MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quscrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quscrng 20710
Description: The quotient of a commutative ring by an ideal is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quscrng.u 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
quscrng.i 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
quscrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 ∈ CRing)

Proof of Theorem quscrng
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 19976 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
3 simpr 485 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆𝐼)
4 quscrng.i . . . . . 6 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
54crng2idl 20709 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (2Ideal‘𝑅))
65adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝐼 = (2Ideal‘𝑅))
73, 6eleqtrd 2840 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅))
8 quscrng.u . . . 4 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
9 eqid 2736 . . . 4 (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
108, 9qusring 20706 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑈 ∈ Ring)
112, 7, 10syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 ∈ Ring)
128a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
13 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
14 ovexd 7392 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) ∈ V)
1512, 13, 14, 2qusbas 17427 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = (Base‘𝑈))
1615eleq2d 2823 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)))
1715eleq2d 2823 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)))
1816, 17anbi12d 631 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈))))
19 eqid 2736 . . . . . 6 ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))
20 oveq2 7365 . . . . . . 7 ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = (𝑥(.r𝑈)𝑦))
21 oveq1 7364 . . . . . . 7 ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥) = (𝑦(.r𝑈)𝑥))
2220, 21eqeq12d 2752 . . . . . 6 ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → ((𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥) ↔ (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥)))
23 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)))
24 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥))
2523, 24eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → (([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥)))
26 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2826, 27crngcom 19982 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
2928ad4ant134 1174 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
3029eceq1d 8687 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → [(𝑢(.r𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆) = [(𝑣(.r𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
314lidlsubg 20685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
321, 31sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
33 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
3426, 33eqger 18980 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
3626, 33, 9, 272idlcpbl 20704 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
372, 7, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
3826, 27ringcl 19981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
39383expb 1120 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
402, 39sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
41 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑈) = (.r𝑈)
4212, 13, 35, 2, 37, 40, 27, 41qusmulval 17437 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑢(.r𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
43423expa 1118 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑢(.r𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
4412, 13, 35, 2, 37, 40, 27, 41qusmulval 17437 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.r𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
45443expa 1118 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.r𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
4645an32s 650 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.r𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
4730, 43, 463eqtr4rd 2787 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)))
4819, 25, 47ectocld 8723 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥))
4948an32s 650 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥))
5019, 22, 49ectocld 8723 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥))
5150expl 458 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥)))
5218, 51sylbird 259 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥)))
5352ralrimivv 3195 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥))
54 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5554, 41iscrng2 19983 . 2 (𝑈 ∈ CRing ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥)))
5611, 53, 55sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357   Er wer 8645  [cec 8646   / cqs 8647  Basecbs 17083  .rcmulr 17134   /s cqus 17387  SubGrpcsubg 18922   ~QG cqg 18924  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  LIdealclidl 20631  2Idealc2idl 20701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702
This theorem is referenced by:  zncrng2  20937  qsidomlem2  32226
  Copyright terms: Public domain W3C validator