Theorem pzriprnglem12 21451

Description: Lemma 12 for pzriprng 21456: 𝑄 has a ring unity. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
pzriprng.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem12	⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))

Proof of Theorem pzriprnglem12

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3		pzriprng.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		pzriprng.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
5		pzriprng.g	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
6		pzriprng.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	pzriprnglem11 21450	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
8	7	eleq2i 2826	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ 𝑋 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})})
9		eliun 4971	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
10	8, 9	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
11		elsni 4618	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → 𝑋 = (ℤ × {𝑦}))
12		1z 12620	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
13	1, 2, 3, 4, 5	pzriprnglem10 21449	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → [⟨1, 𝑦⟩] ∼ = (ℤ × {𝑦}))
14	12, 13	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [⟨1, 𝑦⟩] ∼ = (ℤ × {𝑦}))
15	14	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (ℤ × {𝑦}) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
16	15	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) ↔ 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
17	1	pzriprnglem1 21440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ Rng)
19	1, 2, 3	pzriprnglem8 21447	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
21	1, 2	pzriprnglem4 21443	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
23	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
24	23, 23	opelxpd 5693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
25		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℤ)
26	23, 25	opelxpd 5693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
27	1	pzriprnglem2 21441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
28	27	eqcomi 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ × ℤ) = (Base‘𝑅)
29		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31	5, 6, 28, 29, 30	qusmulrng 21241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ )
32	18, 20, 22, 24, 26, 31	syl32anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ )
33		zringbas 21412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
34		zringring 21408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤring ∈ Ring
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
36	23, 23	zmulcld 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) ∈ ℤ)
37	23, 25	zmulcld 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) ∈ ℤ)
38		zringmulr 21416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℤring)
39	1, 33, 33, 35, 35, 23, 23, 23, 25, 36, 37, 38, 38, 29	xpsmul 17587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩)
40		1cnd 11228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
41	40	mulridd 11250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) = 1)
42		zcn 12591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
43	42	mullidd 11251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) = 𝑦)
44	41, 43	opeq12d 4857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
45	39, 44	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
46	45	eceq1d 8757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
47	32, 46	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
48	5, 6, 28, 29, 30	qusmulrng 21241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ )
49	18, 20, 22, 26, 24, 48	syl32anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ )
50	25, 23	zmulcld 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) ∈ ℤ)
51	1, 33, 33, 35, 35, 23, 25, 23, 23, 36, 50, 38, 38, 29	xpsmul 17587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩)
52	42	mulridd 11250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
53	41, 52	opeq12d 4857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
54	51, 53	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
55	54	eceq1d 8757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
56	49, 55	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
57	47, 56	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
58	1, 2, 3, 4, 5	pzriprnglem10 21449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → [⟨1, 1⟩] ∼ = (ℤ × {1}))
59	12, 12, 58	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [⟨1, 1⟩] ∼ = (ℤ × {1})
60	59	eqcomi 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼
61	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼ )
62		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
63	61, 62	oveq12d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
64	63, 62	eqeq12d 2751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
65	62, 61	oveq12d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ))
66	65, 62	eqeq12d 2751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
67	64, 66	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋) ↔ (([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )))
68	57, 67	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
69	16, 68	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
70	11, 69	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
71	70	rexlimiv 3134	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))
72	10, 71	sylbi 217	1 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  {csn 4601  ⟨cop 4607  ∪ ciun 4967   × cxp 5652  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  [cec 8715  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  ℤcz 12586  Basecbs 17226   ↾_s cress 17249  ._rcmulr 17270   /_s cqus 17517   ×_s cxps 17518  SubGrpcsubg 19101   ~_QG cqg 19103  Rngcrng 20110  1_rcur 20139  Ringcrg 20191  2Idealc2idl 21208  ℤ_ringczring 21405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-prds 17459  df-imas 17520  df-qus 17521  df-xps 17522  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-subg 19104  df-eqg 19106  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-cring 20194  df-oppr 20295  df-subrng 20504  df-subrg 20528  df-lss 20887  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-2idl 21209  df-cnfld 21314  df-zring 21406

This theorem is referenced by:  pzriprnglem13  21452  pzriprnglem14  21453