmulcld 12728 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) ∈ ℤ)
3723, 25zmulcld 12728 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) ∈ ℤ)
38 zringmulr 21468 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
391, 33, 33, 35, 35, 23, 23, 23, 25, 36, 37, 38, 38, 29xpsmul 17620 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩)
40 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
4140mulridd 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) = 1)
42 zcn 12618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
4342mullidd 11279 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) = 𝑦)
4441, 43opeq12d 4881 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
4539, 44eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
4645eceq1d 8785 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 1⟩(.r𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] = [⟨1, 𝑦⟩] )
4732, 46eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] )
485, 6, 28, 29, 30qusmulrng 21292 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r𝑅)⟨1, 1⟩)] )
4918, 20, 22, 26, 24, 48syl32anc 1380 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r𝑅)⟨1, 1⟩)] )
5025, 23zmulcld 12728 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) ∈ ℤ)
511, 33, 33, 35, 35, 23, 25, 23, 23, 36, 50, 38, 38, 29xpsmul 17620 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩)
5242mulridd 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
5341, 52opeq12d 4881 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
5451, 53eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
5554eceq1d 8785 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 𝑦⟩(.r𝑅)⟨1, 1⟩)] = [⟨1, 𝑦⟩] )
5649, 55eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] )
5747, 56jca 511 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] ))
581, 2, 3, 4, 5pzriprnglem10 21501 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → [⟨1, 1⟩] = (ℤ × {1}))
5912, 12, 58mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 [⟨1, 1⟩] = (ℤ × {1})
6059eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩]
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩] )
62 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] )
6361, 62oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → ((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = ([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ))
6463, 62eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] ))
6562, 61oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ))
6665, 62eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → ((𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] ))
6764, 66anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → ((((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋) ↔ (([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] )))
6857, 67syl5ibrcom 247 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
6916, 68sylbid 240 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
7011, 69syl5 34 . . 3 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
7170rexlimiv 3148 . 2 (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))
7210, 71sylbi 217 1 (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  {csn 4626  cop 4632   ciun 4991   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  [cec 8743  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cz 12613  Basecbs 17247  s cress 17274  .rcmulr 17298   /s cqus 17550   ×s cxps 17551  SubGrpcsubg 19138   ~QG cqg 19140  Rngcrng 20149  1rcur 20178  Ringcrg 20230  2Idealc2idl 21259  ringczring 21457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-eqg 19143  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458
This theorem is referenced by:  pzriprnglem13  21504  pzriprnglem14  21505
  Copyright terms: Public domain W3C validator