MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supsr 10188
Description: A nonempty, bounded set of signed reals has a supremum. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supsr ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supsr
Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4097 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢𝐴)
2 ltrelsr 10144 . . . . . . . . . . . . 13 <R ⊆ (R × R)
32brel 5338 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 <R 𝑥 → (𝑦R𝑥R))
43simpld 488 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 <R 𝑥𝑦R)
54ralimi 3099 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∀𝑦𝐴 𝑦R)
6 dfss3 3752 . . . . . . . . . 10 (𝐴R ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦R)
75, 6sylibr 225 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥𝐴R)
87sseld 3762 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢𝐴𝑢R))
98rexlimivw 3176 . . . . . . 7 (∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢𝐴𝑢R))
109impcom 396 . . . . . 6 ((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → 𝑢R)
11 eleq1 2832 . . . . . . . . 9 (𝑢 = if(𝑢R, 𝑢, 1R) → (𝑢𝐴 ↔ if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴))
1211anbi1d 623 . . . . . . . 8 (𝑢 = if(𝑢R, 𝑢, 1R) → ((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) ↔ (if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥)))
1312imbi1d 332 . . . . . . 7 (𝑢 = if(𝑢R, 𝑢, 1R) → (((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))) ↔ ((if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))))
14 opeq1 4561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑤 → ⟨𝑣, 1P⟩ = ⟨𝑤, 1P⟩)
1514eceq1d 7988 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑤 → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R = [⟨𝑤, 1P⟩] ~R )
1615oveq2d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑤 → (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ))
1716eleq1d 2829 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑤 → ((if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
1817cbvabv 2890 . . . . . . . 8 {𝑣 ∣ (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑤 ∣ (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
19 1sr 10157 . . . . . . . . 9 1RR
2019elimel 4312 . . . . . . . 8 if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ R
2118, 20supsrlem 10187 . . . . . . 7 ((if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
2213, 21dedth 4301 . . . . . 6 (𝑢R → ((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
2310, 22mpcom 38 . . . . 5 ((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
2423ex 401 . . . 4 (𝑢𝐴 → (∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
2524exlimiv 2025 . . 3 (∃𝑢 𝑢𝐴 → (∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
261, 25sylbi 208 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
2726imp 395 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  {cab 2751  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3734  c0 4081  ifcif 4245  cop 4342   class class class wbr 4811  (class class class)co 6844  [cec 7947  1Pc1p 9937   ~R cer 9941  Rcnr 9942  1Rc1r 9944   +R cplr 9946   <R cltr 9948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-omul 7771  df-er 7949  df-ec 7951  df-qs 7955  df-ni 9949  df-pli 9950  df-mi 9951  df-lti 9952  df-plpq 9985  df-mpq 9986  df-ltpq 9987  df-enq 9988  df-nq 9989  df-erq 9990  df-plq 9991  df-mq 9992  df-1nq 9993  df-rq 9994  df-ltnq 9995  df-np 10058  df-1p 10059  df-plp 10060  df-mp 10061  df-ltp 10062  df-enr 10132  df-nr 10133  df-plr 10134  df-mr 10135  df-ltr 10136  df-0r 10137  df-1r 10138  df-m1r 10139
This theorem is referenced by:  axpre-sup  10245
  Copyright terms: Public domain W3C validator