MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quscrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quscrng 20001
Description: The quotient of a commutative ring by an ideal is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quscrng.u 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
quscrng.i 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
quscrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 ∈ CRing)

Proof of Theorem quscrng
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 19299 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
3 simpr 488 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆𝐼)
4 quscrng.i . . . . . 6 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
54crng2idl 20000 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (2Ideal‘𝑅))
65adantr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝐼 = (2Ideal‘𝑅))
73, 6eleqtrd 2918 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅))
8 quscrng.u . . . 4 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
9 eqid 2824 . . . 4 (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
108, 9qusring 19997 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑈 ∈ Ring)
112, 7, 10syl2anc 587 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 ∈ Ring)
128a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
13 eqidd 2825 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
14 ovexd 7175 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) ∈ V)
1512, 13, 14, 2qusbas 16809 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = (Base‘𝑈))
1615eleq2d 2901 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)))
1715eleq2d 2901 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)))
1816, 17anbi12d 633 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈))))
19 eqid 2824 . . . . . 6 ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))
20 oveq2 7148 . . . . . . 7 ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = (𝑥(.r𝑈)𝑦))
21 oveq1 7147 . . . . . . 7 ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥) = (𝑦(.r𝑈)𝑥))
2220, 21eqeq12d 2840 . . . . . 6 ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → ((𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥) ↔ (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥)))
23 oveq1 7147 . . . . . . . . 9 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)))
24 oveq2 7148 . . . . . . . . 9 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥))
2523, 24eqeq12d 2840 . . . . . . . 8 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → (([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥)))
26 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2826, 27crngcom 19303 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
2928ad4ant134 1171 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
3029eceq1d 8313 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → [(𝑢(.r𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆) = [(𝑣(.r𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
314lidlsubg 19976 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
321, 31sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
33 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
3426, 33eqger 18321 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
3626, 33, 9, 272idlcpbl 19995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
372, 7, 36syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
3826, 27ringcl 19302 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
39383expb 1117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
402, 39sylan 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
41 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑈) = (.r𝑈)
4212, 13, 35, 2, 37, 40, 27, 41qusmulval 16819 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑢(.r𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
43423expa 1115 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑢(.r𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
4412, 13, 35, 2, 37, 40, 27, 41qusmulval 16819 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.r𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
45443expa 1115 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.r𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
4645an32s 651 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.r𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
4730, 43, 463eqtr4rd 2870 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)))
4819, 25, 47ectocld 8349 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥))
4948an32s 651 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥))
5019, 22, 49ectocld 8349 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥))
5150expl 461 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥)))
5218, 51sylbird 263 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥)))
5352ralrimivv 3184 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥))
54 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5554, 41iscrng2 19304 . 2 (𝑈 ∈ CRing ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥)))
5611, 53, 55sylanbrc 586 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3132  Vcvv 3479   class class class wbr 5049  cfv 6338  (class class class)co 7140   Er wer 8271  [cec 8272   / cqs 8273  Basecbs 16474  .rcmulr 16557   /s cqus 16769  SubGrpcsubg 18264   ~QG cqg 18266  Ringcrg 19288  CRingccrg 19289  LIdealclidl 19930  2Idealc2idl 19992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-ec 8276  df-qs 8280  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-0g 16706  df-imas 16772  df-qus 16773  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-nsg 18268  df-eqg 18269  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19364  df-subrg 19521  df-lmod 19624  df-lss 19692  df-lsp 19732  df-sra 19932  df-rgmod 19933  df-lidl 19934  df-rsp 19935  df-2idl 19993
This theorem is referenced by:  zncrng2  20669  qsidomlem2  30989
  Copyright terms: Public domain W3C validator