Theorem vrgpinv 18658

Description: The inverse of a generating element is represented by ⟨𝐴, 1⟩ instead of ⟨𝐴, 0⟩. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vrgpfval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
vrgpfval.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
vrgpf.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vrgpinv	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] ∼ )

Proof of Theorem vrgpinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vrgpfval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2		vrgpfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
3	1, 2	vrgpval 18656	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
4	3	fveq2d 6505	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
5		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐼)
6		0ex 5069	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	prid1 4573	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
8		df2o3 7921	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
9	7, 8	eleqtrri 2865	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
10		opelxpi 5445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
11	5, 9, 10	sylancl 577	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
12	11	s1cld 13769	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
13		simpl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14		2on 7916	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
15		xpexg 7292	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 577	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
17		wrdexg 13685	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
18		fvi 6570	. . . . 5 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
20	12, 19	eleqtrrd 2869	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
21		eqid 2778	. . . 4 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
22		vrgpf.m	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
23		vrgpinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
24		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)
25	21, 22, 1, 23, 24	frgpinv 18653	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ )
26	20, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ )
27		revs1 13987	. . . . . 6 ⊢ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
29	28	coeq2d 5584	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
30	24	efgmf 18600	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
31		s1co 14060	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
32	11, 30, 31	sylancl 577	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
33	24	efgmval 18599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩)
34	5, 9, 33	sylancl 577	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩)
35		df-ov 6981	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)∅) = ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)
36		dif0 4220	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
37	36	opeq2i 4682	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐴, 1o⟩
38	34, 35, 37	3eqtr3g 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩) = ⟨𝐴, 1o⟩)
39	38	s1eqd 13767	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩)
40	29, 32, 39	3eqtrd 2818	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩)
41	40	eceq1d 8130	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] ∼ )
42	4, 26, 41	3eqtrd 2818	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3415   ∖ cdif 3828  ∅c0 4180  {cpr 4444  ⟨cop 4448   I cid 5312   × cxp 5406   ∘ ccom 5412  Oncon0 6031  ⟶wf 6186  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978   ∈ cmpo 6980  1_oc1o 7900  2_oc2o 7901  [cec 8089  Word cword 13675  ⟨“cs1 13761  reversecreverse 13980  inv_gcminusg 17895   ~_FG cefg 18593  freeGrpcfrgp 18594  var_FGrpcvrgp 18595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-ot 4451  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-er 8091  df-ec 8093  df-qs 8097  df-map 8210  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-inf 8704  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-xnn0 11783  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-hash 13509  df-word 13676  df-lsw 13729  df-concat 13737  df-s1 13762  df-substr 13807  df-pfx 13856  df-splice 13963  df-reverse 13981  df-s2 14075  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-0g 16574  df-imas 16640  df-qus 16641  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-frmd 17858  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-efg 18596  df-frgp 18597  df-vrgp 18598

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18666