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Theorem sylow2blem2 19653
Description: Lemma for sylow2b 19655. Left multiplication in a subgroup 𝐻 is a group action on the set of all left cosets of 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2b.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow2b.h (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
sylow2b.k (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
sylow2b.a + = (+g𝐺)
sylow2b.r = (𝐺 ~QG 𝐾)
sylow2b.m · = (𝑥𝐻, 𝑦 ∈ (𝑋 / ) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
Assertion
Ref Expression
sylow2blem2 (𝜑· ∈ ((𝐺s 𝐻) GrpAct (𝑋 / )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐺   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥, · ,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow2blem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2b.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 eqid 2734 . . . . 5 (𝐺s 𝐻) = (𝐺s 𝐻)
32subggrp 19159 . . . 4 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝐻) ∈ Grp)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺s 𝐻) ∈ Grp)
5 sylow2b.xf . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6 pwfi 9354 . . . . 5 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
75, 6sylib 218 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
8 sylow2b.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9 sylow2b.x . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
10 sylow2b.r . . . . . . 7 = (𝐺 ~QG 𝐾)
119, 10eqger 19208 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
128, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 Er 𝑋)
1312qsss 8816 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 / ) ⊆ 𝒫 𝑋)
147, 13ssexd 5329 . . 3 (𝜑 → (𝑋 / ) ∈ V)
154, 14jca 511 . 2 (𝜑 → ((𝐺s 𝐻) ∈ Grp ∧ (𝑋 / ) ∈ V))
16 sylow2b.m . . . . . . 7 · = (𝑥𝐻, 𝑦 ∈ (𝑋 / ) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
17 vex 3481 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
1817mptex 7242 . . . . . . . 8 (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ V
1918rnex 7932 . . . . . . 7 ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ V
2016, 19fnmpoi 8093 . . . . . 6 · Fn (𝐻 × (𝑋 / ))
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑· Fn (𝐻 × (𝑋 / )))
22 eqid 2734 . . . . . . . 8 (𝑋 / ) = (𝑋 / )
23 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 ([𝑠] = 𝑣 → (𝑢 · [𝑠] ) = (𝑢 · 𝑣))
2423eleq1d 2823 . . . . . . . 8 ([𝑠] = 𝑣 → ((𝑢 · [𝑠] ) ∈ (𝑋 / ) ↔ (𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑋 / )))
25 sylow2b.a . . . . . . . . . . 11 + = (+g𝐺)
269, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 19652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → (𝑢 · [𝑠] ) = [(𝑢 + 𝑠)] )
2710ovexi 7464 . . . . . . . . . . 11 ∈ V
28 subgrcl 19161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
291, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
30293ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
319subgss 19157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
321, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻𝑋)
3332sselda 3994 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝐻) → 𝑢𝑋)
34333adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → 𝑢𝑋)
35 simp3 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → 𝑠𝑋)
369, 25grpcl 18971 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋𝑠𝑋) → (𝑢 + 𝑠) ∈ 𝑋)
3730, 34, 35, 36syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → (𝑢 + 𝑠) ∈ 𝑋)
38 ecelqsg 8810 . . . . . . . . . . 11 (( ∈ V ∧ (𝑢 + 𝑠) ∈ 𝑋) → [(𝑢 + 𝑠)] ∈ (𝑋 / ))
3927, 37, 38sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → [(𝑢 + 𝑠)] ∈ (𝑋 / ))
4026, 39eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐻𝑠𝑋) → (𝑢 · [𝑠] ) ∈ (𝑋 / ))
41403expa 1117 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝐻) ∧ 𝑠𝑋) → (𝑢 · [𝑠] ) ∈ (𝑋 / ))
4222, 24, 41ectocld 8822 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 / )) → (𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑋 / ))
4342ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐻) → ∀𝑣 ∈ (𝑋 / )(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑋 / ))
4443ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑢𝐻𝑣 ∈ (𝑋 / )(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑋 / ))
45 ffnov 7558 . . . . 5 ( · :(𝐻 × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / ) ↔ ( · Fn (𝐻 × (𝑋 / )) ∧ ∀𝑢𝐻𝑣 ∈ (𝑋 / )(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑋 / )))
4621, 44, 45sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑· :(𝐻 × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / ))
472subgbas 19160 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 = (Base‘(𝐺s 𝐻)))
481, 47syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (Base‘(𝐺s 𝐻)))
4948xpeq1d 5717 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 × (𝑋 / )) = ((Base‘(𝐺s 𝐻)) × (𝑋 / )))
5049feq2d 6722 . . . 4 (𝜑 → ( · :(𝐻 × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / ) ↔ · :((Base‘(𝐺s 𝐻)) × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / )))
5146, 50mpbid 232 . . 3 (𝜑· :((Base‘(𝐺s 𝐻)) × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / ))
52 oveq2 7438 . . . . . . 7 ([𝑠] = 𝑢 → ((0g‘(𝐺s 𝐻)) · [𝑠] ) = ((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢))
53 id 22 . . . . . . 7 ([𝑠] = 𝑢 → [𝑠] = 𝑢)
5452, 53eqeq12d 2750 . . . . . 6 ([𝑠] = 𝑢 → (((0g‘(𝐺s 𝐻)) · [𝑠] ) = [𝑠] ↔ ((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢) = 𝑢))
55 oveq2 7438 . . . . . . . 8 ([𝑠] = 𝑢 → ((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = ((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢))
56 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 ([𝑠] = 𝑢 → (𝑏 · [𝑠] ) = (𝑏 · 𝑢))
5756oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ([𝑠] = 𝑢 → (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢)))
5855, 57eqeq12d 2750 . . . . . . 7 ([𝑠] = 𝑢 → (((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) ↔ ((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢))))
59582ralbidv 3218 . . . . . 6 ([𝑠] = 𝑢 → (∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢))))
6054, 59anbi12d 632 . . . . 5 ([𝑠] = 𝑢 → ((((0g‘(𝐺s 𝐻)) · [𝑠] ) = [𝑠] ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] ))) ↔ (((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢) = 𝑢 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢)))))
61 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝜑)
621adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
63 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
6463subg0cl 19164 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
6562, 64syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
66 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝑠𝑋)
679, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 19652 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐻𝑠𝑋) → ((0g𝐺) · [𝑠] ) = [((0g𝐺) + 𝑠)] )
6861, 65, 66, 67syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑋) → ((0g𝐺) · [𝑠] ) = [((0g𝐺) + 𝑠)] )
692, 63subg0 19162 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g‘(𝐺s 𝐻)))
7062, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → (0g𝐺) = (0g‘(𝐺s 𝐻)))
7170oveq1d 7445 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑋) → ((0g𝐺) · [𝑠] ) = ((0g‘(𝐺s 𝐻)) · [𝑠] ))
729, 25, 63grplid 18997 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑠) = 𝑠)
7329, 72sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑠) = 𝑠)
7473eceq1d 8783 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑋) → [((0g𝐺) + 𝑠)] = [𝑠] )
7568, 71, 743eqtr3d 2782 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑋) → ((0g‘(𝐺s 𝐻)) · [𝑠] ) = [𝑠] )
7662adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7776, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
7876, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝐻𝑋)
79 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝑎𝐻)
8078, 79sseldd 3995 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝑎𝑋)
81 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝑏𝐻)
8278, 81sseldd 3995 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝑏𝑋)
8366adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝑠𝑋)
849, 25grpass 18972 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝑋𝑏𝑋𝑠𝑋)) → ((𝑎 + 𝑏) + 𝑠) = (𝑎 + (𝑏 + 𝑠)))
8577, 80, 82, 83, 84syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → ((𝑎 + 𝑏) + 𝑠) = (𝑎 + (𝑏 + 𝑠)))
8685eceq1d 8783 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → [((𝑎 + 𝑏) + 𝑠)] = [(𝑎 + (𝑏 + 𝑠))] )
8761adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → 𝜑)
889, 25grpcl 18971 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏𝑋𝑠𝑋) → (𝑏 + 𝑠) ∈ 𝑋)
8977, 82, 83, 88syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → (𝑏 + 𝑠) ∈ 𝑋)
909, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 19652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐻 ∧ (𝑏 + 𝑠) ∈ 𝑋) → (𝑎 · [(𝑏 + 𝑠)] ) = [(𝑎 + (𝑏 + 𝑠))] )
9187, 79, 89, 90syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → (𝑎 · [(𝑏 + 𝑠)] ) = [(𝑎 + (𝑏 + 𝑠))] )
9286, 91eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → [((𝑎 + 𝑏) + 𝑠)] = (𝑎 · [(𝑏 + 𝑠)] ))
9325subgcl 19166 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎𝐻𝑏𝐻) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐻)
9476, 79, 81, 93syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐻)
959, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 19652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐻𝑠𝑋) → ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = [((𝑎 + 𝑏) + 𝑠)] )
9687, 94, 83, 95syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = [((𝑎 + 𝑏) + 𝑠)] )
979, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 19652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐻𝑠𝑋) → (𝑏 · [𝑠] ) = [(𝑏 + 𝑠)] )
9887, 81, 83, 97syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → (𝑏 · [𝑠] ) = [(𝑏 + 𝑠)] )
9998oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) = (𝑎 · [(𝑏 + 𝑠)] ))
10092, 96, 993eqtr4d 2784 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠𝑋) ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )))
101100ralrimivva 3199 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑋) → ∀𝑎𝐻𝑏𝐻 ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )))
10262, 47syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝐻 = (Base‘(𝐺s 𝐻)))
1032, 25ressplusg 17335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → + = (+g‘(𝐺s 𝐻)))
1041, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑+ = (+g‘(𝐺s 𝐻)))
105104oveqdr 7458 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏))
106105oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = ((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ))
107106eqeq1d 2736 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑋) → (((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) ↔ ((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] ))))
108102, 107raleqbidv 3343 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑋) → (∀𝑏𝐻 ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) ↔ ∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] ))))
109102, 108raleqbidv 3343 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑋) → (∀𝑎𝐻𝑏𝐻 ((𝑎 + 𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] ))))
110101, 109mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑋) → ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] )))
11175, 110jca 511 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑋) → (((0g‘(𝐺s 𝐻)) · [𝑠] ) = [𝑠] ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · [𝑠] ) = (𝑎 · (𝑏 · [𝑠] ))))
11222, 60, 111ectocld 8822 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑋 / )) → (((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢) = 𝑢 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢))))
113112ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑋 / )(((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢) = 𝑢 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢))))
11451, 113jca 511 . 2 (𝜑 → ( · :((Base‘(𝐺s 𝐻)) × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / ) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋 / )(((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢) = 𝑢 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢)))))
115 eqid 2734 . . 3 (Base‘(𝐺s 𝐻)) = (Base‘(𝐺s 𝐻))
116 eqid 2734 . . 3 (+g‘(𝐺s 𝐻)) = (+g‘(𝐺s 𝐻))
117 eqid 2734 . . 3 (0g‘(𝐺s 𝐻)) = (0g‘(𝐺s 𝐻))
118115, 116, 117isga 19321 . 2 ( · ∈ ((𝐺s 𝐻) GrpAct (𝑋 / )) ↔ (((𝐺s 𝐻) ∈ Grp ∧ (𝑋 / ) ∈ V) ∧ ( · :((Base‘(𝐺s 𝐻)) × (𝑋 / ))⟶(𝑋 / ) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋 / )(((0g‘(𝐺s 𝐻)) · 𝑢) = 𝑢 ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))∀𝑏 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐻))((𝑎(+g‘(𝐺s 𝐻))𝑏) · 𝑢) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑢))))))
11915, 114, 118sylanbrc 583 1 (𝜑· ∈ ((𝐺s 𝐻) GrpAct (𝑋 / )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  wss 3962  𝒫 cpw 4604  cmpt 5230   × cxp 5686  ran crn 5689   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432   Er wer 8740  [cec 8741   / cqs 8742  Fincfn 8983  Basecbs 17244  s cress 17273  +gcplusg 17297  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  SubGrpcsubg 19150   ~QG cqg 19152   GrpAct cga 19319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-eqg 19155  df-ga 19320
This theorem is referenced by:  sylow2blem3  19654
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