Theorem quscrng 21190

Description: The quotient of a commutative ring by an ideal is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quscrng.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
quscrng.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
quscrng	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ CRing)

Proof of Theorem quscrng

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20130	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝐼)
3		quscrng.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
4	3	crng2idl 21188	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (2Ideal‘𝑅))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝐼 = (2Ideal‘𝑅))
6	2, 5	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅))
7		quscrng.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
9	7, 8	qusring 21182	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑈 ∈ Ring)
10	1, 6, 9	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ Ring)
11	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
12		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
13		ovexd 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) ∈ V)
14	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
15	11, 12, 13, 14	qusbas 17449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = (Base‘𝑈))
16	15	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)))
17	15	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)))
18	16, 17	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈))))
19		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))
20		oveq2 7357	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → (𝑥(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = (𝑥(.r‘𝑈)𝑦))
21		oveq1 7356	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥))
22	20, 21	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → ((𝑥(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)𝑥) ↔ (𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥)))
23		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = (𝑥(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)))
24		oveq2 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)𝑥))
25	23, 24	eqeq12d 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → (([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ (𝑥(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)𝑥)))
26		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
28	26, 27	crngcom 20136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑣) = (𝑣(.r‘𝑅)𝑢))
29	28	ad4ant134 1175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑣) = (𝑣(.r‘𝑅)𝑢))
30	29	eceq1d 8665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → [(𝑢(.r‘𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆) = [(𝑣(.r‘𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
31		ringrng 20170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
32	1, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Rng)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Rng)
34	3	lidlsubg 21130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
35	1, 34	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
36	33, 6, 35	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
38		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑅))
39	38	anim1i 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)))
40		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
41		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘𝑈)
42	40, 7, 26, 27, 41	qusmulrng 21189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅))) → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑢(.r‘𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
43	37, 39, 42	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑢(.r‘𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
44	39	ancomd 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑣 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)))
45	40, 7, 26, 27, 41	qusmulrng 21189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅))) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.r‘𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
46	37, 44, 45	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.r‘𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
47	30, 43, 46	3eqtr4rd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)))
48	19, 25, 47	ectocld 8709	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)𝑥))
49	48	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)𝑥))
50	19, 22, 49	ectocld 8709	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥))
51	50	expl 457	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥)))
52	18, 51	sylbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥)))
53	52	ralrimivv 3170	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥))
54		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
55	54, 41	iscrng2 20137	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CRing ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥)))
56	10, 53, 55	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3436  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  [cec 8623   / cqs 8624  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162   /_s cqus 17409  SubGrpcsubg 18999   ~_QG cqg 19001  Rngcrng 20037  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119  LIdealclidl 21113  2Idealc2idl 21156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-0g 17345  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-subrg 20455  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-rsp 21116  df-2idl 21157

This theorem is referenced by:  zncrng2  21441  qsidomlem2  33390  qsfld  33435