Theorem supsr 11093

Description: A nonempty, bounded set of signed reals has a supremum. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
supsr	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supsr

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4314	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴)
2		ltrelsr 11049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	2	brel 5724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → (𝑦 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R))
4	3	simpld 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → 𝑦 ∈ R)
5	4	ralimi 3108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
6		dfss3 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ R ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
7	5, 6	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → 𝐴 ⊆ R)
8	7	sseld 3944	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢 ∈ 𝐴 → 𝑢 ∈ R))
9	8	rexlimivw 3168	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢 ∈ 𝐴 → 𝑢 ∈ R))
10	9	impcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → 𝑢 ∈ R)
11		eleq1 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↔ if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴))
12	11	anbi1d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ↔ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)))
13	12	imbi1d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))) ↔ ((if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))))
14		opeq1 4839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ⟨𝑣, 1P⟩ = ⟨𝑤, 1P⟩)
15	14	eceq1d 8731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R = [⟨𝑤, 1P⟩] ~R )
16	15	oveq2d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ))
17	16	eleq1d 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
18	17	cbvabv 2839	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑣 ∣ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑤 ∣ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
19		1sr 11062	. . . . . . . . 9 ⊢ 1R ∈ R
20	19	elimel 4559	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ R
21	18, 20	supsrlem 11092	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
22	13, 21	dedth 4548	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ R → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
23	10, 22	mpcom 39	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
24	23	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
25	24	exlimiv 1957	. . 3 ⊢ (∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
26	1, 25	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
27	26	imp 411	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  {cab 2747   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ifcif 4489  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  [cec 8688  1_Pc1p 10841   ~_R cer 10845  Rcnr 10846  1_Rc1r 10848   +_R cplr 10850   <_R cltr 10852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-ni 10853  df-pli 10854  df-mi 10855  df-lti 10856  df-plpq 10889  df-mpq 10890  df-ltpq 10891  df-enq 10892  df-nq 10893  df-erq 10894  df-plq 10895  df-mq 10896  df-1nq 10897  df-rq 10898  df-ltnq 10899  df-np 10962  df-1p 10963  df-plp 10964  df-mp 10965  df-ltp 10966  df-enr 11036  df-nr 11037  df-plr 11038  df-mr 11039  df-ltr 11040  df-0r 11041  df-1r 11042  df-m1r 11043

This theorem is referenced by:  axpre-sup  11150