Theorem supsr 11064

Description: A nonempty, bounded set of signed reals has a supremum. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
supsr	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supsr

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4303	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴)
2		ltrelsr 11020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	2	brel 5708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → (𝑦 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R))
4	3	simpld 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → 𝑦 ∈ R)
5	4	ralimi 3098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
6		dfss3 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ R ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
7	5, 6	sylibr 236	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → 𝐴 ⊆ R)
8	7	sseld 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢 ∈ 𝐴 → 𝑢 ∈ R))
9	8	rexlimivw 3158	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢 ∈ 𝐴 → 𝑢 ∈ R))
10	9	impcom 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → 𝑢 ∈ R)
11		eleq1 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↔ if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴))
12	11	anbi1d 640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ↔ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)))
13	12	imbi1d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))) ↔ ((if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))))
14		opeq1 4828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ⟨𝑣, 1P⟩ = ⟨𝑤, 1P⟩)
15	14	eceq1d 8713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R = [⟨𝑤, 1P⟩] ~R )
16	15	oveq2d 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ))
17	16	eleq1d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
18	17	cbvabv 2831	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑣 ∣ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑤 ∣ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
19		1sr 11033	. . . . . . . . 9 ⊢ 1R ∈ R
20	19	elimel 4547	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ R
21	18, 20	supsrlem 11063	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
22	13, 21	dedth 4536	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ R → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
23	10, 22	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
24	23	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
25	24	exlimiv 1949	. . 3 ⊢ (∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
26	1, 25	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
27	26	imp 410	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  {cab 2739   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ifcif 4477  ⟨cop 4585   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  [cec 8670  1_Pc1p 10812   ~_R cer 10816  Rcnr 10817  1_Rc1r 10819   +_R cplr 10821   <_R cltr 10823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-oadd 8435  df-omul 8436  df-er 8672  df-ec 8674  df-qs 8678  df-ni 10824  df-pli 10825  df-mi 10826  df-lti 10827  df-plpq 10860  df-mpq 10861  df-ltpq 10862  df-enq 10863  df-nq 10864  df-erq 10865  df-plq 10866  df-mq 10867  df-1nq 10868  df-rq 10869  df-ltnq 10870  df-np 10933  df-1p 10934  df-plp 10935  df-mp 10936  df-ltp 10937  df-enr 11007  df-nr 11008  df-plr 11009  df-mr 11010  df-ltr 11011  df-0r 11012  df-1r 11013  df-m1r 11014

This theorem is referenced by:  axpre-sup  11121