MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quscrng Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem quscrng 20878
Description: The quotient of a commutative ring by an ideal is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quscrng.u π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
quscrng.i 𝐼 = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
quscrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
Proof of Theorem quscrng
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 20068 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 482 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 simpr 486 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝐼)
4 quscrng.i . . . . . 6 𝐼 = (LIdealβ€˜π‘…)
54crng2idl 20877 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…))
65adantr 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…))
73, 6eleqtrd 2836 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
8 quscrng.u . . . 4 π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
9 eqid 2733 . . . 4 (2Idealβ€˜π‘…) = (2Idealβ€˜π‘…)
108, 9qusring 20873 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
112, 7, 10syl2anc 585 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
128a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
13 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
14 ovexd 7444 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) ∈ V)
1512, 13, 14, 2qusbas 17491 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1615eleq2d 2820 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)))
1715eleq2d 2820 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)))
1816, 17anbi12d 632 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))))
19 eqid 2733 . . . . . 6 ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))
20 oveq2 7417 . . . . . . 7 ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦))
21 oveq1 7416 . . . . . . 7 ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 β†’ ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
2220, 21eqeq12d 2749 . . . . . 6 ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯) ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯)))
23 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = π‘₯ β†’ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)))
24 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = π‘₯ β†’ ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
2523, 24eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = π‘₯ β†’ (([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯)))
26 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
27 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2826, 27crngcom 20074 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑣) = (𝑣(.rβ€˜π‘…)𝑒))
2928ad4ant134 1175 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑣) = (𝑣(.rβ€˜π‘…)𝑒))
3029eceq1d 8742 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ [(𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆) = [(𝑣(.rβ€˜π‘…)𝑒)](𝑅 ~QG 𝑆))
314lidlsubg 20838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
321, 31sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
33 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
3426, 33eqger 19058 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Baseβ€˜π‘…))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Baseβ€˜π‘…))
3626, 33, 9, 272idlcpbl 20871 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Ž(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)))
372, 7, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Ž(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)))
3826, 27ringcl 20073 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
39383expb 1121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
402, 39sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
41 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘ˆ) = (.rβ€˜π‘ˆ)
4212, 13, 35, 2, 37, 40, 27, 41qusmulval 17501 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
43423expa 1119 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑒(.rβ€˜π‘…)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
4412, 13, 35, 2, 37, 40, 27, 41qusmulval 17501 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.rβ€˜π‘…)𝑒)](𝑅 ~QG 𝑆))
45443expa 1119 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.rβ€˜π‘…)𝑒)](𝑅 ~QG 𝑆))
4645an32s 651 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.rβ€˜π‘…)𝑒)](𝑅 ~QG 𝑆))
4730, 43, 463eqtr4rd 2784 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)))
4819, 25, 47ectocld 8778 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
4948an32s 651 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)[𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑒](𝑅 ~QG 𝑆)(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
5019, 22, 49ectocld 8778 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
5150expl 459 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑆))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯)))
5218, 51sylbird 260 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯)))
5352ralrimivv 3199 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)(π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
54 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5554, 41iscrng2 20075 . 2 (π‘ˆ ∈ CRing ↔ (π‘ˆ ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)(π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘ˆ)π‘₯)))
5611, 53, 55sylanbrc 584 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   Er wer 8700  [cec 8701   / cqs 8702  Basecbs 17144  .rcmulr 17198   /s cqus 17451  SubGrpcsubg 19000   ~QG cqg 19002  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  LIdealclidl 20783  2Idealc2idl 20856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857
This theorem is referenced by:  zncrng2  21086  qsidomlem2  32603  qsfld  32643
  Copyright terms: Public domain W3C validator