Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pzriprnglem12 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pzriprnglem12 46816
Description: Lemma 12 for pzriprng 46821: 𝑄 has a ring unity. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r 𝑅 = (β„€ring Γ—s β„€ring)
pzriprng.i 𝐼 = (β„€ Γ— {0})
pzriprng.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
pzriprng.1 1 = (1rβ€˜π½)
pzriprng.g ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem12 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„) β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋))
Proof of Theorem pzriprnglem12
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pzriprng.r . . . . 5 𝑅 = (β„€ring Γ—s β„€ring)
2 pzriprng.i . . . . 5 𝐼 = (β„€ Γ— {0})
3 pzriprng.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
4 pzriprng.1 . . . . 5 1 = (1rβ€˜π½)
5 pzriprng.g . . . . 5 ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
6 pzriprng.q . . . . 5 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
71, 2, 3, 4, 5, 6pzriprnglem11 46815 . . . 4 (Baseβ€˜π‘„) = βˆͺ 𝑦 ∈ β„€ {(β„€ Γ— {𝑦})}
87eleq2i 2826 . . 3 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„) ↔ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ β„€ {(β„€ Γ— {𝑦})})
9 eliun 5002 . . 3 (𝑋 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ β„€ {(β„€ Γ— {𝑦})} ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ 𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})})
108, 9bitri 275 . 2 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ 𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})})
11 elsni 4646 . . . 4 (𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})} β†’ 𝑋 = (β„€ Γ— {𝑦}))
12 1z 12592 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
131, 2, 3, 4, 5pzriprnglem10 46814 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ = (β„€ Γ— {𝑦}))
1412, 13mpan 689 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„€ β†’ [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ = (β„€ Γ— {𝑦}))
1514eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (β„€ Γ— {𝑦}) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
1615eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑋 = (β„€ Γ— {𝑦}) ↔ 𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
171pzriprnglem1 46805 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ Rng
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
191, 2, 3pzriprnglem8 46812 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
211, 2pzriprnglem4 46808 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
2312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ β„€)
2423, 23opelxpd 5716 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ⟨1, 1⟩ ∈ (β„€ Γ— β„€))
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ β„€)
2623, 25opelxpd 5716 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ⟨1, π‘¦βŸ© ∈ (β„€ Γ— β„€))
271pzriprnglem2 46806 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (β„€ Γ— β„€)
2827eqcomi 2742 . . . . . . . . . 10 (β„€ Γ— β„€) = (Baseβ€˜π‘…)
29 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
30 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘„) = (.rβ€˜π‘„)
315, 6, 28, 29, 30qusmulrng 46770 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ (β„€ Γ— β„€) ∧ ⟨1, π‘¦βŸ© ∈ (β„€ Γ— β„€))) β†’ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©)] ∼ )
3218, 20, 22, 24, 26, 31syl32anc 1379 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©)] ∼ )
33 zringbas 21023 . . . . . . . . . . 11 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
34 zringring 21020 . . . . . . . . . . . 12 β„€ring ∈ Ring
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ β„€ring ∈ Ring)
3623, 23zmulcld 12672 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (1 Β· 1) ∈ β„€)
3723, 25zmulcld 12672 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (1 Β· 𝑦) ∈ β„€)
38 zringmulr 21027 . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
391, 33, 33, 35, 35, 23, 23, 23, 25, 36, 37, 38, 38, 29xpsmul 17521 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©) = ⟨(1 Β· 1), (1 Β· 𝑦)⟩)
40 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ β„‚)
4140mulridd 11231 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (1 Β· 1) = 1)
42 zcn 12563 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
4342mullidd 11232 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (1 Β· 𝑦) = 𝑦)
4441, 43opeq12d 4882 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ⟨(1 Β· 1), (1 Β· 𝑦)⟩ = ⟨1, π‘¦βŸ©)
4539, 44eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©) = ⟨1, π‘¦βŸ©)
4645eceq1d 8742 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„€ β†’ [(⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©)] ∼ = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
4732, 46eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
485, 6, 28, 29, 30qusmulrng 46770 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (⟨1, π‘¦βŸ© ∈ (β„€ Γ— β„€) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (β„€ Γ— β„€))) β†’ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩)] ∼ )
4918, 20, 22, 26, 24, 48syl32anc 1379 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩)] ∼ )
5025, 23zmulcld 12672 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑦 Β· 1) ∈ β„€)
511, 33, 33, 35, 35, 23, 25, 23, 23, 36, 50, 38, 38, 29xpsmul 17521 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩) = ⟨(1 Β· 1), (𝑦 Β· 1)⟩)
5242mulridd 11231 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑦 Β· 1) = 𝑦)
5341, 52opeq12d 4882 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ⟨(1 Β· 1), (𝑦 Β· 1)⟩ = ⟨1, π‘¦βŸ©)
5451, 53eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩) = ⟨1, π‘¦βŸ©)
5554eceq1d 8742 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„€ β†’ [(⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩)] ∼ = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
5649, 55eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
5747, 56jca 513 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ∧ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
581, 2, 3, 4, 5pzriprnglem10 46814 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ [⟨1, 1⟩] ∼ = (β„€ Γ— {1}))
5912, 12, 58mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 [⟨1, 1⟩] ∼ = (β„€ Γ— {1})
6059eqcomi 2742 . . . . . . . . . 10 (β„€ Γ— {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ (β„€ Γ— {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼ )
62 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ 𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
6361, 62oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ ((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
6463, 62eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
6562, 61oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ))
6665, 62eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ ((𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋 ↔ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
6764, 66anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ ((((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋) ↔ (([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ∧ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )))
6857, 67syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋)))
6916, 68sylbid 239 . . . 4 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑋 = (β„€ Γ— {𝑦}) β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋)))
7011, 69syl5 34 . . 3 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})} β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋)))
7170rexlimiv 3149 . 2 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ 𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})} β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋))
7210, 71sylbi 216 1 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„) β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ ciun 4998   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  [cec 8701  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  β„€cz 12558  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  .rcmulr 17198   /s cqus 17451   Γ—s cxps 17452  SubGrpcsubg 19000   ~QG cqg 19002  1rcur 20004  Ringcrg 20056  2Idealc2idl 20856  β„€ringczring 21017  Rngcrng 46648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-prds 17393  df-imas 17454  df-qus 17455  df-xps 17456  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-eqg 19005  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-subrg 20317  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-2idl 20857  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-rng 46649
This theorem is referenced by:  pzriprnglem13  46817  pzriprnglem14  46818
  Copyright terms: Public domain W3C validator