Theorem supsr 11181

Description: A nonempty, bounded set of signed reals has a supremum. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
supsr	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supsr

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4376	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴)
2		ltrelsr 11137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	2	brel 5765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → (𝑦 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R))
4	3	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → 𝑦 ∈ R)
5	4	ralimi 3089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
6		dfss3 3997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ R ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → 𝐴 ⊆ R)
8	7	sseld 4007	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢 ∈ 𝐴 → 𝑢 ∈ R))
9	8	rexlimivw 3157	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢 ∈ 𝐴 → 𝑢 ∈ R))
10	9	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → 𝑢 ∈ R)
11		eleq1 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↔ if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴))
12	11	anbi1d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ↔ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)))
13	12	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))) ↔ ((if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))))
14		opeq1 4897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ⟨𝑣, 1P⟩ = ⟨𝑤, 1P⟩)
15	14	eceq1d 8803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R = [⟨𝑤, 1P⟩] ~R )
16	15	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ))
17	16	eleq1d 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
18	17	cbvabv 2815	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑣 ∣ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑤 ∣ (if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
19		1sr 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ 1R ∈ R
20	19	elimel 4617	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ R
21	18, 20	supsrlem 11180	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑢 ∈ R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
22	13, 21	dedth 4606	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ R → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
23	10, 22	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
25	24	exlimiv 1929	. . 3 ⊢ (∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
26	1, 25	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
27	26	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  {cab 2717   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ifcif 4548  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  [cec 8761  1_Pc1p 10929   ~_R cer 10933  Rcnr 10934  1_Rc1r 10936   +_R cplr 10938   <_R cltr 10940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-ni 10941  df-pli 10942  df-mi 10943  df-lti 10944  df-plpq 10977  df-mpq 10978  df-ltpq 10979  df-enq 10980  df-nq 10981  df-erq 10982  df-plq 10983  df-mq 10984  df-1nq 10985  df-rq 10986  df-ltnq 10987  df-np 11050  df-1p 11051  df-plp 11052  df-mp 11053  df-ltp 11054  df-enr 11124  df-nr 11125  df-plr 11126  df-mr 11127  df-ltr 11128  df-0r 11129  df-1r 11130  df-m1r 11131

This theorem is referenced by:  axpre-sup  11238