MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem12 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pzriprnglem12 21379
Description: Lemma 12 for pzriprng 21384: 𝑄 has a ring unity. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r 𝑅 = (β„€ring Γ—s β„€ring)
pzriprng.i 𝐼 = (β„€ Γ— {0})
pzriprng.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
pzriprng.1 1 = (1rβ€˜π½)
pzriprng.g ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem12 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„) β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋))
Proof of Theorem pzriprnglem12
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pzriprng.r . . . . 5 𝑅 = (β„€ring Γ—s β„€ring)
2 pzriprng.i . . . . 5 𝐼 = (β„€ Γ— {0})
3 pzriprng.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
4 pzriprng.1 . . . . 5 1 = (1rβ€˜π½)
5 pzriprng.g . . . . 5 ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
6 pzriprng.q . . . . 5 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
71, 2, 3, 4, 5, 6pzriprnglem11 21378 . . . 4 (Baseβ€˜π‘„) = βˆͺ 𝑦 ∈ β„€ {(β„€ Γ— {𝑦})}
87eleq2i 2819 . . 3 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„) ↔ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ β„€ {(β„€ Γ— {𝑦})})
9 eliun 4994 . . 3 (𝑋 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ β„€ {(β„€ Γ— {𝑦})} ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ 𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})})
108, 9bitri 275 . 2 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ 𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})})
11 elsni 4640 . . . 4 (𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})} β†’ 𝑋 = (β„€ Γ— {𝑦}))
12 1z 12596 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
131, 2, 3, 4, 5pzriprnglem10 21377 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ = (β„€ Γ— {𝑦}))
1412, 13mpan 687 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„€ β†’ [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ = (β„€ Γ— {𝑦}))
1514eqcomd 2732 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (β„€ Γ— {𝑦}) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
1615eqeq2d 2737 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑋 = (β„€ Γ— {𝑦}) ↔ 𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
171pzriprnglem1 21368 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ Rng
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
191, 2, 3pzriprnglem8 21375 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
211, 2pzriprnglem4 21371 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
2312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ β„€)
2423, 23opelxpd 5708 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ⟨1, 1⟩ ∈ (β„€ Γ— β„€))
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ β„€)
2623, 25opelxpd 5708 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ⟨1, π‘¦βŸ© ∈ (β„€ Γ— β„€))
271pzriprnglem2 21369 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (β„€ Γ— β„€)
2827eqcomi 2735 . . . . . . . . . 10 (β„€ Γ— β„€) = (Baseβ€˜π‘…)
29 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
30 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘„) = (.rβ€˜π‘„)
315, 6, 28, 29, 30qusmulrng 21137 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ (β„€ Γ— β„€) ∧ ⟨1, π‘¦βŸ© ∈ (β„€ Γ— β„€))) β†’ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©)] ∼ )
3218, 20, 22, 24, 26, 31syl32anc 1375 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©)] ∼ )
33 zringbas 21340 . . . . . . . . . . 11 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
34 zringring 21336 . . . . . . . . . . . 12 β„€ring ∈ Ring
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ β„€ring ∈ Ring)
3623, 23zmulcld 12676 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (1 Β· 1) ∈ β„€)
3723, 25zmulcld 12676 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (1 Β· 𝑦) ∈ β„€)
38 zringmulr 21344 . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
391, 33, 33, 35, 35, 23, 23, 23, 25, 36, 37, 38, 38, 29xpsmul 17530 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©) = ⟨(1 Β· 1), (1 Β· 𝑦)⟩)
40 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ β„‚)
4140mulridd 11235 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (1 Β· 1) = 1)
42 zcn 12567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
4342mullidd 11236 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (1 Β· 𝑦) = 𝑦)
4441, 43opeq12d 4876 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ⟨(1 Β· 1), (1 Β· 𝑦)⟩ = ⟨1, π‘¦βŸ©)
4539, 44eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©) = ⟨1, π‘¦βŸ©)
4645eceq1d 8744 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„€ β†’ [(⟨1, 1⟩(.rβ€˜π‘…)⟨1, π‘¦βŸ©)] ∼ = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
4732, 46eqtrd 2766 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
485, 6, 28, 29, 30qusmulrng 21137 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (⟨1, π‘¦βŸ© ∈ (β„€ Γ— β„€) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (β„€ Γ— β„€))) β†’ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩)] ∼ )
4918, 20, 22, 26, 24, 48syl32anc 1375 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩)] ∼ )
5025, 23zmulcld 12676 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑦 Β· 1) ∈ β„€)
511, 33, 33, 35, 35, 23, 25, 23, 23, 36, 50, 38, 38, 29xpsmul 17530 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩) = ⟨(1 Β· 1), (𝑦 Β· 1)⟩)
5242mulridd 11235 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑦 Β· 1) = 𝑦)
5341, 52opeq12d 4876 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ⟨(1 Β· 1), (𝑦 Β· 1)⟩ = ⟨1, π‘¦βŸ©)
5451, 53eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩) = ⟨1, π‘¦βŸ©)
5554eceq1d 8744 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„€ β†’ [(⟨1, π‘¦βŸ©(.rβ€˜π‘…)⟨1, 1⟩)] ∼ = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
5649, 55eqtrd 2766 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
5747, 56jca 511 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ∧ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
581, 2, 3, 4, 5pzriprnglem10 21377 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ [⟨1, 1⟩] ∼ = (β„€ Γ— {1}))
5912, 12, 58mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 [⟨1, 1⟩] ∼ = (β„€ Γ— {1})
6059eqcomi 2735 . . . . . . . . . 10 (β„€ Γ— {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ (β„€ Γ— {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼ )
62 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ 𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )
6361, 62oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ ((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
6463, 62eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
6562, 61oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ))
6665, 62eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ ((𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋 ↔ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ))
6764, 66anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ ((((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋) ↔ (([⟨1, 1⟩] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ ∧ ([⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ (.rβ€˜π‘„)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ )))
6857, 67syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑋 = [⟨1, π‘¦βŸ©] ∼ β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋)))
6916, 68sylbid 239 . . . 4 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑋 = (β„€ Γ— {𝑦}) β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋)))
7011, 69syl5 34 . . 3 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})} β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋)))
7170rexlimiv 3142 . 2 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ 𝑋 ∈ {(β„€ Γ— {𝑦})} β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋))
7210, 71sylbi 216 1 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„) β†’ (((β„€ Γ— {1})(.rβ€˜π‘„)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.rβ€˜π‘„)(β„€ Γ— {1})) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  {csn 4623  βŸ¨cop 4629  βˆͺ ciun 4990   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  [cec 8703  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„€cz 12562  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  .rcmulr 17207   /s cqus 17460   Γ—s cxps 17461  SubGrpcsubg 19047   ~QG cqg 19049  Rngcrng 20057  1rcur 20086  Ringcrg 20138  2Idealc2idl 21106  β„€ringczring 21333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-imas 17463  df-qus 17464  df-xps 17465  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-eqg 19052  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-2idl 21107  df-cnfld 21241  df-zring 21334
This theorem is referenced by:  pzriprnglem13  21380  pzriprnglem14  21381
  Copyright terms: Public domain W3C validator