Theorem vrgpinv 19902

Description: The inverse of a generating element is represented by ⟨𝐴, 1⟩ instead of ⟨𝐴, 0⟩. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vrgpfval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
vrgpfval.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
vrgpf.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vrgpinv	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] ∼ )

Proof of Theorem vrgpinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vrgpfval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2		vrgpfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
3	1, 2	vrgpval 19900	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
4	3	fveq2d 6886	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
5		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐼)
6		0ex 5268	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	prid1 4726	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
8		df2o3 8467	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
9	7, 8	eleqtrri 2861	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
10		opelxpi 5696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
11	5, 9, 10	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
12	11	s1cld 14674	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
13		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14		2on 8473	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
15		xpexg 7753	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
17		wrdexg 14593	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
18		fvi 6958	. . . . 5 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
19	16, 17, 18	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
20	12, 19	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
21		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
22		vrgpf.m	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
23		vrgpinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
24		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)
25	21, 22, 1, 23, 24	frgpinv 19897	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ )
26	20, 25	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ )
27		revs1 14838	. . . . . 6 ⊢ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
29	28	coeq2d 5846	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
30	24	efgmf 19846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
31		s1co 14908	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
32	11, 30, 31	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
33	24	efgmval 19845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩)
34	5, 9, 33	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩)
35		df-ov 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)∅) = ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)
36		dif0 4330	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
37	36	opeq2i 4840	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐴, 1o⟩
38	34, 35, 37	3eqtr3g 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩) = ⟨𝐴, 1o⟩)
39	38	s1eqd 14672	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩)
40	29, 32, 39	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩)
41	40	eceq1d 8741	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] ∼ )
42	4, 26, 41	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] ∼ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  ∅c0 4282  {cpr 4589  ⟨cop 4593   I cid 5553   × cxp 5657   ∘ ccom 5663  Oncon0 6361  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  1_oc1o 8452  2_oc2o 8453  [cec 8698  Word cword 14582  ⟨“cs1 14666  reversecreverse 14831  inv_gcminusg 19064   ~_FG cefg 19839  freeGrpcfrgp 19840  var_FGrpcvrgp 19841

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-lsw 14632  df-concat 14640  df-s1 14667  df-substr 14713  df-pfx 14745  df-splice 14823  df-reverse 14832  df-s2 14923  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-0g 17532  df-imas 17600  df-qus 17601  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-frmd 18964  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-efg 19842  df-frgp 19843  df-vrgp 19844

This theorem is used by:  frgpup3lem  19910