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Theorem sylow2blem2 18741
Description: Lemma for sylow2b 18743. Left multiplication in a subgroup 𝐻 is a group action on the set of all left cosets of 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2b.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow2b.h (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
sylow2b.k (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
sylow2b.a + = (+g𝐺)
sylow2b.r = (𝐺 ~QG 𝐾)
sylow2b.m · = (𝑥𝐻, 𝑦 ∈ (𝑋 / ) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
Assertion
Ref Expression
sylow2blem2 (𝜑· ∈ ((𝐺s 𝐻) GrpAct (𝑋 / )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐺   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥, · ,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow2blem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2b.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 eqid 2801 . . . . 5 (𝐺s 𝐻) = (𝐺s 𝐻)
32subggrp 18277 . . . 4 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝐻) ∈ Grp)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺s 𝐻) ∈ Grp)
5 sylow2b.xf . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6 pwfi 8807 . . . . 5 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
75, 6sylib 221 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
8 sylow2b.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9 sylow2b.x . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
10 sylow2b.r . . . . . . 7 = (𝐺 ~QG 𝐾)
119, 10eqger 18325 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
128, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 Er 𝑋)
1312qsss 8345 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 / ) ⊆ 𝒫 𝑋)
147, 13ssexd 5195 . . 3 (𝜑 → (𝑋 / ) ∈ V)
154, 14jca 515 . 2 (𝜑 → ((𝐺s 𝐻) ∈ Grp ∧ (𝑋 / ) ∈ V))
16 sylow2b.m . . . . . . 7 · = (𝑥𝐻, 𝑦 ∈ (𝑋 / ) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
17 vex 3447 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
1817mptex 6967 . . . . . . . 8 (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ V
1918rnex 7603 . . . . . . 7 ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ V
2016, 19fnmpoi 7754 . . . . . 6 · Fn (𝐻 × (𝑋 / ))
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑· Fn (𝐻 × (𝑋 / )))
22 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑋 / ) = (𝑋 / )
23 oveq2 7147 . . . . . . . . 9 ([𝑠] = 𝑣 → (𝑢 · [𝑠] ) = (𝑢 · 𝑣))
2423eleq1d 2877 . . . . . . . 8 ([𝑠] = 𝑣 → ((𝑢 · [𝑠] ) ∈ (𝑋 / ) ↔ (𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑋 / )))
25 sylow2b.a . . . . . . . . . . 11 + = (+g𝐺)
269, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 18740 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → (𝑢 · [𝑠] ) = [(𝑢 + 𝑠)] )
2710ovexi 7173 . . . . . . . . . . 11 ∈ V
28 subgrcl 18279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
291, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
30293ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
319subgss 18275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
321, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻𝑋)
3332sselda 3918 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝐻) → 𝑢𝑋)
34333adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → 𝑢𝑋)
35 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → 𝑠𝑋)
369, 25grpcl 18106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋𝑠𝑋) → (𝑢 + 𝑠) ∈ 𝑋)
3730, 34, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → (𝑢 + 𝑠) ∈ 𝑋)
38 ecelqsg 8339 . . . . . . . . . . 11 (( ∈ V ∧ (𝑢 + 𝑠) ∈ 𝑋) → [(𝑢 + 𝑠)] ∈ (𝑋 / ))
3927, 37, 38sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → [(𝑢 + 𝑠)] ∈ (𝑋 / ))
4026, 39eqeltrd 2893 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → (𝑢 · [𝑠] ) ∈ (𝑋 / ))
41403expa 1115 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝐻) ∧ 𝑠𝑋) → (𝑢 · [𝑠] ) ∈ (𝑋 / ))
4222, 24, 41ectocld 8351 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 / )) → (𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑋 / ))
4342ralrimiva 3152 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐻) → ∀𝑣 ∈ (𝑋 / )(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑋 / ))
4443ralrimiva 3152 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑢𝐻𝑣 ∈ (𝑋 / )(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑋 / ))
45 ffnov 7261 . . . . 5 ( · :(𝐻 × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / ) ↔ ( · Fn (𝐻 × (𝑋 / )) ∧ ∀𝑢𝐻𝑣 ∈ (𝑋 / )(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑋 / )))
4621, 44, 45sylanbrc 586 . . . 4 (𝜑· :(𝐻 × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / ))
472subgbas 18278 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 = (Base‘(𝐺s 𝐻)))
481, 47syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (Base‘(𝐺s 𝐻)))
4948xpeq1d 5552 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 × (𝑋 / )) = ((Base‘(𝐺s 𝐻)) × (𝑋 / )))
5049feq2d 6477 . . . 4 (𝜑 → ( · :(𝐻 × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / ) ↔ · :((Base‘(𝐺s 𝐻)) × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / )))
5146, 50mpbid 235 . . 3 (𝜑· :((Base‘(𝐺s 𝐻)) × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / ))
52 oveq2 7147 . . . . . . 7 ([𝑠] = 𝑢 → ((0g‘(𝐺s 𝐻)) · [𝑠] ) = ((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢))
53 id 22 . . . . . . 7 ([𝑠] = 𝑢 → [𝑠] = 𝑢)
5452, 53eqeq12d 2817 . . . . . 6 ([𝑠] = 𝑢 → (((0g‘(𝐺s 𝐻)) · [𝑠] ) = [𝑠] ↔ ((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢) = 𝑢))
55 oveq2 7147 . . . . . . . 8 ([𝑠] = 𝑢 → ((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = ((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢))
56 oveq2 7147 . . . . . . . . 9 ([𝑠] = 𝑢 → (𝑏 · [𝑠] ) = (𝑏 · 𝑢))
5756oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ([𝑠] = 𝑢 → (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢)))
5855, 57eqeq12d 2817 . . . . . . 7 ([𝑠] = 𝑢 → (((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) ↔ ((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢))))
59582ralbidv 3167 . . . . . 6 ([𝑠] = 𝑢 → (∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢))))
6054, 59anbi12d 633 . . . . 5 ([𝑠] = 𝑢 → ((((0g‘(𝐺s 𝐻)) · [𝑠] ) = [𝑠] ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] ))) ↔ (((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢) = 𝑢 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢)))))
61 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝜑)
621adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
63 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
6463subg0cl 18282 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
6562, 64syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
66 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝑠𝑋)
679, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 18740 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐻𝑠𝑋) → ((0g𝐺) · [𝑠] ) = [((0g𝐺) + 𝑠)] )
6861, 65, 66, 67syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑋) → ((0g𝐺) · [𝑠] ) = [((0g𝐺) + 𝑠)] )
692, 63subg0 18280 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g‘(𝐺s 𝐻)))
7062, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → (0g𝐺) = (0g‘(𝐺s 𝐻)))
7170oveq1d 7154 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑋) → ((0g𝐺) · [𝑠] ) = ((0g‘(𝐺s 𝐻)) · [𝑠] ))
729, 25, 63grplid 18128 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑠) = 𝑠)
7329, 72sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑠) = 𝑠)
7473eceq1d 8315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑋) → [((0g𝐺) + 𝑠)] = [𝑠] )
7568, 71, 743eqtr3d 2844 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑋) → ((0g‘(𝐺s 𝐻)) · [𝑠] ) = [𝑠] )
7662adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7776, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
7876, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝐻𝑋)
79 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝑎𝐻)
8078, 79sseldd 3919 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝑎𝑋)
81 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝑏𝐻)
8278, 81sseldd 3919 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝑏𝑋)
8366adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝑠𝑋)
849, 25grpass 18107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋𝑠𝑋)) → ((𝑎 + 𝑏) + 𝑠) = (𝑎 + (𝑏 + 𝑠)))
8577, 80, 82, 83, 84syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → ((𝑎 + 𝑏) + 𝑠) = (𝑎 + (𝑏 + 𝑠)))
8685eceq1d 8315 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → [((𝑎 + 𝑏) + 𝑠)] = [(𝑎 + (𝑏 + 𝑠))] )
8761adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝜑)
889, 25grpcl 18106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏𝑋𝑠𝑋) → (𝑏 + 𝑠) ∈ 𝑋)
8977, 82, 83, 88syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → (𝑏 + 𝑠) ∈ 𝑋)
909, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 18740 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐻 ∧ (𝑏 + 𝑠) ∈ 𝑋) → (𝑎 · [(𝑏 + 𝑠)] ) = [(𝑎 + (𝑏 + 𝑠))] )
9187, 79, 89, 90syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → (𝑎 · [(𝑏 + 𝑠)] ) = [(𝑎 + (𝑏 + 𝑠))] )
9286, 91eqtr4d 2839 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → [((𝑎 + 𝑏) + 𝑠)] = (𝑎 · [(𝑏 + 𝑠)] ))
9325subgcl 18284 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎𝐻𝑏𝐻) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐻)
9476, 79, 81, 93syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐻)
959, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 18740 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐻𝑠𝑋) → ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = [((𝑎 + 𝑏) + 𝑠)] )
9687, 94, 83, 95syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = [((𝑎 + 𝑏) + 𝑠)] )
979, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 18740 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐻𝑠𝑋) → (𝑏 · [𝑠] ) = [(𝑏 + 𝑠)] )
9887, 81, 83, 97syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → (𝑏 · [𝑠] ) = [(𝑏 + 𝑠)] )
9998oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) = (𝑎 · [(𝑏 + 𝑠)] ))
10092, 96, 993eqtr4d 2846 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )))
101100ralrimivva 3159 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑋) → ∀𝑎𝐻𝑏𝐻 ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )))
10262, 47syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝐻 = (Base‘(𝐺s 𝐻)))
1032, 25ressplusg 16607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → + = (+g‘(𝐺s 𝐻)))
1041, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑+ = (+g‘(𝐺s 𝐻)))
105104oveqdr 7167 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏))
106105oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = ((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ))
107106eqeq1d 2803 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑋) → (((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) ↔ ((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] ))))
108102, 107raleqbidv 3357 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → (∀𝑏𝐻 ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) ↔ ∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] ))))
109102, 108raleqbidv 3357 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑋) → (∀𝑎𝐻𝑏𝐻 ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] ))))
110101, 109mpbid 235 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑋) → ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )))
11175, 110jca 515 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑋) → (((0g‘(𝐺s 𝐻)) · [𝑠] ) = [𝑠] ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] ))))
11222, 60, 111ectocld 8351 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑋 / )) → (((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢) = 𝑢 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢))))
113112ralrimiva 3152 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑋 / )(((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢) = 𝑢 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢))))
11451, 113jca 515 . 2 (𝜑 → ( · :((Base‘(𝐺s 𝐻)) × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / ) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋 / )(((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢) = 𝑢 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢)))))
115 eqid 2801 . . 3 (Base‘(𝐺s 𝐻)) = (Base‘(𝐺s 𝐻))
116 eqid 2801 . . 3 (+g‘(𝐺s 𝐻)) = (+g‘(𝐺s 𝐻))
117 eqid 2801 . . 3 (0g‘(𝐺s 𝐻)) = (0g‘(𝐺s 𝐻))
118115, 116, 117isga 18416 . 2 ( · ∈ ((𝐺s 𝐻) GrpAct (𝑋 / )) ↔ (((𝐺s 𝐻) ∈ Grp ∧ (𝑋 / ) ∈ V) ∧ ( · :((Base‘(𝐺s 𝐻)) × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / ) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋 / )(((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢) = 𝑢 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢))))))
11915, 114, 118sylanbrc 586 1 (𝜑· ∈ ((𝐺s 𝐻) GrpAct (𝑋 / )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  Vcvv 3444  wss 3884  𝒫 cpw 4500  cmpt 5113   × cxp 5521  ran crn 5524   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cmpo 7141   Er wer 8273  [cec 8274   / cqs 8275  Fincfn 8496  Basecbs 16478  s cress 16479  +gcplusg 16560  0gc0g 16708  Grpcgrp 18098  SubGrpcsubg 18268   ~QG cqg 18270   GrpAct cga 18414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-eqg 18273  df-ga 18415
This theorem is referenced by:  sylow2blem3  18742
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