MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vrgpinv 19802
Description: The inverse of a generating element is represented by 𝐴, 1⟩ instead of 𝐴, 0⟩. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r = ( ~FG𝐼)
vrgpfval.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
vrgpf.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
vrgpinv ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘(𝑈𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] )

Proof of Theorem vrgpinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vrgpfval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
2 vrgpfval.u . . . 4 𝑈 = (varFGrp𝐼)
31, 2vrgpval 19800 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑈𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
43fveq2d 6911 . 2 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘(𝑈𝐴)) = (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ))
5 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐴𝐼)
6 0ex 5313 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
76prid1 4767 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1o}
8 df2o3 8513 . . . . . . 7 2o = {∅, 1o}
97, 8eleqtrri 2838 . . . . . 6 ∅ ∈ 2o
10 opelxpi 5726 . . . . . 6 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
115, 9, 10sylancl 586 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
1211s1cld 14638 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
13 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐼𝑉)
14 2on 8519 . . . . . 6 2o ∈ On
15 xpexg 7769 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
1613, 14, 15sylancl 586 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
17 wrdexg 14559 . . . . 5 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
18 fvi 6985 . . . . 5 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
1916, 17, 183syl 18 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
2012, 19eleqtrrd 2842 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
21 eqid 2735 . . . 4 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
22 vrgpf.m . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
23 vrgpinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
24 eqid 2735 . . . 4 (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩) = (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩)
2521, 22, 1, 23, 24frgpinv 19797 . . 3 (⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = [((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] )
2620, 25syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = [((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] )
27 revs1 14800 . . . . . 6 (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩
2827a1i 11 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
2928coeq2d 5876 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
3024efgmf 19746 . . . . 5 (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
31 s1co 14869 . . . . 5 ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ∧ (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
3211, 30, 31sylancl 586 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
3324efgmval 19745 . . . . . . 7 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → (𝐴(𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩)
345, 9, 33sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝐴(𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1o ∖ ∅)⟩)
35 df-ov 7434 . . . . . 6 (𝐴(𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩)∅) = ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)
36 dif0 4384 . . . . . . 7 (1o ∖ ∅) = 1o
3736opeq2i 4882 . . . . . 6 𝐴, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐴, 1o
3834, 35, 373eqtr3g 2798 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩) = ⟨𝐴, 1o⟩)
3938s1eqd 14636 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨“((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩)
4029, 32, 393eqtrd 2779 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩)
4140eceq1d 8784 . 2 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → [((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2o ↦ ⟨𝑥, (1o𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] )
424, 26, 413eqtrd 2779 1 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘(𝑈𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1o⟩”⟩] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  c0 4339  {cpr 4633  cop 4637   I cid 5582   × cxp 5687  ccom 5693  Oncon0 6386  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8498  2oc2o 8499  [cec 8742  Word cword 14549  ⟨“cs1 14630  reversecreverse 14793  invgcminusg 18965   ~FG cefg 19739  freeGrpcfrgp 19740  varFGrpcvrgp 19741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-frmd 18875  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-efg 19742  df-frgp 19743  df-vrgp 19744
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19810
  Copyright terms: Public domain W3C validator