Theorem qusinv 19102

Description: Value of the group inverse operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusinv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
qusinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
qusinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qusinv	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qusinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 19070	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 19044	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4		qusinv.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
5		qusinv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 18900	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑉)
7	3, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑉)
8		qusgrp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
9		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
11	8, 4, 9, 10	qusadd 19100	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆))
12	7, 11	mpd3an3 1464	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆))
13		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	4, 9, 13, 5	grprinv 18903	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
15	3, 14	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
16	15	eceq1d 8662	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆) = [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆))
17	8, 13	qus0 19101	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g‘𝐻))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g‘𝐻))
19	12, 16, 18	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g‘𝐻))
20	8	qusgrp 19098	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐻 ∈ Grp)
22		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
23	8, 4, 22	quseccl 19099	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
24	8, 4, 22	quseccl 19099	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑉) → [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
25	7, 24	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
26		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
27		qusinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
28	22, 10, 26, 27	grpinvid1 18904	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g‘𝐻)))
29	21, 23, 25, 28	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g‘𝐻)))
30	19, 29	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼‘𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  [cec 8620  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343   /_s cqus 17409  Grpcgrp 18846  inv_gcminusg 18847  SubGrpcsubg 19033  NrmSGrpcnsg 19034   ~_QG cqg 19035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-0g 17345  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-nsg 19037  df-eqg 19038

This theorem is referenced by:  qussub  19103  nsgmgclem  33376  nsgqusf1olem1  33378