Theorem quscrng 21630

Description: The quotient of a commutative ring by an ideal is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quscrng.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
quscrng.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
quscrng	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ CRing)

Proof of Theorem quscrng

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20523	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝐼)
3		quscrng.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
4	3	crng2idl 21627	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (2Ideal‘𝑅))
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝐼 = (2Ideal‘𝑅))
6	2, 5	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅))
7		quscrng.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
9	7, 8	qusring 21620	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑈 ∈ Ring)
10	1, 6, 9	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ Ring)
11	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
12		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
13		ovexd 7486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) ∈ V)
14	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
15	11, 12, 13, 14	qusbas 17767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = (Base‘𝑈))
16	15	eleq2d 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)))
17	15	eleq2d 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)))
18	16, 17	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈))))
19		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))
20		oveq2 7459	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → (𝑥(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = (𝑥(.r‘𝑈)𝑦))
21		oveq1 7458	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥))
22	20, 21	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → ((𝑥(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)𝑥) ↔ (𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥)))
23		oveq1 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = (𝑥(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)))
24		oveq2 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)𝑥))
25	23, 24	eqeq12d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → (([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ (𝑥(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)𝑥)))
26		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
28	26, 27	crngcom 20529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑣) = (𝑣(.r‘𝑅)𝑢))
29	28	ad4ant134 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑣) = (𝑣(.r‘𝑅)𝑢))
30	29	eceq1d 8796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → [(𝑢(.r‘𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆) = [(𝑣(.r‘𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
31		ringrng 20565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
32	1, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Rng)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Rng)
34	3	lidlsubg 21553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
35	1, 34	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
36	33, 6, 35	3jca 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
38		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑅))
39	38	anim1i 627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)))
40		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
41		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘𝑈)
42	40, 7, 26, 27, 41	qusmulrng 21629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅))) → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑢(.r‘𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
43	37, 39, 42	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑢(.r‘𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
44	39	ancomd 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑣 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)))
45	40, 7, 26, 27, 41	qusmulrng 21629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅))) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.r‘𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
46	37, 44, 45	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.r‘𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
47	30, 43, 46	3eqtr4rd 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)))
48	19, 25, 47	ectocld 8841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)𝑥))
49	48	an32s 665	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)𝑥))
50	19, 22, 49	ectocld 8841	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥))
51	50	expl 463	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥)))
52	18, 51	sylbird 263	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥)))
53	52	ralrimivv 3207	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥))
54		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
55	54, 41	iscrng2 20530	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CRing ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑈)𝑥)))
56	10, 53, 55	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ CRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  [cec 8753   / cqs 8754  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473   /_s cqus 17727  SubGrpcsubg 19380   ~_QG cqg 19382  Rngcrng 20425  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511  LIdealclidl 21535  2Idealc2idl 21593

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-0g 17662  df-imas 17730  df-qus 17731  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-nsg 19384  df-eqg 19385  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-lidl 21537  df-rsp 21538  df-2idl 21594

This theorem is used by:  qsidomlem2  21688  zncrng2  21895  qsfld  34126