Theorem supsr 11035

Description: A nonempty, bounded set of signed reals has a supremum. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
supsr	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supsr

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4307	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴)
2		ltrelsr 10991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	2	brel 5697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → (𝑦 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R))
4	3	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → 𝑦 ∈ R)
5	4	ralimi 3075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
6		dfss3 3924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ R ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → 𝐴 ⊆ R)
8	7	sseld 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢 ∈ 𝐴 → 𝑢 ∈ R))
9	8	rexlimivw 3135	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢 ∈ 𝐴 → 𝑢 ∈ R))
10	9	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → 𝑢 ∈ R)
11		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↔ if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴))
12	11	anbi1d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ↔ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)))
13	12	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))) ↔ ((if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))))
14		opeq1 4831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ⟨𝑣, 1P⟩ = ⟨𝑤, 1P⟩)
15	14	eceq1d 8686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R = [⟨𝑤, 1P⟩] ~R )
16	15	oveq2d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ))
17	16	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
18	17	cbvabv 2807	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑣 ∣ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑤 ∣ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
19		1sr 11004	. . . . . . . . 9 ⊢ 1R ∈ R
20	19	elimel 4551	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ R
21	18, 20	supsrlem 11034	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
22	13, 21	dedth 4540	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ R → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
23	10, 22	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
25	24	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
26	1, 25	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
27	26	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ifcif 4481  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  [cec 8643  1_Pc1p 10783   ~_R cer 10787  Rcnr 10788  1_Rc1r 10790   +_R cplr 10792   <_R cltr 10794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-ni 10795  df-pli 10796  df-mi 10797  df-lti 10798  df-plpq 10831  df-mpq 10832  df-ltpq 10833  df-enq 10834  df-nq 10835  df-erq 10836  df-plq 10837  df-mq 10838  df-1nq 10839  df-rq 10840  df-ltnq 10841  df-np 10904  df-1p 10905  df-plp 10906  df-mp 10907  df-ltp 10908  df-enr 10978  df-nr 10979  df-plr 10980  df-mr 10981  df-ltr 10982  df-0r 10983  df-1r 10984  df-m1r 10985

This theorem is referenced by:  axpre-sup  11092