Theorem pzriprnglem12 21526

Description: Lemma 12 for pzriprng 21531: 𝑄 has a ring unity. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
pzriprng.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem12	⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))

Proof of Theorem pzriprnglem12

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3		pzriprng.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		pzriprng.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
5		pzriprng.g	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
6		pzriprng.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	pzriprnglem11 21525	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
8	7	eleq2i 2836	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ 𝑋 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})})
9		eliun 5019	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
10	8, 9	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
11		elsni 4665	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → 𝑋 = (ℤ × {𝑦}))
12		1z 12673	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
13	1, 2, 3, 4, 5	pzriprnglem10 21524	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → [⟨1, 𝑦⟩] ∼ = (ℤ × {𝑦}))
14	12, 13	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [⟨1, 𝑦⟩] ∼ = (ℤ × {𝑦}))
15	14	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (ℤ × {𝑦}) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
16	15	eqeq2d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) ↔ 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
17	1	pzriprnglem1 21515	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ Rng)
19	1, 2, 3	pzriprnglem8 21522	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
21	1, 2	pzriprnglem4 21518	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
23	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
24	23, 23	opelxpd 5739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
25		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℤ)
26	23, 25	opelxpd 5739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
27	1	pzriprnglem2 21516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
28	27	eqcomi 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ × ℤ) = (Base‘𝑅)
29		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31	5, 6, 28, 29, 30	qusmulrng 21315	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ )
32	18, 20, 22, 24, 26, 31	syl32anc 1378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ )
33		zringbas 21487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
34		zringring 21483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤring ∈ Ring
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
36	23, 23	zmulcld 12753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) ∈ ℤ)
37	23, 25	zmulcld 12753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) ∈ ℤ)
38		zringmulr 21491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℤring)
39	1, 33, 33, 35, 35, 23, 23, 23, 25, 36, 37, 38, 38, 29	xpsmul 17635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩)
40		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
41	40	mulridd 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) = 1)
42		zcn 12644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
43	42	mullidd 11308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) = 𝑦)
44	41, 43	opeq12d 4905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
45	39, 44	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
46	45	eceq1d 8803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
47	32, 46	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
48	5, 6, 28, 29, 30	qusmulrng 21315	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ )
49	18, 20, 22, 26, 24, 48	syl32anc 1378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ )
50	25, 23	zmulcld 12753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) ∈ ℤ)
51	1, 33, 33, 35, 35, 23, 25, 23, 23, 36, 50, 38, 38, 29	xpsmul 17635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩)
52	42	mulridd 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
53	41, 52	opeq12d 4905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
54	51, 53	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
55	54	eceq1d 8803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
56	49, 55	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
57	47, 56	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
58	1, 2, 3, 4, 5	pzriprnglem10 21524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → [⟨1, 1⟩] ∼ = (ℤ × {1}))
59	12, 12, 58	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [⟨1, 1⟩] ∼ = (ℤ × {1})
60	59	eqcomi 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼
61	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼ )
62		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
63	61, 62	oveq12d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
64	63, 62	eqeq12d 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
65	62, 61	oveq12d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ))
66	65, 62	eqeq12d 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
67	64, 66	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋) ↔ (([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )))
68	57, 67	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
69	16, 68	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
70	11, 69	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
71	70	rexlimiv 3154	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))
72	10, 71	sylbi 217	1 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  {csn 4648  ⟨cop 4654  ∪ ciun 5015   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  [cec 8761  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189  ℤcz 12639  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  ._rcmulr 17312   /_s cqus 17565   ×_s cxps 17566  SubGrpcsubg 19160   ~_QG cqg 19162  Rngcrng 20179  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  2Idealc2idl 21282  ℤ_ringczring 21480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-imas 17568  df-qus 17569  df-xps 17570  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-eqg 19165  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-2idl 21283  df-cnfld 21388  df-zring 21481

This theorem is referenced by:  pzriprnglem13  21527  pzriprnglem14  21528