MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusinv 18271
Description: Value of the group inverse operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusinv.v 𝑉 = (Base‘𝐺)
qusinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
qusinv.n 𝑁 = (invg𝐻)
Assertion
Ref Expression
qusinv ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qusinv
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 18242 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 subgrcl 18216 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4 qusinv.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝐺)
5 qusinv.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
64, 5grpinvcl 18083 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑉)
73, 6sylan 580 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑉)
8 qusgrp.h . . . . 5 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
9 eqid 2825 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10 eqid 2825 . . . . 5 (+g𝐻) = (+g𝐻)
118, 4, 9, 10qusadd 18269 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆))
127, 11mpd3an3 1455 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆))
13 eqid 2825 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
144, 9, 13, 5grprinv 18085 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
153, 14sylan 580 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
1615eceq1d 8321 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆) = [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆))
178, 13qus0 18270 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g𝐻))
1817adantr 481 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g𝐻))
1912, 16, 183eqtrd 2864 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g𝐻))
208qusgrp 18267 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
2120adantr 481 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐻 ∈ Grp)
22 eqid 2825 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
238, 4, 22quseccl 18268 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
248, 4, 22quseccl 18268 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝑉) → [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
257, 24syldan 591 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
26 eqid 2825 . . . 4 (0g𝐻) = (0g𝐻)
27 qusinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐻)
2822, 10, 26, 27grpinvid1 18086 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g𝐻)))
2921, 23, 25, 28syl3anc 1365 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g𝐻)))
3019, 29mpbird 258 1 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6351  (class class class)co 7151  [cec 8280  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705   /s cqus 16770  Grpcgrp 18035  invgcminusg 18036  SubGrpcsubg 18205  NrmSGrpcnsg 18206   ~QG cqg 18207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-ec 8284  df-qs 8288  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-0g 16707  df-imas 16773  df-qus 16774  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-subg 18208  df-nsg 18209  df-eqg 18210
This theorem is referenced by:  qussub  18272
  Copyright terms: Public domain W3C validator