MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quscrng Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem quscrng 20870
Description: The quotient of a commutative ring by an ideal is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quscrng.u π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
quscrng.i 𝐼 = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
quscrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
Proof of Theorem quscrng
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 20061 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 simpr 485 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝐼)
4 quscrng.i . . . . . 6 𝐼 = (LIdealβ€˜π‘…)
54crng2idl 20869 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…))
65adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…))
73, 6eleqtrd 2835 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
8 quscrng.u . . . 4 π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
9 eqid 2732 . . . 4 (2Idealβ€˜π‘…) = (2Idealβ€˜π‘…)
108, 9qusring 20865 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
112, 7, 10syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
128a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
13 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
14 ovexd 7440 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) ∈ V)
1512, 13, 14, 2qusbas 17487 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1615eleq2d 2819 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)))
1715eleq2d 2819 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)))
1816, 17anbi12d 631 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))))
19 eqid 2732 . . . . . 6 ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))
20 oveq2 7413 . . . . . . 7 ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦))
21 oveq1 7412 . . . . . . 7 ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 β†’ ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
2220, 21eqeq12d 2748 . . . . . 6 ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯) ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯)))
23 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = π‘₯ β†’ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)))
24 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = π‘₯ β†’ ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
2523, 24eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = π‘₯ β†’ (([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯)))
26 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
27 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2826, 27crngcom 20067 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑣) = (𝑣(.rβ€˜π‘…)𝑒))
2928ad4ant134 1174 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑣) = (𝑣(.rβ€˜π‘…)𝑒))
3029eceq1d 8738 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ [(𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆) = [(𝑣(.rβ€˜π‘…)𝑒)](𝑅 ~QG 𝑆))
314lidlsubg 20830 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
321, 31sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
33 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
3426, 33eqger 19052 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Baseβ€˜π‘…))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Baseβ€˜π‘…))
3626, 33, 9, 272idlcpbl 20863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Ž(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)))
372, 7, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Ž(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)))
3826, 27ringcl 20066 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
39383expb 1120 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
402, 39sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
41 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘ˆ) = (.rβ€˜π‘ˆ)
4212, 13, 35, 2, 37, 40, 27, 41qusmulval 17497 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
43423expa 1118 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
4412, 13, 35, 2, 37, 40, 27, 41qusmulval 17497 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.rβ€˜π‘…)𝑒)](𝑅 ~QG 𝑆))
45443expa 1118 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.rβ€˜π‘…)𝑒)](𝑅 ~QG 𝑆))
4645an32s 650 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.rβ€˜π‘…)𝑒)](𝑅 ~QG 𝑆))
4730, 43, 463eqtr4rd 2783 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)))
4819, 25, 47ectocld 8774 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
4948an32s 650 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
5019, 22, 49ectocld 8774 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
5150expl 458 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯)))
5218, 51sylbird 259 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯)))
5352ralrimivv 3198 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)(π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
54 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5554, 41iscrng2 20068 . 2 (π‘ˆ ∈ CRing ↔ (π‘ˆ ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)(π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯)))
5611, 53, 55sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   Er wer 8696  [cec 8697   / cqs 8698  Basecbs 17140  .rcmulr 17194   /s cqus 17447  SubGrpcsubg 18994   ~QG cqg 18996  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  LIdealclidl 20775  2Idealc2idl 20848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849
This theorem is referenced by:  zncrng2  21077  qsidomlem2  32560  qsfld  32600
  Copyright terms: Public domain W3C validator