Theorem pzriprnglem12 21472

Description: Lemma 12 for pzriprng 21477: 𝑄 has a ring unity. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
pzriprng.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem12	⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))

Proof of Theorem pzriprnglem12

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3		pzriprng.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		pzriprng.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
5		pzriprng.g	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
6		pzriprng.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	pzriprnglem11 21471	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
8	7	eleq2i 2828	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ 𝑋 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})})
9		eliun 4937	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
10	8, 9	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})})
11		elsni 4584	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → 𝑋 = (ℤ × {𝑦}))
12		1z 12557	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
13	1, 2, 3, 4, 5	pzriprnglem10 21470	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → [⟨1, 𝑦⟩] ∼ = (ℤ × {𝑦}))
14	12, 13	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [⟨1, 𝑦⟩] ∼ = (ℤ × {𝑦}))
15	14	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (ℤ × {𝑦}) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
16	15	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) ↔ 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
17	1	pzriprnglem1 21461	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ Rng)
19	1, 2, 3	pzriprnglem8 21468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
21	1, 2	pzriprnglem4 21464	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
23	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
24	23, 23	opelxpd 5670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
25		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℤ)
26	23, 25	opelxpd 5670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
27	1	pzriprnglem2 21462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
28	27	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ × ℤ) = (Base‘𝑅)
29		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31	5, 6, 28, 29, 30	qusmulrng 21280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ )
32	18, 20, 22, 24, 26, 31	syl32anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ )
33		zringbas 21433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
34		zringring 21429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤring ∈ Ring
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ℤring ∈ Ring)
36	23, 23	zmulcld 12639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) ∈ ℤ)
37	23, 25	zmulcld 12639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) ∈ ℤ)
38		zringmulr 21437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℤring)
39	1, 33, 33, 35, 35, 23, 23, 23, 25, 36, 37, 38, 38, 29	xpsmul 17539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩)
40		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
41	40	mulridd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 1) = 1)
42		zcn 12529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
43	42	mullidd 11163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (1 · 𝑦) = 𝑦)
44	41, 43	opeq12d 4824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (1 · 𝑦)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
45	39, 44	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
46	45	eceq1d 8684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 1⟩(.r‘𝑅)⟨1, 𝑦⟩)] ∼ = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
47	32, 46	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
48	5, 6, 28, 29, 30	qusmulrng 21280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (⟨1, 𝑦⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ (ℤ × ℤ))) → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ )
49	18, 20, 22, 26, 24, 48	syl32anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ )
50	25, 23	zmulcld 12639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) ∈ ℤ)
51	1, 33, 33, 35, 35, 23, 25, 23, 23, 36, 50, 38, 38, 29	xpsmul 17539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩)
52	42	mulridd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
53	41, 52	opeq12d 4824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ⟨(1 · 1), (𝑦 · 1)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
54	51, 53	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩) = ⟨1, 𝑦⟩)
55	54	eceq1d 8684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → [(⟨1, 𝑦⟩(.r‘𝑅)⟨1, 1⟩)] ∼ = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
56	49, 55	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
57	47, 56	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
58	1, 2, 3, 4, 5	pzriprnglem10 21470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → [⟨1, 1⟩] ∼ = (ℤ × {1}))
59	12, 12, 58	mp2an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [⟨1, 1⟩] ∼ = (ℤ × {1})
60	59	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼
61	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (ℤ × {1}) = [⟨1, 1⟩] ∼ )
62		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → 𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )
63	61, 62	oveq12d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
64	63, 62	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
65	62, 61	oveq12d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ))
66	65, 62	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋 ↔ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ))
67	64, 66	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → ((((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋) ↔ (([⟨1, 1⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 𝑦⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ ∧ ([⟨1, 𝑦⟩] ∼ (.r‘𝑄)[⟨1, 1⟩] ∼ ) = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ )))
68	57, 67	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = [⟨1, 𝑦⟩] ∼ → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
69	16, 68	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 = (ℤ × {𝑦}) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
70	11, 69	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋)))
71	70	rexlimiv 3131	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑋 ∈ {(ℤ × {𝑦})} → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))
72	10, 71	sylbi 217	1 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {csn 4567  ⟨cop 4573  ∪ ciun 4933   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  [cec 8641  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  ℤcz 12524  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221   /_s cqus 17469   ×_s cxps 17470  SubGrpcsubg 19096   ~_QG cqg 19098  Rngcrng 20133  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  2Idealc2idl 21247  ℤ_ringczring 21426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-imas 17472  df-qus 17473  df-xps 17474  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-eqg 19101  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-2idl 21248  df-cnfld 21353  df-zring 21427

This theorem is referenced by:  pzriprnglem13  21473  pzriprnglem14  21474