Theorem vrgpinv 19699

Description: The inverse of a generating element is represented by ⟨𝐴, 1⟩ instead of ⟨𝐴, 0⟩. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vrgpfval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
vrgpfval.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
vrgpf.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vrgpinv	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] ∼ )

Proof of Theorem vrgpinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vrgpfval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2		vrgpfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
3	1, 2	vrgpval 19697	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
4	3	fveq2d 6862	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐼)
6		0ex 5262	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	prid1 4726	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
8		df2o3 8442	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
9	7, 8	eleqtrri 2827	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
10		opelxpi 5675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
11	5, 9, 10	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
12	11	s1cld 14568	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
13		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14		2on 8447	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
15		xpexg 7726	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
17		wrdexg 14489	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
18		fvi 6937	. . . . 5 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
20	12, 19	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
21		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
22		vrgpf.m	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
23		vrgpinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
24		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)
25	21, 22, 1, 23, 24	frgpinv 19694	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ )
26	20, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ )
27		revs1 14730	. . . . . 6 ⊢ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
29	28	coeq2d 5826	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
30	24	efgmf 19643	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
31		s1co 14799	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
32	11, 30, 31	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
33	24	efgmval 19642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩)
34	5, 9, 33	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩)
35		df-ov 7390	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)∅) = ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)
36		dif0 4341	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
37	36	opeq2i 4841	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐴, 1o⟩
38	34, 35, 37	3eqtr3g 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩) = ⟨𝐴, 1o⟩)
39	38	s1eqd 14566	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩)
40	29, 32, 39	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩)
41	40	eceq1d 8711	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] ∼ )
42	4, 26, 41	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911  ∅c0 4296  {cpr 4591  ⟨cop 4595   I cid 5532   × cxp 5636   ∘ ccom 5642  Oncon0 6332  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428  [cec 8669  Word cword 14478  ⟨“cs1 14560  reversecreverse 14723  inv_gcminusg 18866   ~_FG cefg 19636  freeGrpcfrgp 19637  var_FGrpcvrgp 19638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-lsw 14528  df-concat 14536  df-s1 14561  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-splice 14715  df-reverse 14724  df-s2 14814  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-0g 17404  df-imas 17471  df-qus 17472  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-frmd 18776  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-efg 19639  df-frgp 19640  df-vrgp 19641

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19707