Theorem vrgpinv 19735

Description: The inverse of a generating element is represented by ⟨𝐴, 1⟩ instead of ⟨𝐴, 0⟩. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vrgpfval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
vrgpfval.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
vrgpf.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vrgpinv	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] ∼ )

Proof of Theorem vrgpinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vrgpfval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2		vrgpfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
3	1, 2	vrgpval 19733	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
4	3	fveq2d 6831	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
5		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐼)
6		0ex 5229	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	prid1 4694	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
8		df2o3 8403	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
9	7, 8	eleqtrri 2838	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
10		opelxpi 5655	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
11	5, 9, 10	sylancl 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
12	11	s1cld 14557	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
13		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14		2on 8408	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
15		xpexg 7693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
17		wrdexg 14477	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
18		fvi 6903	. . . . 5 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
20	12, 19	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
21		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
22		vrgpf.m	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
23		vrgpinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
24		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)
25	21, 22, 1, 23, 24	frgpinv 19730	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ )
26	20, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ )
27		revs1 14718	. . . . . 6 ⊢ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
29	28	coeq2d 5804	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
30	24	efgmf 19679	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
31		s1co 14786	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
32	11, 30, 31	sylancl 592	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
33	24	efgmval 19678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩)
34	5, 9, 33	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩)
35		df-ov 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)∅) = ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)
36		dif0 4306	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
37	36	opeq2i 4808	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐴, 1o⟩
38	34, 35, 37	3eqtr3g 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩) = ⟨𝐴, 1o⟩)
39	38	s1eqd 14555	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩)
40	29, 32, 39	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩)
41	40	eceq1d 8674	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] ∼ )
42	4, 26, 41	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880  ∅c0 4261  {cpr 4557  ⟨cop 4561   I cid 5512   × cxp 5616   ∘ ccom 5622  Oncon0 6310  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389  [cec 8631  Word cword 14466  ⟨“cs1 14549  reversecreverse 14711  inv_gcminusg 18901   ~_FG cefg 19672  freeGrpcfrgp 19673  var_FGrpcvrgp 19674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14703  df-reverse 14712  df-s2 14801  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-0g 17395  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-frmd 18808  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-efg 19675  df-frgp 19676  df-vrgp 19677

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19743