MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem12 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pzriprnglem12 21422
Description: Lemma 12 for pzriprng 21427: 𝑄 has a ring unity. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r 𝑅 = (β„€ring Γ—s β„€ring)
pzriprng.i 𝐼 = (β„€ Γ— {0})
pzriprng.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
pzriprng.1 1 = (1rβ€˜π½)
pzriprng.g ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem12 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„) β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋))
Proof of Theorem pzriprnglem12
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pzriprng.r . . . . 5 𝑅 = (β„€ring Γ—s β„€ring)
2 pzriprng.i . . . . 5 𝐼 = (β„€ Γ— {0})
3 pzriprng.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
4 pzriprng.1 . . . . 5 1 = (1rβ€˜π½)
5 pzriprng.g . . . . 5 ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
6 pzriprng.q . . . . 5 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
71, 2, 3, 4, 5, 6pzriprnglem11 21421 . . . 4 (Baseβ€˜π‘„) = βˆͺ 𝑦 ∈ β„€ {(β„€ Γ— {𝑦})}
87eleq2i 2817 . . 3 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„) ↔ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ β„€ {(β„€ Γ— {𝑦})})
9 eliun 4995 . . 3 (𝑋 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ β„€ {(β„€ Γ— {𝑦})} ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ 𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})})
108, 9bitri 274 . 2 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ 𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})})
11 elsni 4641 . . . 4 (𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})} β†’ 𝑋 = (β„€ Γ— {𝑦}))
12 1z 12622 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
131, 2, 3, 4, 5pzriprnglem10 21420 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ = (β„€ Γ— {𝑦}))
1412, 13mpan 688 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„€ β†’ [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ = (β„€ Γ— {𝑦}))
1514eqcomd 2731 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (β„€ Γ— {𝑦}) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
1615eqeq2d 2736 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑋 = (β„€ Γ— {𝑦}) ↔ 𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
171pzriprnglem1 21411 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ Rng
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
191, 2, 3pzriprnglem8 21418 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
211, 2pzriprnglem4 21414 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
2312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ β„€)
2423, 23opelxpd 5711 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ⟨1, 1⟩ ∈ (β„€ Γ— β„€))
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ β„€)
2623, 25opelxpd 5711 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ⟨1, π‘¦βŸ© ∈ (β„€ Γ— β„€))
271pzriprnglem2 21412 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (β„€ Γ— β„€)
2827eqcomi 2734 . . . . . . . . . 10 (β„€ Γ— β„€) = (Baseβ€˜π‘…)
29 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
30 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘„) = (.rβ€˜π‘„)
315, 6, 28, 29, 30qusmulrng 21178 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ (β„€ Γ— β„€) ∧ ⟨1, π‘¦βŸ© ∈ (β„€ Γ— β„€))) β†’ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©)] ∼ )
3218, 20, 22, 24, 26, 31syl32anc 1375 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©)] ∼ )
33 zringbas 21383 . . . . . . . . . . 11 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
34 zringring 21379 . . . . . . . . . . . 12 β„€ring ∈ Ring
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ β„€ring ∈ Ring)
3623, 23zmulcld 12702 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (1 Β· 1) ∈ β„€)
3723, 25zmulcld 12702 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (1 Β· 𝑦) ∈ β„€)
38 zringmulr 21387 . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
391, 33, 33, 35, 35, 23, 23, 23, 25, 36, 37, 38, 38, 29xpsmul 17556 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©) = ⟨(1 Β· 1), (1 Β· 𝑦)⟩)
40 1cnd 11239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ β„‚)
4140mulridd 11261 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (1 Β· 1) = 1)
42 zcn 12593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
4342mullidd 11262 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (1 Β· 𝑦) = 𝑦)
4441, 43opeq12d 4877 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ⟨(1 Β· 1), (1 Β· 𝑦)⟩ = ⟨1, π‘¦βŸ©)
4539, 44eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©) = ⟨1, π‘¦βŸ©)
4645eceq1d 8762 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„€ β†’ [(⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©)] ∼ = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
4732, 46eqtrd 2765 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
485, 6, 28, 29, 30qusmulrng 21178 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (⟨1, π‘¦βŸ© ∈ (β„€ Γ— β„€) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (β„€ Γ— β„€))) β†’ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩)] ∼ )
4918, 20, 22, 26, 24, 48syl32anc 1375 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩)] ∼ )
5025, 23zmulcld 12702 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑦 Β· 1) ∈ β„€)
511, 33, 33, 35, 35, 23, 25, 23, 23, 36, 50, 38, 38, 29xpsmul 17556 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩) = ⟨(1 Β· 1), (𝑦 Β· 1)⟩)
5242mulridd 11261 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑦 Β· 1) = 𝑦)
5341, 52opeq12d 4877 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ⟨(1 Β· 1), (𝑦 Β· 1)⟩ = ⟨1, π‘¦βŸ©)
5451, 53eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩) = ⟨1, π‘¦βŸ©)
5554eceq1d 8762 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„€ β†’ [(⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩)] ∼ = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
5649, 55eqtrd 2765 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
5747, 56jca 510 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ∧ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
581, 2, 3, 4, 5pzriprnglem10 21420 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ [⟨1, 1⟩] ∼ = (β„€ Γ— {1}))
5912, 12, 58mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 [⟨1, 1⟩] ∼ = (β„€ Γ— {1})
6059eqcomi 2734 . . . . . . . . . 10 (β„€ Γ— {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ (β„€ Γ— {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼ )
62 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ 𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
6361, 62oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ ((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
6463, 62eqeq12d 2741 . . . . . . 7 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
6562, 61oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ))
6665, 62eqeq12d 2741 . . . . . . 7 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ ((𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋 ↔ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
6764, 66anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ ((((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋) ↔ (([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ∧ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )))
6857, 67syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋)))
6916, 68sylbid 239 . . . 4 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑋 = (β„€ Γ— {𝑦}) β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋)))
7011, 69syl5 34 . . 3 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})} β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋)))
7170rexlimiv 3138 . 2 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ 𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})} β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋))
7210, 71sylbi 216 1 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„) β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  {csn 4624  βŸ¨cop 4630  βˆͺ ciun 4991   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  [cec 8721  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143  β„€cz 12588  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  .rcmulr 17233   /s cqus 17486   Γ—s cxps 17487  SubGrpcsubg 19079   ~QG cqg 19081  Rngcrng 20096  1rcur 20125  Ringcrg 20177  2Idealc2idl 21147  β„€ringczring 21376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-imas 17489  df-qus 17490  df-xps 17491  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-eqg 19084  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-2idl 21148  df-cnfld 21284  df-zring 21377
This theorem is referenced by:  pzriprnglem13  21423  pzriprnglem14  21424
  Copyright terms: Public domain W3C validator