Theorem qusinv 19106

Description: Value of the group inverse operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusinv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
qusinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
qusinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qusinv	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qusinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 19075	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 19048	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4		qusinv.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
5		qusinv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 18907	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑉)
7	3, 6	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑉)
8		qusgrp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
9		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
11	8, 4, 9, 10	qusadd 19104	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆))
12	7, 11	mpd3an3 1458	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆))
13		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	4, 9, 13, 5	grprinv 18910	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
15	3, 14	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
16	15	eceq1d 8738	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆) = [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆))
17	8, 13	qus0 19105	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g‘𝐻))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g‘𝐻))
19	12, 16, 18	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g‘𝐻))
20	8	qusgrp 19102	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐻 ∈ Grp)
22		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
23	8, 4, 22	quseccl 19103	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
24	8, 4, 22	quseccl 19103	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑉) → [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
25	7, 24	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
26		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
27		qusinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
28	22, 10, 26, 27	grpinvid1 18911	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g‘𝐻)))
29	21, 23, 25, 28	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g‘𝐻)))
30	19, 29	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  [cec 8697  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17384   /_s cqus 17450  Grpcgrp 18853  inv_gcminusg 18854  SubGrpcsubg 19037  NrmSGrpcnsg 19038   ~_QG cqg 19039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042

This theorem is referenced by:  qussub  19107  nsgmgclem  32991  nsgqusf1olem1  32993