Theorem pzriprnglem12 21853

Description: Lemma 12 for pzriprng 21858: 𝑄 has a ring unity. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
pzriprng.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem12	⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))

Proof of Theorem pzriprnglem12

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3		pzriprng.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		pzriprng.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
5		pzriprng.g	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
6		pzriprng.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	pzriprnglem11 21852	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
8	7	eleq2i 2856	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ 𝑋 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})})
9		eliun 4960	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
10	8, 9	bitri 278	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
11		elsni 4601	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → 𝑋 = (ℤ × {𝑦}))
12		1z 12766	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
13	1, 2, 3, 4, 5	pzriprnglem10 21851	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → [⟨1, 𝑦⟩] ∼ = (ℤ × {𝑦}))
14	12, 13	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [⟨1, 𝑦⟩] ∼ = (ℤ × {𝑦}))
15	14	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (ℤ × {𝑦}) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
16	15	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) ↔ 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
17	1	pzriprnglem1 21842	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ Rng)
19	1, 2, 3	pzriprnglem8 21849	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
21	1, 2	pzriprnglem4 21845	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
23	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
24	23, 23	opelxpd 5697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
25		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℤ)
26	23, 25	opelxpd 5697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
27	1	pzriprnglem2 21843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
28	27	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ × ℤ) = (Base‘𝑅)
29		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31	5, 6, 28, 29, 30	qusmulrng 21629	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ )
32	18, 20, 22, 24, 26, 31	syl32anc 1406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ )
33		zringbas 21813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
34		zringring 21809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤring ∈ Ring
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
36	23, 23	zmulcld 12849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) ∈ ℤ)
37	23, 25	zmulcld 12849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) ∈ ℤ)
38		zringmulr 21818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℤring)
39	1, 33, 33, 35, 35, 23, 23, 23, 25, 36, 37, 38, 38, 29	xpsmul 17797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩)
40		1cnd 11341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
41	40	mulridd 11365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) = 1)
42		zcn 12738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
43	42	mullidd 11366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) = 𝑦)
44	41, 43	opeq12d 4853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
45	39, 44	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
46	45	eceq1d 8796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
47	32, 46	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
48	5, 6, 28, 29, 30	qusmulrng 21629	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ )
49	18, 20, 22, 26, 24, 48	syl32anc 1406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ )
50	25, 23	zmulcld 12849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) ∈ ℤ)
51	1, 33, 33, 35, 35, 23, 25, 23, 23, 36, 50, 38, 38, 29	xpsmul 17797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩)
52	42	mulridd 11365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
53	41, 52	opeq12d 4853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
54	51, 53	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
55	54	eceq1d 8796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
56	49, 55	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
57	47, 56	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
58	1, 2, 3, 4, 5	pzriprnglem10 21851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → [⟨1, 1⟩] ∼ = (ℤ × {1}))
59	12, 12, 58	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [⟨1, 1⟩] ∼ = (ℤ × {1})
60	59	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼
61	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼ )
62		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
63	61, 62	oveq12d 7469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
64	63, 62	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
65	62, 61	oveq12d 7469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ))
66	65, 62	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
67	64, 66	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋) ↔ (([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )))
68	57, 67	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
69	16, 68	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
70	11, 69	syl5 35	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
71	70	rexlimiv 3160	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))
72	10, 71	sylbi 220	1 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {csn 4588  ⟨cop 4840  ∪ ciun 4956   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  [cec 8753  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244  ℤcz 12733  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  ._rcmulr 17473   /_s cqus 17727   ×_s cxps 17728  SubGrpcsubg 19380   ~_QG cqg 19382  Rngcrng 20425  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  2Idealc2idl 21593  ℤ_ringczring 21806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-0g 17662  df-prds 17668  df-imas 17730  df-qus 17731  df-xps 17732  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-eqg 19385  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-lss 21258  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-lidl 21537  df-2idl 21594  df-cnfld 21730  df-zring 21807

This theorem is used by:  pzriprnglem13  21854  pzriprnglem14  21855