MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2blem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2blem2 19491
Description: Lemma for sylow2b 19493. Left multiplication in a subgroup ๐ป is a group action on the set of all left cosets of ๐พ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
sylow2b.xf (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
sylow2b.h (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
sylow2b.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
sylow2b.a + = (+gโ€˜๐บ)
sylow2b.r โˆผ = (๐บ ~QG ๐พ)
sylow2b.m ยท = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ป, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
Assertion
Ref Expression
sylow2blem2 (๐œ‘ โ†’ ยท โˆˆ ((๐บ โ†พs ๐ป) GrpAct (๐‘‹ / โˆผ )))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐บ   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ, + ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ, โˆผ ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ป,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘‹,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sylow2blem2
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘  ๐‘ข ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2b.h . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2 eqid 2732 . . . . 5 (๐บ โ†พs ๐ป) = (๐บ โ†พs ๐ป)
32subggrp 19011 . . . 4 (๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐บ โ†พs ๐ป) โˆˆ Grp)
41, 3syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โ†พs ๐ป) โˆˆ Grp)
5 sylow2b.xf . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
6 pwfi 9180 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
75, 6sylib 217 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
8 sylow2b.k . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
9 sylow2b.x . . . . . . 7 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
10 sylow2b.r . . . . . . 7 โˆผ = (๐บ ~QG ๐พ)
119, 10eqger 19060 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ โˆผ Er ๐‘‹)
128, 11syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‹)
1312qsss 8774 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / โˆผ ) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹)
147, 13ssexd 5324 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆˆ V)
154, 14jca 512 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ โ†พs ๐ป) โˆˆ Grp โˆง (๐‘‹ / โˆผ ) โˆˆ V))
16 sylow2b.m . . . . . . 7 ยท = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ป, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
17 vex 3478 . . . . . . . . 9 ๐‘ฆ โˆˆ V
1817mptex 7227 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ฅ + ๐‘ง)) โˆˆ V
1918rnex 7905 . . . . . . 7 ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ฅ + ๐‘ง)) โˆˆ V
2016, 19fnmpoi 8058 . . . . . 6 ยท Fn (๐ป ร— (๐‘‹ / โˆผ ))
2120a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยท Fn (๐ป ร— (๐‘‹ / โˆผ )))
22 eqid 2732 . . . . . . . 8 (๐‘‹ / โˆผ ) = (๐‘‹ / โˆผ )
23 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 ([๐‘ ] โˆผ = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ข ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘ข ยท ๐‘ฃ))
2423eleq1d 2818 . . . . . . . 8 ([๐‘ ] โˆผ = ๐‘ฃ โ†’ ((๐‘ข ยท [๐‘ ] โˆผ ) โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โ†” (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )))
25 sylow2b.a . . . . . . . . . . 11 + = (+gโ€˜๐บ)
269, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 19490 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ข ยท [๐‘ ] โˆผ ) = [(๐‘ข + ๐‘ )] โˆผ )
2710ovexi 7445 . . . . . . . . . . 11 โˆผ โˆˆ V
28 subgrcl 19013 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
291, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
30293ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
319subgss 19009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐ป โŠ† ๐‘‹)
321, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โŠ† ๐‘‹)
3332sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹)
34333adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹)
35 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐‘‹)
369, 25grpcl 18829 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ข + ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‹)
3730, 34, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ข + ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‹)
38 ecelqsg 8768 . . . . . . . . . . 11 (( โˆผ โˆˆ V โˆง (๐‘ข + ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‹) โ†’ [(๐‘ข + ๐‘ )] โˆผ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ))
3927, 37, 38sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ [(๐‘ข + ๐‘ )] โˆผ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ))
4026, 39eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ข ยท [๐‘ ] โˆผ ) โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ))
41403expa 1118 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ป) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ข ยท [๐‘ ] โˆผ ) โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ))
4222, 24, 41ectocld 8780 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ป) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ))
4342ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ป) โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ))
4443ralrimiva 3146 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ))
45 ffnov 7537 . . . . 5 ( ยท :(๐ป ร— (๐‘‹ / โˆผ ))โŸถ(๐‘‹ / โˆผ ) โ†” ( ยท Fn (๐ป ร— (๐‘‹ / โˆผ )) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )))
4621, 44, 45sylanbrc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยท :(๐ป ร— (๐‘‹ / โˆผ ))โŸถ(๐‘‹ / โˆผ ))
472subgbas 19012 . . . . . . 7 (๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐ป = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)))
481, 47syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ป = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)))
4948xpeq1d 5705 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ป ร— (๐‘‹ / โˆผ )) = ((Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ร— (๐‘‹ / โˆผ )))
5049feq2d 6703 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ( ยท :(๐ป ร— (๐‘‹ / โˆผ ))โŸถ(๐‘‹ / โˆผ ) โ†” ยท :((Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ร— (๐‘‹ / โˆผ ))โŸถ(๐‘‹ / โˆผ )))
5146, 50mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยท :((Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ร— (๐‘‹ / โˆผ ))โŸถ(๐‘‹ / โˆผ ))
52 oveq2 7419 . . . . . . 7 ([๐‘ ] โˆผ = ๐‘ข โ†’ ((0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = ((0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ยท ๐‘ข))
53 id 22 . . . . . . 7 ([๐‘ ] โˆผ = ๐‘ข โ†’ [๐‘ ] โˆผ = ๐‘ข)
5452, 53eqeq12d 2748 . . . . . 6 ([๐‘ ] โˆผ = ๐‘ข โ†’ (((0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = [๐‘ ] โˆผ โ†” ((0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ยท ๐‘ข) = ๐‘ข))
55 oveq2 7419 . . . . . . . 8 ([๐‘ ] โˆผ = ๐‘ข โ†’ ((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = ((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท ๐‘ข))
56 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 ([๐‘ ] โˆผ = ๐‘ข โ†’ (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘ ยท ๐‘ข))
5756oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ([๐‘ ] โˆผ = ๐‘ข โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ )) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท ๐‘ข)))
5855, 57eqeq12d 2748 . . . . . . 7 ([๐‘ ] โˆผ = ๐‘ข โ†’ (((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ )) โ†” ((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท ๐‘ข) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท ๐‘ข))))
59582ralbidv 3218 . . . . . 6 ([๐‘ ] โˆผ = ๐‘ข โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ )) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท ๐‘ข) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท ๐‘ข))))
6054, 59anbi12d 631 . . . . 5 ([๐‘ ] โˆผ = ๐‘ข โ†’ ((((0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = [๐‘ ] โˆผ โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ ))) โ†” (((0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ยท ๐‘ข) = ๐‘ข โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท ๐‘ข) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท ๐‘ข)))))
61 simpl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐œ‘)
621adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
63 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
6463subg0cl 19016 . . . . . . . . 9 (๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ป)
6562, 64syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ป)
66 simpr 485 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐‘‹)
679, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 19490 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = [((0gโ€˜๐บ) + ๐‘ )] โˆผ )
6861, 65, 66, 67syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = [((0gโ€˜๐บ) + ๐‘ )] โˆผ )
692, 63subg0 19014 . . . . . . . . 9 (๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)))
7062, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)))
7170oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = ((0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ยท [๐‘ ] โˆผ ))
729, 25, 63grplid 18854 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + ๐‘ ) = ๐‘ )
7329, 72sylan 580 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + ๐‘ ) = ๐‘ )
7473eceq1d 8744 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ [((0gโ€˜๐บ) + ๐‘ )] โˆผ = [๐‘ ] โˆผ )
7568, 71, 743eqtr3d 2780 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = [๐‘ ] โˆผ )
7662adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ ๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
7776, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
7876, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ ๐ป โŠ† ๐‘‹)
79 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ป)
8078, 79sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘‹)
81 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ป)
8278, 81sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘‹)
8366adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐‘‹)
849, 25grpass 18830 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘ ) = (๐‘Ž + (๐‘ + ๐‘ )))
8577, 80, 82, 83, 84syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘ ) = (๐‘Ž + (๐‘ + ๐‘ )))
8685eceq1d 8744 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ [((๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘ )] โˆผ = [(๐‘Ž + (๐‘ + ๐‘ ))] โˆผ )
8761adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ ๐œ‘)
889, 25grpcl 18829 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ + ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‹)
8977, 82, 83, 88syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ (๐‘ + ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‹)
909, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 19490 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ + ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘Ž ยท [(๐‘ + ๐‘ )] โˆผ ) = [(๐‘Ž + (๐‘ + ๐‘ ))] โˆผ )
9187, 79, 89, 90syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ (๐‘Ž ยท [(๐‘ + ๐‘ )] โˆผ ) = [(๐‘Ž + (๐‘ + ๐‘ ))] โˆผ )
9286, 91eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ [((๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘ )] โˆผ = (๐‘Ž ยท [(๐‘ + ๐‘ )] โˆผ ))
9325subgcl 19018 . . . . . . . . . . 11 ((๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ ๐ป)
9476, 79, 81, 93syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ ๐ป)
959, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 19490 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = [((๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘ )] โˆผ )
9687, 94, 83, 95syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = [((๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘ )] โˆผ )
979, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 19490 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ ) = [(๐‘ + ๐‘ )] โˆผ )
9887, 81, 83, 97syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ ) = [(๐‘ + ๐‘ )] โˆผ )
9998oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ )) = (๐‘Ž ยท [(๐‘ + ๐‘ )] โˆผ ))
10092, 96, 993eqtr4d 2782 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ป)) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ )))
101100ralrimivva 3200 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ป ((๐‘Ž + ๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ )))
10262, 47syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ป = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)))
1032, 25ressplusg 17237 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ + = (+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)))
1041, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ + = (+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)))
105104oveqdr 7439 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) = (๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘))
106105oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = ((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ))
107106eqeq1d 2734 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((๐‘Ž + ๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ )) โ†” ((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ ))))
108102, 107raleqbidv 3342 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ป ((๐‘Ž + ๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ )) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ ))))
109102, 108raleqbidv 3342 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ป ((๐‘Ž + ๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ )) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ ))))
110101, 109mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ )))
11175, 110jca 512 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = [๐‘ ] โˆผ โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท [๐‘ ] โˆผ ) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท [๐‘ ] โˆผ ))))
11222, 60, 111ectocld 8780 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ (((0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ยท ๐‘ข) = ๐‘ข โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท ๐‘ข) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท ๐‘ข))))
113112ralrimiva 3146 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(((0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ยท ๐‘ข) = ๐‘ข โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท ๐‘ข) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท ๐‘ข))))
11451, 113jca 512 . 2 (๐œ‘ โ†’ ( ยท :((Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ร— (๐‘‹ / โˆผ ))โŸถ(๐‘‹ / โˆผ ) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(((0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ยท ๐‘ข) = ๐‘ข โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท ๐‘ข) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท ๐‘ข)))))
115 eqid 2732 . . 3 (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))
116 eqid 2732 . . 3 (+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) = (+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))
117 eqid 2732 . . 3 (0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) = (0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))
118115, 116, 117isga 19157 . 2 ( ยท โˆˆ ((๐บ โ†พs ๐ป) GrpAct (๐‘‹ / โˆผ )) โ†” (((๐บ โ†พs ๐ป) โˆˆ Grp โˆง (๐‘‹ / โˆผ ) โˆˆ V) โˆง ( ยท :((Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ร— (๐‘‹ / โˆผ ))โŸถ(๐‘‹ / โˆผ ) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(((0gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) ยท ๐‘ข) = ๐‘ข โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))((๐‘Ž(+gโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))๐‘) ยท ๐‘ข) = (๐‘Ž ยท (๐‘ ยท ๐‘ข))))))
11915, 114, 118sylanbrc 583 1 (๐œ‘ โ†’ ยท โˆˆ ((๐บ โ†พs ๐ป) GrpAct (๐‘‹ / โˆผ )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  ๐’ซ cpw 4602   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  ran crn 5677   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413   Er wer 8702  [cec 8703   / cqs 8704  Fincfn 8941  Basecbs 17146   โ†พs cress 17175  +gcplusg 17199  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821  SubGrpcsubg 19002   ~QG cqg 19004   GrpAct cga 19155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-eqg 19007  df-ga 19156
This theorem is referenced by:  sylow2blem3  19492
  Copyright terms: Public domain W3C validator