MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprnglem12 21520
Description: Lemma 12 for pzriprng 21525: 𝑄 has a ring unity. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r 𝑅 = (ℤring ×sring)
pzriprng.i 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
pzriprng.1 1 = (1r𝐽)
pzriprng.g = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q 𝑄 = (𝑅 /s )
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem12 (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))

Proof of Theorem pzriprnglem12
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pzriprng.r . . . . 5 𝑅 = (ℤring ×sring)
2 pzriprng.i . . . . 5 𝐼 = (ℤ × {0})
3 pzriprng.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
4 pzriprng.1 . . . . 5 1 = (1r𝐽)
5 pzriprng.g . . . . 5 = (𝑅 ~QG 𝐼)
6 pzriprng.q . . . . 5 𝑄 = (𝑅 /s )
71, 2, 3, 4, 5, 6pzriprnglem11 21519 . . . 4 (Base‘𝑄) = 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
87eleq2i 2830 . . 3 (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ 𝑋 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})})
9 eliun 4999 . . 3 (𝑋 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
108, 9bitri 275 . 2 (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
11 elsni 4647 . . . 4 (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → 𝑋 = (ℤ × {𝑦}))
12 1z 12644 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
131, 2, 3, 4, 5pzriprnglem10 21518 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → [⟨1, 𝑦⟩] = (ℤ × {𝑦}))
1412, 13mpan 690 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → [⟨1, 𝑦⟩] = (ℤ × {𝑦}))
1514eqcomd 2740 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (ℤ × {𝑦}) = [⟨1, 𝑦⟩] )
1615eqeq2d 2745 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) ↔ 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ))
171pzriprnglem1 21509 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ Rng
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ Rng)
191, 2, 3pzriprnglem8 21516 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
211, 2pzriprnglem4 21512 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
2423, 23opelxpd 5727 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℤ)
2623, 25opelxpd 5727 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
271pzriprnglem2 21510 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
2827eqcomi 2743 . . . . . . . . . 10 (ℤ × ℤ) = (Base‘𝑅)
29 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
30 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (.r𝑄) = (.r𝑄)
315, 6, 28, 29, 30qusmulrng 21309 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ) = [(⟨1, 1⟩(.r𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] )
3218, 20, 22, 24, 26, 31syl32anc 1377 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ) = [(⟨1, 1⟩(.r𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] )
33 zringbas 21481 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
34 zringring 21477 . . . . . . . . . . . 12 ring ∈ Ring
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
3623, 23zmulcld 12725 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) ∈ ℤ)
3723, 25zmulcld 12725 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) ∈ ℤ)
38 zringmulr 21485 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
391, 33, 33, 35, 35, 23, 23, 23, 25, 36, 37, 38, 38, 29xpsmul 17621 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩)
40 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
4140mulridd 11275 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) = 1)
42 zcn 12615 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
4342mullidd 11276 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) = 𝑦)
4441, 43opeq12d 4885 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
4539, 44eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
4645eceq1d 8783 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 1⟩(.r𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] = [⟨1, 𝑦⟩] )
4732, 46eqtrd 2774 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] )
485, 6, 28, 29, 30qusmulrng 21309 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r𝑅)⟨1, 1⟩)] )
4918, 20, 22, 26, 24, 48syl32anc 1377 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r𝑅)⟨1, 1⟩)] )
5025, 23zmulcld 12725 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) ∈ ℤ)
511, 33, 33, 35, 35, 23, 25, 23, 23, 36, 50, 38, 38, 29xpsmul 17621 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩)
5242mulridd 11275 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
5341, 52opeq12d 4885 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
5451, 53eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
5554eceq1d 8783 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 𝑦⟩(.r𝑅)⟨1, 1⟩)] = [⟨1, 𝑦⟩] )
5649, 55eqtrd 2774 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] )
5747, 56jca 511 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] ))
581, 2, 3, 4, 5pzriprnglem10 21518 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → [⟨1, 1⟩] = (ℤ × {1}))
5912, 12, 58mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 [⟨1, 1⟩] = (ℤ × {1})
6059eqcomi 2743 . . . . . . . . . 10 (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩]
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩] )
62 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] )
6361, 62oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → ((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = ([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ))
6463, 62eqeq12d 2750 . . . . . . 7 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] ))
6562, 61oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ))
6665, 62eqeq12d 2750 . . . . . . 7 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → ((𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] ))
6764, 66anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → ((((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋) ↔ (([⟨1, 1⟩] (.r𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] (.r𝑄)[⟨1, 1⟩] ) = [⟨1, 𝑦⟩] )))
6857, 67syl5ibrcom 247 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
6916, 68sylbid 240 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
7011, 69syl5 34 . . 3 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
7170rexlimiv 3145 . 2 (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))
7210, 71sylbi 217 1 (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  {csn 4630  cop 4636   ciun 4995   × cxp 5686  cfv 6562  (class class class)co 7430  [cec 8741  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  cz 12610  Basecbs 17244  s cress 17273  .rcmulr 17298   /s cqus 17551   ×s cxps 17552  SubGrpcsubg 19150   ~QG cqg 19152  Rngcrng 20169  1rcur 20198  Ringcrg 20250  2Idealc2idl 21276  ringczring 21474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-prds 17493  df-imas 17554  df-qus 17555  df-xps 17556  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-eqg 19155  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-2idl 21277  df-cnfld 21382  df-zring 21475
This theorem is referenced by:  pzriprnglem13  21521  pzriprnglem14  21522
  Copyright terms: Public domain W3C validator